湖南省娄底市常林中学高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省娄底市常林中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,则“”是“函数在上为减函数”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B2.若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数且满足f(x)+g(x)=ex，其中e是自然对数的底数，则有

（

）A．f(e)<f(3)<g(3)

B．g(3)<f(3)<f(e)C．f(3)<f(e)<g(3)

D．g(3)<f(e)<f(3)参考答案：A3.（5分）已知函数f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．参考答案：D【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：分析四个选项，可发现C、D选项中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注意C、D选项，故将代入验证即可；从而得到答案．

解：当a=0时，f（x）=﹣3x，x∈[﹣1，1]，显然满足，故a可以取0，故排除A，B；当时，，，所以f（x）在[﹣1，1]上递减，所以，满足条件，故排除C，故选：D．【点评】：本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．4.若（其中为虚数单位，），则=（）A．—3

B．3

C．—1

D．l参考答案：B5.若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解,则a的取值为(

)A．

B．

C.

D．

参考答案：D【知识点】一元二次不等式与二次函数的关系E3解析：若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a=－1有相等实根，所以，解得a=,所以选D.【思路点拨】遇到一元二次不等式的解集问题，可结合其对应的二次函数的图象进行解答.6.已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是(

) A．[﹣，+∞） B．[，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，]参考答案：A考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意，要使对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．解答： 解：因为f′（x）===，易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）min=f（1）=．对于二次函数g（x）=）=﹣x2﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，所以要使对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，即或，所以或．解得．故选A．点评：本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．7.已知命题；命题若，则，下列命题为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.若关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，﹣20] C．（﹣∞，0] D．[﹣12，7]参考答案：B【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3（舍），由f（﹣2）=0，f（﹣1）=7，f（2）=﹣20，知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，由此能求出关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立的m的取值范围．【解答】解：设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，∵3?[﹣2，2]，∴x2=3（舍），列表讨论：x（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，2）f′（x）+0﹣f（x）↑极大值↓∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴m≤﹣20，故选B．【点评】本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．9.若，则下列结论不正确的个数是（

）

①a2<b2

②ab<b2

③

④

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：A10.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点是两曲线的一个公共点，若等于A.

B.

C.

D.3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有，则

．参考答案：12.函数在上的最大值为

．参考答案：略13.在等差数列{an}中，a1＝﹣2014，其前n项和为Sn，若﹣＝2002，则S2016的值等于参考答案：2016【解答】解：等差数列{an}中，a1＝﹣2014，，∵﹣＝2002，∴＝2002，∴d＝2，则S2016＝2016×（﹣2014），＝2016．14.已知向量，其中，且与垂直，则的值为

．参考答案：由题可知，，因为与垂直，所以，即，即.15.执行如图所示的程序框图，输出的结果S=

.参考答案：16.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a13=4，则S13．参考答案：26【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式直接求解．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a13=4，∴S13==．故答案为：26．17.设△ABC的内角为A，B，C，所对的边分别是，，.若，则角C=__________.参考答案：由，得，，所以，C＝三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生物用水定额管理，即确定一个居民月用水量的标准，为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况。现采用抽样调查的方式，获得了位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如下图表。 （I）分别求出n，a，b的值；（II）若从样本中月均用水量在［5,6］（单位：t）的5位居民中任选2人作进一步的调查研究，求月均用水量最多的居民被选中的频率（5位居民的月均水量均不相等），参考答案：解析：（I）…………6分

（II）设A,B,C,D,E代表用水量从多到少的5位居民，从中任选2位，总的基本事件为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个，包含A的有AB,AC,AD,AE共4个，所以

12分略19.已知三棱锥P-ABC中，底面△ABC是等边三角形，顶点P在底面的射影Q恰好落在BC边的中线AD上，，.（I）证明：面面：（Ⅱ）求直线AD与平面PAB所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【分析】（I）要证面面，只要证经过平面的一条垂线即可，又题意可证面，则问题得证；（Ⅱ）过点作，连接，再过点作，连接，通过线面垂直的判定定理可得面，得到就直线与平面所成的角，求得各几何量，在RT中，求解即可.【详解】（I）∵是等边三角形，且是边的中点，∴，又底面，∴，得面，又面，所以面面.（Ⅱ）过点作，连接，再过点作，连接，∵底面，∴，得面，即，所以面，即是直线在平面上的射影，∴就直线与平面所成的角，∵，，∴，，，，∴中，，所以，直线与平面所成角的正弦值是.【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了线面角的定义及作法，考查了运算能力，是中档题．20.(本题满分12分）设函数（，为常数），且方程有两个实根为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心.参考答案：【知识点】函数解析式的求解及常用方法．B1【答案解析】（1）；（2）证明：略，对称中心（1,1）.

解析：（1）由解得

故．（2）证明：已知函数，都是奇函数．所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像沿轴方向向右平移1个单位，再沿轴方向向上平移1个单位,即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．【思路点拨】（1）把方程的2个实数根分别代入方程得到方程组，解此方程组求出待定系数，进而得到函数的解析式．（2）利用2个奇函数的和仍是奇函数，再利用图象平移找出所求函数的对称中心．21.（本小题满分12分）

设函数

（1）求函数的单调减区间；

（2）若，求函数的值域；参考答案：解：（1）

…………4分

令

…………6分

得

因此，函数f(x)的单调减区间为

…………8分

(2)当时，

因此，函数f(x)的值域为

…………12分略22.已知函数.（1）当时，恒成立，求实数m的取值范围；（2）证明：当时，函数有最小值；设最小值为，求函数的值域.参考答案：（1）；（2）分析：分析题意，该题可借助于利用导数求函数的单调性和最值的方法进行解答，对于（1），首先将式子进行转化，构造新函数，借助于导数来完成即可；对于（2）利用导数求函数最值，不难得到函数的最小值为，则，再利用导数求出其值域即可.详解：（1）因为对恒成立，等价于对恒成立，设得，故在上单调递增，当时，