高考数学一轮复习 第七章 立体几何 分层限时跟踪练37-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(三十七)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．一个几何体的三视图如图7­2­12所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是()图7­2­12A．16πB．14πC．12πD．8π【解析】由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余部分，由于球的半径为2，所以这个几何体体积为eq\f(3,4)×eq\f(4,3)π×23＝8π.【答案】D2．(2015·北京高考)某三棱锥的三视图如图7­2­13所示，则该三棱锥的表面积是()图7­2­13A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5【解析】作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥S­ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝eq\r(5)，AC＝BC＝eq\r(5).∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×1×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×1×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝2＋2eq\r(5).【答案】C3．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7­2­14，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图7­2­14A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，剩余部分的体积V2＝13－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,6))＝eq\f(1,5)，故选D.【答案】D4．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图7­2­15所示，则该四面体的表面积是()图7­2­15A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)【解析】根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两侧面ABC、ACD为等边三角形，则S表面积＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).【答案】B5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)【解析】如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq\r(2).∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，∴该球的表面积为4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81π,4)，故选A.【答案】A二、填空题6．如图7­2­16，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为图7­2­16【解析】VD1­EDF＝VF­DD1E＝eq\f(1,3)·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是．【解析】设甲、乙两圆柱的底面半径分别为r1，r2，母线长分别为l1，l2，则由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)得eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).又两圆柱侧面积相等，即2πr1l1＝2πr2l2，则eq\f(l1,l2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1l1,S2l2)＝eq\f(9,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)8．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图7­2­17所示，则该几何体的体积是．图7­2­17【解析】根据三视图，画出其直观图，几何体由正方体切割而成，即正方体截去一个棱台．如图所示．其中正方体棱长为2，AF＝AE＝1，故所求几何体体积为V＝23－eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×1×1＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\r(\f(1,2)×1×1×\f(1,2)×2×2)＝eq\f(17,3).【答案】eq\f(17,3)三、解答题9．(2015·荥阳月考)已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的体积．【解】如图，设以r1为半径的截面面积为5π，圆心为O1，以r2为半径的截面面积为8π，圆心为O2，O1O2＝1，球的半径为R，设OO2＝x，可得下列关系式：req\o\al(2,2)＝R2－x2，πreq\o\al(2,2)＝π(R2－x2)＝8π，req\o\al(2,1)＝R2－(x＋1)2，πreq\o\al(2,1)＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，∴R2－x2＝8，R2－(x＋1)2＝5，解得R＝3，∴球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×33＝36π.10．(2015·全国卷Ⅱ)如图7­2­18，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F图7­2­18(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【解】(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正确)).eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．(2015·山东高考)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π【解析】过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，选C.【答案】C2．如图7­2­19，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A()图7­2­19A．2B．1C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)【解析】由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＝1，即x＝eq\r(2)，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝eq\r(2)×1＝eq\r(2).【答案】C3．圆锥的全面积为15πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为cm3.【解析】设底面圆的半径为r，母线长为a，则侧面积为eq\f(1,2)×(2πr)a＝πra.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πra＋πr2＝15π，,πra＝\f(1,6)πa2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝\f(15,7)，,a2＝\f(36×15,7)，))故圆锥的高h＝eq\r(a2－r2)＝5eq\r(3)，所以体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π(cm3)．【答案】eq\f(25,7)eq\r(3)π4．已知正四面体的俯视图如图7­2­20所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的表面积为，体积为．图7­2­20【解析】由题意知正四面体的直观图E­ACF补成正方体如图所示．由正方体棱长为2，知正四面体的棱长为2eq\r(2)，正四面体表面积为eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2×4＝8eq\r(3).点E到平面ACF的距离为eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×2\r(2)×\f(2,3)))2)＝eq\f(4\r(3),3).正四面体的体积为eq\f(1,3)×eq\f(4\r(3),3)×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝eq\f(8,3).【答案】8eq\r(3)eq\f(8,3)5．如图7­2­21所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积．图7­2­21【解】如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为eq\f(1,2)，直三棱柱高为1，AG＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，取AD中点M，则MG＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝eq\f(\r(2),4)×1＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),3).6．如图7­2­22，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点．记CD＝x，V(x)表示四棱锥F­ABCD的体积．图7­2­22(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值．【解】(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD