材料力学 内力分析

材料力学内力分析一、分析方法——截面法xyzNQyQzMxMyMzN：轴力——轴向拉伸或压缩My，Mz：弯矩——弯曲Mx(T):

扭矩——扭转Qy，Qz：剪力——剪切二、内力正负规定拉压杆PPABｍｍAPBPN'N拉为正压为负AB11AmxxxxmxmxTmxT顺为正逆为负扭转轴BDAC弯曲梁MQQM11RARBP1ABCDRARBP1P2P2正负：

顺正、逆负。剪力

QP1P2ABCDRARB11AC+RAP1BD+RBP2--弯矩

M+P2ABCDRARB11ACRAaP1aP1右逆、左顺为正，右顺、左逆为负。BD+RBP2--三、内力的计算xyzNQyQzMxMyMz截——在欲求内力处假想断开取——取其一部分做为研究对象代——用内力代替相互约束平——利用平衡条件求内力五、内力图四、内力方程如：Q=Q(x)M=M(x)六、简易法作Q、M图剪力图、弯矩图与q、P、M的关系:拉压杆PPPN一、拉压杆的强度分析

公式的应用条件：直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。

横截面上的应力

un[

]=(n＞1)强度条件其中：（N/A）max≤[]

max=

max=N/A

[

]A

N/[

]N

A[

]1强度校核

2截面设计3确定许用载荷三类强度问题l纵向变形、虎克定律E—弹性模量EA—抗拉压刚度PPl+

l二、拉压杆的变形分析A1A2A3P1P2P3P横向变形泊松比h-

hb-

b横向应变：或

——泊松比lPPl+

l正应变应力—应变关系bha

p

ebo

sdc

be

？

e点为什么下降？三、材料在拉伸与压缩时的机械性质低碳钢拉伸塑性指标延伸率截面收缩率塑性材料脆性材料

0.2塑性应变等于0.2％时的应力值

0.2。没有明显屈服阶段的塑性材料条件屈服应力1、变形极小，几乎没有塑性变形，横截面面积几乎没有变化；2、没有

s，只有

b；3、平断口，呈细颗粒状。脆性材料材料压缩时的机械性能塑性材料脆性材料铸铁压缩拉压剪切一、连接件失效形式剪断挤压破坏

连接板拉断PP二、剪切面和挤压面mm剪切面——m-m截面有可能发生剪切破坏的截面。剪力Q——剪切面上的内力。PPPQ剪切面面积APPP可以是平面或曲面。挤压力Pbs—作用在接触面上的压力。挤压面—挤压力作用的接触面。挤压变形—在接触处产生的变形。塑性变形或压碎。挤压面面积AbsPPPPPdt有效挤压面积dt挤压面PbsPP双剪——有两个剪切面PP/2P/2PQQQ=P/2二个剪切面三、实用计算及强度条件实用计算强度条件剪切强度条件

m=Q/Am

[

m]

剪断条件

m=Q/Am≥

mu挤压强度条件

bs=Pbs/Abs

[

bs]1、假定剪切面上的应力分布规律；2、确定破坏应力的试验，所用试件的形状及受力情况与实际构件相似或相同。扭转轴一、应力分析分析1、几何关系2、物理关系3、平衡关系扭转切应力TT圆截面圆环截面极惯性矩计算当

＝max

时，＝maxWp

抗扭截面系数，单位：m3。强度条件T

=d/D对于实心圆截面对于圆环截面二、变形分析单位长度扭转角GIp：圆轴抗扭刚度。相对扭转角刚度条件弯曲应力一、纯弯梁横截面正应力分析式中

M当y=ymax

有两根对称轴截面

max

maxzhby当y=y+max

有一根对称轴截面

当y=y-max

有小曲率梁当梁的跨高比

L/h≥5

的横力弯曲，误差

＜2﹪，

因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横截面上的正应力都可用下式计算二、纯弯正应力公式的推广三、弯曲切应力zyybhQ

(y)切应力公式—计算切应力截面

以外部分面积A﹡对中性轴z的静矩应力分布zybhQ在腹板上，接近均匀分布，可近似计算为：

M矩形:

max

maxzhby四、弯曲强度计算一、有两个对称轴强度条件Mmax——危险截面

max——危险点实心圆空心圆zyCDdzy41箱形截面BHzyhb42注意：脆性材料不对称截面梁，

tmax≠

cmax，[

t]≠[

c][

t]——许用拉应力；[

c]——许用压应力二、有一个对称轴

tmax≤[t]

cmax≤[c]MM

tmax

cmax

tmax

cmax强度条件三、剪应力强度条件弯曲变形一、挠曲线近似微分方程ABCPyxy

1.忽略剪力Q的影响；2.材料服从虎克定律3.小变形。适用条件：AB二、挠曲线大致形状依据：1.约束条件；2.光滑连续特性；3.凹凸情况——由M的方向确定。PABq当EI为常数时，三、确定积分常数的边界条件和光滑连续条件边界条件x=0，yA=0x=l，yB=0x=0

，yA=0

x=0

，

A=0光滑连续条件

A

左=c

A右yc左=yc

右c连续条件：x=a,yB1=yB2alyq边界条件：x=0,yA=0x=0,

A=

0x=a+l，yC=⊿lCDABCDlxC四、叠加法计算梁的变形=yCP+yCqABqPyCPABCPyCqCABqyCqqABaaC

ByBABCqaqa2/2yBqCBqyB(qa+m)逐段刚化法yB=yB(qa+m)+yBq五、梁的刚度校核求解静不定问题的关键

建立补充方程ABqMAXAlYARB静不定问题的特点

未知力数目大于

全部独立方程数目

建立补充方程静定基相当系统ABABqRB六、简单静不定梁选择静定基建立相当系统相当系统ABqRB建立变形协调方程RB引入物理方程将物理方程代入变形协调条件得补充方程yB=yB(q)+yB(RB)=0yB(q)=ql4

/8EIyB(RB)=-RBl3/3EIABqyB(q)ABRByB(RB)yB=yB(q)+yB(RB)=0讨论静定基的选取静定基相当系统ABABqRBAB

A=

A(q)+

A(MA)=0ABqMA协调方程ABq应力状态与强度理论1、应力的点的概念；2、应力的面的概念；3、应力状态的概念。一、应力的三个重要概念二、研究方法——单元体法用微元及其各面上的应力描述一点应力状态.

dxdydz微元平行两面对应应力数值相等。各面应力均匀分布；单元体原始单元体

各个面上应力均为已知的单元体。三向（空间）应力状态yxz二、应力状态的分类

1

2

3三向主应力状态平面（二向）应力状态xyxyxy单向应力状态纯剪应力状态任意斜截面上的应力

x

y

xy

yxxy

xy

x

yx

y

x

n

tedf三、平面应力状态分析——解析法主应力、主平面与最大剪应力

x

y

xyxy

一点处有三个主应力，按代数值大小排列分别记为

1，

2，

3极值剪应力即剪应力极值面与正应力极值面相差450。

1

2

3

max

min四、一点的最大切应力

x

y

xy

yx五、复杂应力状态下应力应变关系sxsysztxytyztzx无论材料处于什么应力状态，只要最大拉应力达某一到极限值，材料就会发生脆性断裂。最大拉应力理论

1

2

3

u=b强度条件:破坏原因：

tmax

（最大拉应力）破坏条件：

1=

u（第一强度理论）六、复杂应力状态强度条件最大剪应力理论（第三强度理论）无论材料处于什么应力状态，只要最大剪应力达某一到极限值，就发生屈服破坏。

1

2

3

u=s强度条件：破坏原因：

max

破坏条件:

max=

u

1

2

3

u=s破坏原因：ud

（形状改变比能）强度条件：破坏条件：形状改变比能理论（第四强度理论）

无论材料处于什么应力状态，只要形状改变比能达到某一极限值，就发生屈服破坏。相当应力三向近似等拉：第一理论塑性材料：第三、第四理论强度条件的一般形式：

ri

[

]特殊情况：一般情况：强度条件的应用脆性材料：第一理论三向近似等压：第三、第四理论组合变形方法：叠加法前提条件：1.受力后材料变形服从虎克定律；2.小变形。1、外力分析：分析构件由几种基本变形组成2、内力分析：分析各基本变形的内力，确定危险截面3、应力分析：分析危险截面的应力，确定危险点4、应力状态分析：求出危险点的三个主应力。5、强度分析：选择适当的强度理论，进行强度计算。解题步骤一、研究方法及解题步骤1.外力分析：zy

PzPyPxzyP二、斜弯曲2内力分析xMyPZLMzPyLxzzy

PzPyPxzyPL3应力分析yzD1D2MyD1D2Mzyzzy

PzPyPxzyPD1D2D1D2PxzyD1D25、强度条件：4、应力状态分析：yzMyMzM

cmax

tmax对圆截面xyzNMzNMz三、拉（压）弯组合xyzMyNMzNMyMzxyzMy荷载P作用点：（yp,zp）xyzPPPxyzMyPPMzN=-P，My

=-Pzp，Mz=-Pyp偏心压缩1xT危险截面xyzMy122四、弯曲与扭转组合1

2

1

2

强度条件Wp=2W

T双弯曲与扭转的组合xyzMyMzMD1D2T弯曲、拉压与扭转的组合xyzMzND1D1

压杆稳定理想压杆：材料理想；轴线直；压力沿轴线作用。失稳特点：

<<

P<<

S

失稳：

压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变。一、压杆稳定概念稳定平衡与不稳定平衡临界压力：

压杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向载荷的极限值。PPPPm=1m=2m=0.5m=0.7

—长度系数（或约束系数）。l—相当长度。二、压杆的临界载荷—欧拉临界力——压杆的柔度（长细比）三、临界应力与柔度三类不同的压杆临界应力——截面的惯性半径或

三类不同的压杆细长杆——发生弹性失稳中长杆—发生弹塑性失稳（屈曲）粗短杆—不发生失稳（屈曲），而发生屈服

cr＝

a-b；a,b查表

cr＝s(

b)(

s<p)(<s)稳定安全准则四、压杆稳定安全校核压杆安全工作的条件为：

安全系数校核法nst——规定稳定安全系数交变应力火车轴危险点交变应力交变应力若构件内一点处的应力随时间作周期性变化。一、交变应力的概念齿轮根部的交变应力转子偏心引起梁的交变应力疲劳失效

材料和构件在交变应力作用下发生的破坏。疲劳失效的特征1.疲劳破坏需要经过一定数量的应力循环；2.破坏时，名义应力值远低于材料的静载强度极限；3.破坏前没有明显的塑性变形，即使塑性很好的材料，也会呈现脆性断裂；4.断口特征：同一疲劳断口，一般都有明显的光滑区和粗糙区。初始缺陷滑移滑移带初始裂纹(微裂纹)宏观裂纹脆性断裂疲劳破坏的机理t

max

min

m

a一个应力循环1.平均应力2.应力幅3.循环特性|min|≤|max|二、

交变应力有关术语

t

循环特性对称循环三、材料的持久极限

1.持久极限

光滑小试件

经过无数多次应力循环而不发生疲劳破坏的最大应力值，记为σr。2.条件持久极限对于有渐近线的S－N曲线，规定经历107次应力循环而不发生疲劳破坏，即认为可以承受无数多次应力循环。对于没有渐近线的S－N曲线，规定经历2

107～108次应力循环而不发生疲劳破坏，即认为可以承受无数多次应力循环。四、影响持久极限的因素

1.构件外形有效应力集中系数

2.构件尺寸的影响尺寸系数3.表面质量的影响表面质量系数

五、提高构件疲劳强度的措施

1.降低应力集中

2.降低表面粗糙度

3.提高表层强度高频淬火，渗碳，氮化，滚压，喷丸能量法T(x)T(x)M(x)M(x)N(x)N(x)一、变形能对于曲杆dxP1P2二、莫尔定理ABkykP0=1ABk广义形式

——广义位移M0(x)——广义单位力产生的弯矩桁架组合变形其中：

—某点的广义位移M0,T0,N0

—对应广义力单位力产生的弯矩、扭矩和轴力。M,T,N

—外载荷作用下弯矩、扭矩和轴力。xcxoABxoABC三、计算莫尔积分的图乘法四、卡氏定理P1PiABPn对组合变形杆件，有

五、互等定理Pi——i点施加力引起j点的位移ijPj

ij——i点施加力引起i点的位移功互等

位移互等

若P

j

=Pi

当P

j

=Pi=1时，记为静不定系统外力静不定一、外力静不定和内力静不定P

12P

P

136内力静不定X2PPX1P二、力法正则方程——以二次静不定为例选取静定基建立相当系统写出各系数多余约束力的记法——Xi建立正则方程求解PX2PX1X1=1X2=1解得：（压）解：1、列平衡方程求各杆内力：（拉）2)由强度条件确定许用载荷:对于钢杆1

N1

[

]1A12P

[

]1A1=160×106×600×10-6∴

P1

48×103N=48kN

例已知杆1为钢杆，l1=2m，A1=600mm2，[

]1=160MPa

杆2为木杆，A2=10000mm2，

[

]2=7MPa；

试确定结构许用载荷Pmax。N1N2PBA②BC①P例已知杆1为钢杆，l1=2m，A1=600mm2，[

]1=160MPa

杆2为木杆，A2=10000mm2，

[

]2=7MPa；

试确定结构许用载荷Pmax。对于木杆2

N2

[

]2A2=7×106×10000×10-6∴

P2

40.4×103N=40.4kN

3)保证结构安全，杆1、2均需满足强度要求Pmax

(P1,P2)min=40.4kNN1N2PBA②BC①PT例已知:mA=7024N·m，mB=2809.6N·mmC=4214.4N·m，G=80GPa,

[

]=70Mpa，[

]=1º/m求：AB和BC

段直径解：1.内力分析

T1=－mA=－7024N·m

T2=－mC=－4214.4N·m作扭矩图12mAmBmC2.计算各段直径AB段：由扭转强度条件

由刚度条件取，d1=max{80mm，84.6mm}=84.6mmT12mAmBmCdblhMh/2例齿轮与轴由平键（b×h×l=20×12×100）连接，它传递的扭转力矩M=2kNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为[

m]=60MPa，许用挤压应力为[

bs]=100MPa。试校核键的强度。

解:1、分析外力P2、分析键受力3、分析内力P=Q=PbsAm=blMPPPQ4、应力综上，键满足强度要求。ABC例：用简易法作图示梁的Q、M图。q解：1、求解支反力2、分段写方程aaRARBqa2xxAC段CB段xQABCxMq3、画内力图DaaRARBqa23qa/43qa2/4qa2/45qa2/32qa/4a/4AC段CB段200kN/m例已知：Iz=26.1×10－6m4，[

t]=40MPa，[

c]=110MPa求：校核梁的正应力强度ADBC40kN500900400RARBzy2003016030y2=142y1=48解：1.外力分析

RA=14.3kN,RB=105.7kN2.内力分析

作弯矩图

MB=7.15kNm,（上压下拉）Mc=-16kNm（上拉下压）xM(kNm)7.1516200kN/mADBC40kN500900400RARB3.C截面强度校核

4.B截面强度校核200kN/mADBC40kN500900400RARBzy2003016030y2=142y1=48∴

1=15MPa，

2=12MPa，

3=－11MPa1451210（MPa）xyz例：求图示微元体的主应力和最大剪应力解：1、建立参考坐标系，设：2、单元体的主应力10145∴2a0=-22.60或157.40∴a0=-11.30或78.7078.70s1s1s3s33、计算主平面方向角并图示4、最大剪应力11.30CADB例已知：NP=7.5kW，n=100r/min，A、B为皮带轮,d1=

d2=600mm，T1>T2，T2=1500N，[

]=80Mpa,

试求：按照第三、第四强度理论设计轴直径d解：1、外力分析5.4kN716Nm5.4kN3.6kN1.8kN6.52kN1.12kNxyzCADB2、内力分析5.4kN716Nm5.4kN3.6kN1.8kN6.52kN1.12kNxT716NmMz1350Nmx448NmxMy1440Nm危险截面：AT=716NmMy=1440NmMz=448Nm3、根据强度条件设计直径CADB5.4kN716Nm5.4kN3.6kN1.8kN6.52kN1.12kNxT716NmMz1350Nmx448NmxMy1440Nml1l1l2300BACDl1l1P300BAC例图示结构，材料Q235钢，P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，nst=2.0，[

]=160MPaPd=20mmNo.14分析：破坏方式AB杆强度破坏CD稳定性破坏YAXANCD求：校核此结构是否安全。CD解：1、外力分析∑MA=0∑X=0XA+Pcos300=0XA=－Pcos300∑Y=0YA+NCD－Psin300=0l1l1P300BACYAXANCDCDP·sin300·2l1－NCD·l1=0NCD=P=25kNBACPcos300XAAB梁N=Pcos300=21.65kNl1l1BACPsin300NCD危险截面C截面3、应力分析拉弯组合xMsNsM