高考数学二轮复习 专题五 复数与平面向量专题强化训练 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题五复数与平面向量专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)一、选择题1．已知i为虚数单位，复数z满足iz＝1＋i，则eq\x\to(z)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：选A.由已知，得z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(（1＋i）i,i2)＝1－i，所以eq\x\to(z)＝1＋i，故选A.2．复数z＝eq\f(2＋4i,1＋i)(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是()A．(3，1) B．(－1，3)C．(3，－1) D．(2，4)解析：选A.因为z＝eq\f(2＋4i,1＋i)＝eq\f(（2＋4i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝3＋i，所以其在复平面内对应点的坐标是(3，1)，故选A.3．设i是虚数单位，复数z＝eq\f(2i,1＋i)，则|z|＝()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：选B.因为z＝eq\f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2i－2i2,1－i2)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故选B.4．如果z＝eq\f(1－ai,1＋i)为纯虚数，则实数a等于()A．0 B．－1或1C．－1 D．1解析：选D.设z＝eq\f(1－ai,1＋i)＝ti，t∈R，则1－ai＝－t＋ti，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝－t,－a＝t))，∴a＝1.5．设复数z满足z＋|eq\x\to(z)|＝2＋i，则z＝()A．－eq\f(3,4)＋i B．eq\f(3,4)＋iC．－eq\f(3,4)－i D．eq\f(3,4)－i解析：选B.设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋i，由复数相等可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2,b＝1))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4),b＝1))，故z＝eq\f(3,4)＋i，故选B.6．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为eq\r(3)，则eq\f(y,x)的最大值是()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2) D．eq\r(3)解析：选D.∵(x－2)＋yi是虚数，∴y≠0，又∵|(x－2)＋yi|＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.如图，eq\f(y,x)表示复数x＋yi对应点的斜率，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(max)＝tan∠AOB＝eq\r(3)，∴eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3).7．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A．0 B．1C．2 D．eq\r(5)解析：选D.因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋22＝5，所以|a－b|＝eq\r(5)，故选D.8．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝()A．－6 B．eq\r(10)C.eq\r(5) D．10解析：选D.∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D.9．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)解析：选B.∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，∴a·b＝a2，∵|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a2,|a||b|)＝eq\f(\r(2),2)，∴向量a与向量b的夹角为eq\f(π,4)，故选B.10．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为()A．－2 B．－eq\f(1,3)C．－1 D．－eq\f(2,3)解析：选C.由题可知λa＋b＝(λ＋2，2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.11．在平面直角坐标系xOy中，点A(1，3)，B(－2，k)，若向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则实数k＝()A．4 B．3C．2 D．1解析：选A.因为A(1，3)，B(－2，k)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，k－3)，因为eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.故选A.12．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1,则对任意的正实数t，|c＋ta＋eq\f(1,t)b|的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：选B.设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则由c·a＝c·b＝1，得c＝(1，1)，∴c＋ta＋eq\f(1,t)b＝(1，1)＋t(1，0)＋eq\f(1,t)(0，1)＝(t＋1，1＋eq\f(1,t))，|c＋ta＋eq\f(1,t)b|＝eq\r(（t＋1）2＋（1＋\f(1,t)）2)＝eq\r(t2＋\f(1,t2)＋2t＋\f(2,t)＋2)≥2eq\r(2).当且仅当t＝1时等号成立，故选B.二、填空题13．若复数z满足z＝i(2＋z)(i为虚数单位)，则z＝________．解析：∵z＝i(2＋z)，∴(1－i)z＝2i，∴z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝i(1＋i)＝－1＋i.答案：－1＋i14．若a为实数，i为虚数单位，eq\f(2＋ai,1＋\r(2)i)＝－eq\r(2)i，则a等于________．解析：由已知eq\f(2＋ai,1＋\r(2)i)＝－eq\r(2)i，得2＋ai＝－eq\r(2)i(1＋eq\r(2)i)，即2＋ai＝－eq\r(2)i＋2，∴a＝－eq\r(2).答案：－eq\r(2)15．已知点A(－1，1)、B(0，3)、C(3，4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的投影为________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，3)，设eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|))，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×4＋2×3＝10，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋32)＝5，所以cosθ＝eq\f(2\r(5),5)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ＝2.