高考数学一轮复习 第六章 不等式 分层限时跟踪练33-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(三十三)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则aA.eq\f(5,2)B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4)D.eq\f(15,2)【解析】由x2－2ax－8a2<0(a>0)得(x＋2a)(x－4a即－2a<x<4a，故原不等式的解集为(－2a由x2－x1＝15得4a－(－2a)＝15，即6a＝15，所以a＝eq\f(5,2).故选A.【答案】A2．已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为()【解析】由根与系数的关系知eq\f(1,a)＝－2＋1，－eq\f(c,a)＝－2，得a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2(经检验知满足题意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,4))).故选B.【答案】B3．(2015·衡水模拟)若函数f(x)＝eq\r(x2＋ax＋1)的定义域为R，则实数a的取值范围是()A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]【解析】由题意知，对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0恒成立，则Δ＝a2－4×1×1＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，故选D.【答案】D4．(2015·温州八校联考)若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1))C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【解析】令f(x)＝x2＋ax－2，关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则f(1)＞0或f(5)＞0，即1＋a－2＞0或25＋5a－2＞0，所以a＞－eq\f(23,5).【答案】A5．(2015·重庆模拟)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,x2－6x＋2，x＞0，))则关于x的不等式f(3－x2)＜f(2x)的解集为()A．(－3，－eq\r(3))B．(－3,1)C．(－∞，2－eq\r(3))∪(2＋eq\r(3)，＋∞)D．(－3,1)∪(2＋eq\r(3)，＋∞)【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，可知函数f(x)在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x2≤3，故分以下几种情形：①若3－x2≤0且2x≤0，即x≤－eq\r(3)，则2－(3－x2)＜2－2x，解得－3＜x＜1，∴－3＜x≤－eq\r(3).②若－eq\r(3)＜x≤0，则0＜3－x2≤3,2x≤0，观察图象知f(3－x2)＜f(2x)恒成立．③若0＜x≤eq\r(3)，则2x＜3－x2或3－(3－x2)＜2x－3(3－x2离对称轴直线x＝3比2x离对称轴近)，解得0＜x＜1.④若x＞eq\r(3)，则3－x2＜0,2x＞0，要求2－(3－x2)＜(2x)2－6×2x＋2，解得x＞2＋eq\r(3).综上，得关于x的不等式f(3－x2)＜f(2x)的解集为(－3,1)∪(2＋eq\r(3)，＋∞)．【答案】D二、填空题6．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时最低产量是台．【解析】由题意知3000＋20x－0.1x2－25x≤0即0.1x2＋5x－3000≥0，∴x2＋50x－30000≥0，∴(x－150)(x＋200)≥0.又x∈(0,240)，∴150≤x＜240，即生产者不亏本时的最低产量为150台．【答案】1507．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是．【解析】设x<0，则－x>0.∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x≥0，,x2＋4x，x<0.))由f(x)＝5得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＝5，,x≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＝5，,x<0，))∴x＝5或x＝－5.观察图象可知f(x)<5，得－5<x<5.由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3，∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．【答案】{x|－7<x<3}8．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集是．【解析】由题意可知，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,－\f(1,2)×\f(1,3)＝\f(2,a).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))由2x2－2x－12＜0，得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，所以，不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为{x|－2＜x＜3}．【答案】{x|－2＜x＜3}三、解答题9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a、b的值．【解】(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，∴原不等式可化为a2－6a－3＜0，解得3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)，∴原不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)}．(2)f(x)＞b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))10．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．【解】法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围是[－3,1]．法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,a＜－1，,g－1≥0.))解得－3≤a≤1，所以a的取值范围是[－3,1]．eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()A．(4,5) B．(－3，－2)∪(4,5)C．(4,5] D．[－3，－2)∪(4,5]【解析】原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时得1<x<a，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a≤5，当a<1时得a<x<1，此时解集中的整数为－2，－1,0.则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5]．【答案】D2．(2015·天津模拟)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若对任意x＞2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是()A．[－1,7] B．(－∞，3]C．(－∞，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)【解析】由题意可知，(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)≤a＋2对任意x＞2都成立，即a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x＋2,x－2)))min在(2，＋∞)上恒成立．由于eq\f(x2－x＋2,x－2)＝(x－2)＋eq\f(4,x－2)＋3≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋3＝7(x＞2)，当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立，∴a≤7，故选C.【答案】C3．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是．【解析】原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1，当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求，当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3，综上，－4≤a≤3.【答案】[－4,3]4．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为．【解析】由题意知，(8sinα)2－4×8·cos2α≤0，∴2sin2α－cos2α≤0，∴2sin2α－(1－2sin2α)≤0，∴4sin2α－1≤0，∴sin2α≤eq\f(1,4)，又0≤α≤π，∴0≤sinα≤eq\f(1,2)，∴0≤α≤eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)≤α≤π.【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))5．一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x(元)．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？【解】(1)由题意知，日利润y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500.由日利润不少于1300元，得－2x2＋130x－500≥1300.即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45，故该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1300元．(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(65,2)))2＋eq\f(3225,2)，由题意知，x为正整数．故当x＝32或33时，y最大为1612.所以当日产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1612元．6．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜eq\f(1,a)，比较f(x)与m的大小．【