高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 课时达标检测（五）函数的单调性与最值 理-人教版高三数学试题

课时达标检测（五）函数的单调性与最值[小题对点练——点点落实]对点练(一)函数的单调性1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选B①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0<eq\f(1,2)<1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2018·天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝exC．f(x)＝eq\f(1,x) D．f(x)＝ln(x＋1)解析：选C根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；对于C，f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，C正确；对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.3．(2018·宜春模拟)函数f(x)＝log3(3－4x＋x2)的单调递减区间为()A．(－∞，2) B．(－∞，1)，(3，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1)，(2，＋∞)解析：选C由3－4x＋x2>0得x<1或x>3.易知函数y＝3－4x＋x2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y＝log3x在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A．y＝－2x＋1 B．y＝eq\f(1,x)C．y＝lgx D．y＝x3解析：选By＝－2x＋1在定义域上为单调递减函数；y＝lgx在定义域上为单调递增函数；y＝x3在定义域上为单调递增函数；y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.5．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是()A．(－∞，8] B．[40，＋∞)C．(－∞，8]∪[40，＋∞) D．[8,40]解析：选C由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝eq\f(k,8)，因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，所以eq\f(k,8)≤1或eq\f(k,8)≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.6．定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，若函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－12,－xx＋3))在(－∞，m)上单调递减，则实数m的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]解析：选D∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，∴f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－12,－xx＋3))＝(x－1)(x＋3)－2×(－x)＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，∵函数f(x)在(－∞，m)上单调递减，∴(－∞，m)⊆(－∞，－2)，即m≤－2.故选D.对点练(二)函数的最值1．已知a>0，设函数f(x)＝eq\f(2018x＋1＋2016,2018x＋1)(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝()A．2016 B．2018C．4032 D．4034解析：选D由题意得f(x)＝eq\f(2018x＋1＋2016,2018x＋1)＝2018－eq\f(2,2018x＋1).∵y＝2018x＋1在[－a，a]上是单调递增的，∴f(x)＝2018－eq\f(2,2018x＋1)在[－a，a]上是单调递增的，∴M＝f(a)，N＝f(－a)，∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4036－eq\f(2,2018a＋1)－eq\f(2,2018－a＋1)＝4034.2．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(fx,x)在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值 B．有最大值C．是减函数 D．是增函数解析：选D由题意知a<1，又函数g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2a在[eq\r(|a|)，＋∞)上为增函数，故选D.3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是()A．(1,2] B．(0,2]C．[2，＋∞) D．(1,2eq\r(2)]解析：选A当x≤2时，－x＋6≥4.当x>2时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋logax≥4，,a>1，))∴a∈(1,2]，故选A.4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A．4 B．2C．1 D．0解析：选A设t＝x－1，则y＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2,2]．记g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函数．由已知得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故选A.5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lgx2＋1，x<1，))则f(x)的最小值是________．解析：当x≥1时，x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(x·\f(2,x))－3＝2eq\r(2)－3，当且仅当x＝eq\f(2,x)，即x＝eq\r(2)时等号成立，此时f(x)min＝2eq\r(2)－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2eq\r(2)－3.答案：2eq\r(2)－36．(2018·益阳模拟)已知函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(4,9)))，则函数g(x)＝f(x)＋eq\r(1－2fx)的值域为________．解析：∵eq\f(3,8)≤f(x)≤eq\f(4,9)，∴eq\f(1,3)≤eq\r(1－2fx)≤eq\f(1,2).令t＝eq\r(1－2fx)，则f(x)＝eq\f(1,2)(1－t2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤t≤\f(1,2)))，令y＝g(x)，则y＝eq\f(1,2)(1－t2)＋t，即y＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤t≤\f(1,2))).∴当t＝eq\f(1,3)时，y有最小值eq\f(7,9)；当t＝eq\f(1,2)时，y有最大值eq\f(7,8).∴g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,8))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,8)))[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f(x)＝ax＋eq\f(1,a)(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．解：f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))x＋eq\f(1,a)，当a>1时，a－eq\f(1,a)>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝eq\f(1,a)；当0<a<1时，a－eq\f(1,a)<0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，0<a<1，,\f(1,a)，a≥1，))∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a＝eq\f(1,a)＝1，∴当a＝1时，g(a)取最大值1.2．(2018·衡阳联考)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，且f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0，又f(－3)＋f(3)＝f(－3＋3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x3．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).