江苏省扬州市江都第一中学高三数学文上学期摸底试题含解析

江苏省扬州市江都第一中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数在（1,2）内有零点，则实数a的取值范围是（

）A．B．

C．

D．参考答案：B略2.若(a、b都是实数,i为虚数单位）,则a+b=

A．1

B．-1

C．7

D．-7参考答案：B略3.已知函数f(x)＝，则f＝()A.

B．eC．－

D．－e参考答案：A4.椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：B

椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为，选B.5.双曲线的渐近线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（

）A．72

B．96

C．108

D．144参考答案：C7.运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为(

) A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣1007参考答案：D考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1?k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答： 解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．8.函数满足，且，则与的大小关系是(

)A.

B.

C.>

D.与有关不确定参考答案：A9.已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2}

D．{0,1,2}参考答案：D10.,则的大小关系是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.参考答案：设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A，C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为.12.若函数存在零点，则m的取值范围是__________.参考答案：略13.已知向量，满足=(1，)，||=1，且+λ=，则λ=

．参考答案：±2

【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由题意和向量的坐标运算求出的坐标，由向量模的坐标运算列出方程求出λ的值．【解答】解：因为，，所以==，又，则，解得λ=±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，以及向量模的坐标运算，属于基础题．14.已知函数，定义函数给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是

.

参考答案：②、③15.已知函数是上的偶函数，对，都有成立．当，，且时，都有，给出下列命题：（1）；（2）直线是函数图象的一条对称轴；（3）函数在上有四个零点；（4）.其中所有正确命题的序号为．参考答案：（1）（2）（4）试题分析：由题可知，解令x＝－2，得，解得，因为函数f（x）为偶函数，所以，（1）正确；因为，，所以，即x＝－4是函数f（x）的一条对称轴，（2）正确；当，，且时，都有，说明函数f（x)在［0,2］上单调递减函数，又f（2）＝0，因此函数f（x）在［0,2］上只有一个零点，由偶函数，知函数f（x）在［－2，0］上也只有一个零点，由f（x＋4）＝f（x），知函数的周期为4，所以，f（6）＝f（－6）＝0，因此，函数在［－4,4］上只有2个零点，（3）错；对于（4），因为函数的周期为4，2015除以4余数是3，即，又因为，故（4）正确；选（1）（2）（4）。考点：函数的奇偶性与单调性16.将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则当φ取最小的值时，g（0）=

．参考答案：﹣1

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得g（x）的解析式，从而求得g（0）的值．【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x﹣2φ）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则2φ=2kπ+，k∈Z，∴φ的最小值为，g（x）=sin（2x﹣2φ）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，∴g（0）=﹣1，故答案为：﹣1．17.在边长为的正方形内任取一点，则点到点的距离小于的概率为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

同意不同意合计教师1

女生

4

男生

2

（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．参考答案：（I）被调查人答卷情况统计表：

（II）∵由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，

用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数

（人）

（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，

“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，

选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），

（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），

（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；

其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），

（2，5），（2，6），8种满足题意，

则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（1）若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB⊥PD，进而证明结论．（2）解法一：设点B的平面PCD的距离为d，利用VB﹣PCD=VP﹣BCD即可得出．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴．过点C作CM⊥AD，垂足为M，设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，利用点B到平面PCD的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．∵AC=PA，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解法一：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴．设点B的平面PCD的距离为d，则．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，∵VB﹣PCD=VP﹣BCD，∴，解得，即点B到平面PCD的距离为．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴．过点C作CM⊥AD，垂足为M，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（，，0），D（0，2，0），P（0，0，3），=（﹣，，0），=（0，2，﹣3），=．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，，2）．∴点B到平面PCD的距离d===．20.设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，O为坐标原点，点O到直线AF2的距离为，为等腰直角三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）利用表示出点到直线的距离；再利用和的关系得到方程，求解得到标准方程；（2）当直线斜率存在时，假设直线方程，利用斜率之和为得到与的关系，将直线方程化为，从而得到定点；当斜率不存在时，发现直线也过该定点，从而求得结果.【详解】（1）解：由题意可知：直线的方程为，即则因为为等腰直角三角形，所以又可解得，，所以椭圆的标准方程为（2）证明：由（1）知当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入，得所以，即设，，则，因为直线与直线的斜率之和为所以整理得所以直线的方程为显然直线经过定点当直线的斜率不存在时，设直线的方程为因为直线与直线的斜率之和为，设，则所以，解得此时直线的方程为显然直线也经过该定点综上，直线恒过点【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定点问题，解决定点问题的关键是能够通过已知中的等量关系构造关于参数的等式，减少参数数量，从而变成只与一个参数有关的函数关系式，进而求得定点.21.（本题14分）已知数列

的等差数列，其前n项和为是