黑龙江省哈尔滨市秋实中学高三数学理上学期摸底试题含解析

黑龙江省哈尔滨市秋实中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为－4，则的值为（

）A．4

B．6

C.8

D．10参考答案：A当且时，，可得时，；时，，令，，则，可得当时，；当时，，所以函数在处取得极大值，所以，又，所以.故选A.2.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C3.已知数列为等差数列，且则等于（A）40

（B）42

（C）43

（D）45参考答案：B略4.已知集合A={1,2}，集合B={0,2}，设集合，则下列结论中正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先求集合C，再根据集合与集合的关系判断即可．【详解】由题设，，则，故选.【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．5.命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1参考答案：C【考点】四种命题．【专题】阅读型．【分析】本题考查的知识点是四种命题，根据若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．我们易得答案．【解答】解：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．∵原命题为“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”∴否命题为：若a≤b，则a﹣1≤b﹣1故选C【点评】此题是基础题．若原命题为：若p，则q．逆命题为：若q，则p．否命题为：若┐p，则┐q．逆否命题为：若┐q，则┐p．6.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则c=（ ）A．4

B．5

C.

D．7参考答案：B∵.∴，即.∵，∴，则.

7.在数列中，，，则的值为（

）A． B．5 C． D．参考答案：B8.12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B解析：因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有，故个强队恰好被分在同一组的概率为9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选：A．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．10.（2016郑州一测）设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（

）A． B． C． D．参考答案：C∵抛物线的焦点为．∴解得．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正数满足，则的取值范围为

，的最小值为

．参考答案：12.若x,y满足约束条件则点P(x,y)构成的区域的面积为

；的最大值为

．参考答案：1；试题分析：画出可行域如图所示,.可得可行域的面积为;表示可行域内的点与点连线的斜率,由图观察可知当点与点重合时此时直线的斜率最大,即.考点：线性规划.13.若双曲线－=1的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为

．参考答案：214.若函数的零点个数为，则______．参考答案：15.已知集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围为_____．参考答案：[﹣1，3]【分析】先分别画出集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．再结合题设条件，欲使得A∩B≠?，只须A或B点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可．【详解】分别画出集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．如图所示．其中A（a+1，1），B（a﹣1，1），欲使得A∩B≠?，只须A或B点在圆内即可，∴（a+1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1，解得：﹣1≤a≤1或1≤a≤3，即﹣1≤a≤3．故答案为：[﹣1，3]．【点睛】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．16.若命题“存在实数x，使”的否定是假命题，则实数a的取值范围为

。

参考答案：略17.若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是

．参考答案：3+2考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．解答： 解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列的前项和（其中为常数），且，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）当时，则，19.（本小题满分12分）

已知数列是首项为1的等差数列，且，若

成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．参考答案：略20.甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：甲：78

76

74

90

82乙：90

70

75

85

80（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅲ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）直接由图表给出的数据画出茎叶图即可；（Ⅱ）利用列举法写出从甲乙两人成绩中各随机抽取一个的所有情况，查出甲的成绩比乙高的情况个数，由古典概型的概率计算公式求解；（Ⅲ）求出两组数据的平均数及方差，则答案可求．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图，（Ⅱ）解法一：从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况如下：（78，90）（78，70）（78，75）（78，85）（78，80）（76，90）（76，70）（76，75）（76，85）（76，80）（74，90）（74，70）（74，75）（74，85）（74，80）（90，90）（90，70）（90，75）（90，85）（90，80）（82，90）（82，70）（82，75）（82，85）（82，80）共有25种，而甲大于乙的情况有12种所以p=．解法二：从甲乙两人所得成绩中各随机抽取一个，所有情况种数：5×5=25种其中甲大于乙的情况有（78，70），（78，75），（76，70），（76，75），（74，70），（90，70），（90，75），（90，85），（90，80），（82，70），（82，75），（82，80）共12种所以p=．（Ⅲ），，=32，=50．因为，所以选甲参加更合适．21.已知三角形ABC中，=（x1，y1），=（x2，y2）．求三角形ABC的面积S△ABC．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式和三角形的面积公式化简计算即可．【解答】解：∵=（x1，y1），=（x2，y2），∴?=x1x2+y1y2=||?||cosA，∵2S△=||?||sinA，∴4S△2=||2?||2sin2A，||2?||2cos2A=（x1x2+y1y2）2，∴||2?||2=4S△2+（x1x2+y1y2）2，∵||2=x12+y12，||2=x22+y22，|代入化简，得：S△ABC=|x1y2+x2y1|．22.（本小题满分14分）已知函数．（1）求在上的最大值；（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．参考答案：（1），…………2分令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由，得，在上的最大值为．…………………3分（ⅱ）当时，由，得，在上的最大值为．……4分（ⅲ）当时，在时，，在时，，在上的最大值为．…………………5分（2）设切点为，则

……………6分由，有，化简得