概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业第一章随机事件与概率1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。解：,,2.设，，试就以下三种情况分别求：（1），（2），（3）解:（1）（2）（3）3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解:记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为QUOTE，试求以下事件的概率：（1）直到第次才成功；（2）在次中取得次成功；解:(1)(2)5.设事件A，B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：（a）必然对，（b）必然错，（c）可能对也可能错，并说明理由。（1）若A，B互不相容，则它们相互独立。（2）若A与B相互独立，则它们互不相容。（3），则A与B互不相容。（4），则A与B相互独立。解:(1)b,互斥事件,一定不是独立事件(2)c,独立事件不一定是互斥事件,(3)b,若A与B互不相容,则,而(4)a,若A与B相互独立,则,这时6.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；(2)若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。解:(1)记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥∴ P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)==(2)7.思考题：讨论对立、互斥（互不相容）和独立性之间的关系。解:独立事件不是对立事件,也不一定是互斥事件;对立事件是互斥事件,不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件,一定不是独立事件.第二章随机变量及其概率分布1.设X的概率分布列为：Xi

0123Pi

0.10.10.10.7F(x)为其分布的函数，则F（2）=？解:2．设随机变量X的概率密度为f(x)=则常数c等于？解:由于,故3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少？解:(1)(2)(3)=0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4)4.设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程4+4Kx+K+2=0有实根的概率。解:由可得:所以5.假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。解:6.随机变量X～N(3,4),(1)求P(2<X≤5),P(-4<X≤10),P(|X|>2),P(X>3)；（2）确定c，使得P(X>c)=P(X<c)。解:=0.5328=所以故7．设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的分布律分别为X01Y12PP试求：（1）二维随机变量（X，Y）的分布律；（2）随机变量Z=XY的分布律.解:XY1200.10.1510.30.45Z012P0.250.30.458.思考题:举出几个随机变量的例子。第三章多维随机变量及其概率分布1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。解:XY0120000.1100.40.220.10.20YX 01200.10.2a10.1b0.22.设二维随机变量的联合分布律为：试根椐下列条件分别求a和b的值；(1)；(2)；(3)设是的分布函数，。解:(1),(2),,3.的联合密度函数为：YX01200.10.2a10.1b0.2已知，则a和b的值是：D（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。4．设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求。解：X0123P0.10.20.30.45．设X有分布律：则是：D（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.6.丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求.解：X的分布为7.有密度函数：，求D(X).解：，8.设,,相互独立，则的值分别是：-1.6和4.88；（B）-1和4；（C）1.6和4.88；（D）1.6和-4.88.解:A9.设，与有相同的期望和方差，求的值。（A）0和8；（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.解:B10．下列结论不正确的是（）（A）与相互独立，则与不相关；（B）与相关，则与不相互独立；（C），则与相互独立；（D），则与不相关；解:B11．若，则不正确的是（）（A）；（B）；（C）；（D）；解:D12．（）有联合分布律如下，试分析与的相关性和独立性。YX-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8解:由于而所以与不独立.由于,所以,与不相关13．是与不相关的（B）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。14.是与相互独立的（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。15.思考题：（1）设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下：试验证与不相关，但不独立。解:0,,不相关显然:,所以与不独立.（2）设有，试验证，但与不相互独立解:显然:,所以与不独立.讨论与独立性，相关性与独立性之间的关系解:若X与Y相互独立,则,反之不成立.独立一定不相关,反之不真.第五章大数定律及中心极限定理1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。解:设第只元件的寿命为(),,,则是这30只元件寿命的总合,,,则所求的概率为:2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由中心极限定理求最多“成功”6次的概率的近似值。解:设成功的次数为,则,,第六章样本与统计量1.有n=10的样本；1.2，1.4，1.9，2.0，1.5，1.5，1.6，1.4，1.8，1.4，则样本均值=1.57，样本均方差0.2541，样本方差0.06456。2．设总体方差为有样本，样本均值为，则。3.查有关的附表，下列分位点的值：=?，=9.236，=-1.3722。4．设是总体的样本，求。解:5．设总体，样本，样本均值，样本方差，则，，～，～第七章参数估计1.设总体的密度函数为：，有样本，求未知参数的矩估计。解:,故的矩估计:2.每分钟通过某桥量的汽车辆数，为估计的值，在实地随机地调查了20次，每次1分钟，结果如下：次数：23456量数：95374试求的一阶矩估计和二阶矩估计。解:,,,,所以,3.设总体的密度函数为：，有样本，求未知参数的极大似然估计。解:由题设,似然函数为:,解得的极大似然估计为4.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度,抽取9根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求的置信度为的置信区间，（1）若,（2）若未知解:(1),的置信区间为(2),,时,置信区间为:5.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得㎜，s=0.0494㎜,设另件长度,取置信度为，（1）求的置信区间，（2）求的置信区间。解:,,,所以置信区间为:.的置信区间为:[0.0361,0.0762]第八章假设检验1.某种电子元件的阻值（欧姆）,随机抽取25个元件，测得平均电阻值，试在下检验电阻值的期望是否符合要求？解:检验假设:,由已知可得:查表得:,故拒绝原假设,电阻值的期望不符合要求2.