江苏省宿迁市泗阳县三庄中学高三数学理上学期摸底试题含解析

江苏省宿迁市泗阳县三庄中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是（）A．（﹣，0） B．（﹣1，﹣） C．（，1） D．（1，2）参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，求得x14﹣2x1﹣1=0，由零点存在定理，判断A，B，再由关系式，确定x2的范围，即可判断C，D．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x的导数为f′（x）=2x+1；当x＞0时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2，当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x12+x1）=（2x1+1）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y+=（x﹣x2）．两直线重合的充要条件是=2x1+1①，﹣=﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②可得x14﹣2x1﹣1=0，设f（x）=x4﹣2x﹣1，由f（﹣）=＞0，f（0）=﹣1＜0，可得x1∈（﹣，0），A可能；由f（﹣1）=＞0，B不正确；由①可得x2＞1，由②可得=x12＜，即有x2＞8，则C，D不正确．故选：A．2.已知函数，则函数在区间上的零点

个数为（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C3.已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）A． B． C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入双曲线方程，相减可得﹣，∵点P（6，2）是AB的中点，∴x1+x2=12，y1+y2=4，∵直线l的斜率为3，∴=3，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．4.已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A． B． C．﹣ D．或﹣参考答案：B【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2﹣a1、b2，则答案可求．【解答】解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，∴，∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的性质，是基础的计算题．5.圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线x-y=0的距离是

（

）

A．

B．

C．

D．1参考答案：答案：B6.在等差数列{an}中，若，，则的值是（

）A．15

B．30

C．31

D．64参考答案：A等差数列中,,,故答案为：A.

7.已知集合则A．

B．

C．

D．参考答案：. 试题分析：由题意知，集合，因为，所以，所以，故应选.考点：1、集合间的基本关系；8.若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.设是奇函数，则使的的取值范围是（

）.A．

B．(0,1)C．

D．参考答案：A10.已知全集

A．{0}

B．{2}

C．{0，1，2}

D.

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果实数x，y满足条件，那么目标函数z＝2x－y的最小值为____________.参考答案：—3略12.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，则△ABC周长的最小值为_______.参考答案：【分析】利用余弦定理和正弦定理将等式化简得到，再利用面积公式得到最后利用均值不等式得到答案.【详解】周长当时等号成立故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，综合性强，意在考查学生的综合能力与计算能力.13.（文）已知函数，则关于的方程的实根的个数是___

_．参考答案：5由得或。当时，，此时，由，得。当时，若，得，即，此时。若，得，即，此时。所以关于的方程的实根的个数共有5个。14.设函数，则“为奇函数”是“”的

条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

参考答案：略15.（5分）（2014?潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°＜θ＜45°）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里/小时．参考答案：4【考点】：解三角形的实际应用．【专题】：解三角形．【分析】：根据余弦定理求出BC的长度即可得到结论．解：∵cosθ=，∴sin=，由题意得∠BAC=45°﹣θ，即cos∠BAC=cos（45°﹣θ）=，∵AB=20，AC=10，∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC，即BC2=（20）2+102﹣2×20×10×=800+100﹣560=340，即BC=，设船速为x，则=2，∴x=4（海里/小时），故答案为：4【点评】：本题主要考查解三角形的应用，根据条件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为______.参考答案：6【分析】根据正弦定理化简题目所给表达式，求得的值，由此求得的大小，根据三角形的面积公式得到，利用基本不等式和余弦定理求得的最小值，进而求得的最小值.【详解】由，得，即，因为，所以，所以，所以.由，得，（当且仅当时，“”成立），则，可得，故.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用基本不等式求和的最小值，属于中档题.17.（4分）（2015?浙江模拟）已知点P是双曲线y2﹣=1上任意一点，过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则线段|AB|的最小值为．参考答案：【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设P（m，n），则n2﹣=1，求出双曲线的渐近线方程，求得P到渐近线的距离，由渐近线的倾斜角结合条件可得∠APB=180°﹣120°=60°，运用余弦定理，可得|AB|的表达式，化简整理，再由双曲线的性质，即可得到最小值．解：设P（m，n），则n2﹣=1，双曲线y2﹣=1的渐近线方程为y=±x设|PA|==，|PB|=，由于∠AOB=120°，则∠APB=180°﹣120°=60°，由余弦定理可得|AB|2=|PA|2+|PB|2﹣2|PA|?|PB|cos60°，即有|AB|2=+﹣2×××=﹣===（1+m2）≥（当m=0时取得等号），则有|AB|的最小值为．故答案为：．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式和余弦定理的运用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共14分）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：（1）底面（2）平面（3）平面平面

参考答案：19.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求函数，的单调增区间；（Ⅱ）证明：无论为何值，直线与函数的图象不相切.参考答案：解：（Ⅰ）

的最小正周期为,，即

由，得又，时，取时，取的单调增区间为

（Ⅱ），

而直线的斜率为在图象上不存在点，使得该点的导数为4，即无论取得何值，直线与函数的图象相切.略20.已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，即可求f（x）的最小值；（2）x∈R时，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，∴f（x）的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．（2）∵x∈R时，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，∴不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，∴0≤a≤6．21.（13分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．参考答案：考点： 函数恒成立问题；二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，可证得g（x1）g（x2）＜0，由零点存在定理可知存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．解答： 解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴g（x1）g（x2）＜0，所以g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，即存在x0∈（x1，x2）使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．点评： 本题主要考查二次函数求解析式，里面有三个未知数所以要寻求三个条件来解，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．22.（15分）设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且．

（1）试求椭圆的方程；

（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示），试求四边形面积的最大值和最小值