2022-2023学年河北省承德市三十家子中学高二数学文测试题含解析

2022-2023学年河北省承德市三十家子中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知p：?m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：?x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）参考答案：B【考点】复合命题的真假．【分析】对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：?m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”参考答案：B【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解．【解答】解：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故A中的两个事件不是互斥事件；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故B中的两个事件互斥而不对立；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，故C中的两个事件不是互斥事件；“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件．故选：B．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件定义的合理运用．3.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（

）A．

B．

C．或

D．或参考答案：C

解析：4.已知垂直竖在水平地面上相距米的两根旗杆的高分别为米和米，地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等，则点的轨迹是（A）椭圆 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线参考答案：B5.在的展开式中，的系数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()

A.

B．1

C.

D.参考答案：C如图1－2，过A，B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线，所以|MN|＝.7.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】空间点、线、面的位置．【专题】计算题．【分析】因为A1B1∥EF，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离．【解答】解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选：D【点评】本题主要考查空间线线关系、线面关系，点到面的距离等有关知识，特别是空间关系的转化能力．8.命题“?x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（）A．?x∈R，x3﹣3x≤0 B．?x∈R，x3﹣3x＜0 C．?x∈R，x3﹣3x≤0 D．?x∈R，x3﹣3x＞0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即?x∈R，x3﹣3x≤0，故选：C9.准线为的抛物线的标准方程为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略10.已知tanα=-，＜α＜π，那么cosα-sinα的值是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由，，可以求出的值，然后代入即可得到答案。【详解】因为，，所以，则.故答案为A.【点睛】本题考查了三角函数的化简及求值计算，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.表面积是6的正方体，它的8个顶点都在一球面上，则此球的表面积是

。参考答案：12.四面体ABCD中，棱AB=AC，DB=DC，点M为棱BC的中点，则平面ADM的一个法向量为_______________________；参考答案：13.计算

.参考答案：i14.等差数列项和为=

参考答案：1015.在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足=，则实数a的取值集合是

．参考答案：{﹣3，﹣1，1，3}【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出满足的轨迹方程，利用圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足，得到圆心距|a|=1或3，即可得出结论、【解答】解：根据题意，设P（x，y），∵，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2+y2，化为x2+y2=4，∴圆心距|a|=1或3，∴a=﹣3，﹣1，1，3．故答案为{﹣3，﹣1，1，3}．【点评】本题考查了两点之间的距离公式、圆与圆的位置关系，是综合性题目．16.直线与曲线有两个公共点，则实数a的取值范围是_____．参考答案：【分析】由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.【详解】因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，只需将函数有交点的问题，转化为方程有零点来处理即可，属于常考题型.17.数列{an}为正项等比数列，若a2=1，且an+an+1=6an－1(n∈N,n≥2）则此数列的前4项和S4=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知递增的等差数列{an}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{an}为等比数列，b1=．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=an?bn，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：Tn＜2．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）解方程x2﹣12x+27=0，可得a2=3，a5=9．利用等差数列与等比数列通项公式即可得出．（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）解x2﹣12x+27=0得x1=3，x2=9，因为{an}是递增，所以a2=3，a5=9…解，得，所以an=2n﹣1

…又由，，得q=，…所以．

…（2）………两式相减得：=，…所以＜2…19.设命题p:函数是R上的减函数，命题q:函数在的值域为．若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围。参考答案：解：由得.

因为在上的值域为,所以.又因为“”为假命题，“”为真命题，所以,一真一假．若真假，则；若假真，则.

综上可得，的取值范围是.略20.(本小题满分14分)如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F为椭圆的左焦点且（1）求椭圆的标准方程；（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ。连接AQ并延长交直线l于点M。N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．参考答案：（Ⅰ）易知A,B………（1分）…（2分）……（3分）又，解得…………（5分）（Ⅱ）设则

…………（6分）所以直线AQ方程………（7分）

………（8分）

又点P的坐标满足椭圆方程得到：，所以…………（10分）直线的方程：………………（11分）化简整理得到：即………（12分）所以点到直线的距离直线与AB为直径的圆相切…….（14分）21.（14分）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；（2）若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故当a=1时，命题p为真命题；（2）若命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，则（a+2）（a﹣2）＜0．解得：a∈（﹣2，2），若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，故a∈[0，2）．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．22.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．（1）若直线AB过焦点F，求|AF|?|BF|的值；（2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．参考答案：【分析】（1）求出p=4，可得抛物线方程，与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）求解即可．（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过△＞0，以及韦达定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），方法一利用弦长公式，求出p．方法二：通过化简，结合韦达定理，求解p即可．【解答】解：（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x2=8y，…与直线y=2x+2联立消去y得：x2﹣16x﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）…则x1+x2=16，x1x2=﹣16，…∴|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）=（2x1+4）（2x2+4）=80；…（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线