高考数学一轮复习 第七章 立体几何 分层限时跟踪练40-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(四十)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．给出以下命题，其中错误的是()A．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B．垂直于同一平面的两条直线互相平行C．垂直于同一直线的两个平面互相平行D．两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面【解析】一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线，但这条直线不垂直这个平面．【答案】A2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，可知B正确．【答案】B3．(2015·葫芦岛模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【解析】由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β.由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l.【答案】D4．(2015·长春模拟)设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α【解析】α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.【答案】D5．如图7­5­12，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()图7­5­12A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′­BCD的体积为eq\f(1,3)【解析】取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD，A错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝eq\r(2)，∴A′B⊥A′D，A′B⊥A′C，B正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；VA′­BCD＝eq\f(1,3)S△A′BD·CD＝eq\f(1,6)，D错误．【答案】B二、填空题6．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有对．【解析】因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．【答案】57．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，一个对角面的面积是一个侧面面积的eq\f(\r(6),2)倍，则侧面与底面所成锐二面角等于．【解析】如图所示，根据eq\f(\f(1,2)\r(2)ah,\f(1,2)ah′)＝eq\f(\r(6),2)，得eq\f(h,h′)＝eq\f(\r(3),2)，即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值，故侧面与底面所成锐二面角为eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)8．(2015·衡水联考)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为．【解析】如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1∴∠APA1为PA与平面A1B1C1∵平面ABC∥平面A1B1C1∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵S△A1B1C1＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，∴V三棱柱ABC­A1B1C1＝AA1×S△A1B1C1＝eq\f(3\r(3),4)AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3).又P为底面正三角形A1B1C1∴A1P＝eq\f(2,3)A1D＝eq\f(2,3)×eq\r(3)×sin60°＝1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1＝eq\f(AA1,A1P)＝eq\r(3)，∴∠APA1＝eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)三、解答题9.(2015·山东高考)如图7­5­13，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．图7­5­13(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.【证明】(1)在三棱台DEF­ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.10．已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PA⊥PB，AB＝BC＝2AD＝2PA＝2，图7­5­14(1)求证：平面PAD⊥平面PBC；(2)求证：RS∥平面PAD；(3)若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求三棱锥Q­PCD的体积．【解】(1)证明：∵平面PAB⊥平面ABCD且相交于直线AB，AD⊂平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴PB⊥AD，又PB⊥PA，AD∩PA＝A，∴PB⊥平面PAD.∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.(2)证明：取PB中点T，连接RT、ST，∵RT∥PA，ST∥BC，且PB⊥PA，PB⊥BC，∴PB⊥RT，PB⊥ST，又RT∩ST＝T，∴PB⊥平面RST，又PB⊥平面PAD，∴平面RST∥平面PAD，又RS⊂平面RST，∴RS∥平面PAD.(3)∵CD⊥平面PDQ，∴PQ⊥CD，又PQ⊥AD，CD∩AD＝D，∴PQ⊥平面ABCD.∴PQ⊥AB，由已知得AQ＝eq\f(1,2)，PQ＝eq\f(\r(3),2)，∴DQ＝eq\f(\r(5),2)，又CD＝eq\r(5)，CD⊥QD，∴S△CQD＝eq\f(1,2)CD·DQ＝eq\f(5,4)，∴三棱锥Q­PCD的体积V＝eq\f(1,3)S△CQD·PQ＝eq\f(1,3)×eq\f(5,4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),24).eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．如图7­5­15，直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1图7­5­15A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面积相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).【答案】A2．(2015·石家庄模拟)在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2AB，F为棱CE上异于点C、E的动点，则下列说法正确的有()图7­5­16①直线DE与平面ABF平行；②当F为CE的中点时，BF⊥平面CDE；③存在点F使得直线BF与AC平行；④存在点F使得DF⊥BC.A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】①∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB，而DE⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，∴直线DE与平面ABF平行，正确；②当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，则MF綊eq\f(1,2)DE，又AB綊eq\f(1,2)DE，∴AB綊MF，∴四边形ABFM是平行四边形，BF∥AM.而AM⊥CD，DE⊥AM，CD∩DE＝D，∴AM⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE，因此正确；③点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，不正确；④由②可得：当F为CE的中点时，BF⊥DF，DF⊥CE，BF∩CE＝F，∵DF⊥平面BCE，∴存在点F使得DF⊥BC，正确．综上可得①②④正确．【答案】C3．正四棱锥S­ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为．【解析】如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH.又GH∩EF＝H，∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG，其周长为eq\r(2)＋eq\r(6).【答案】eq\r(2)＋eq\r(6)4．已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P­ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA＝PB＝PC；③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为eq\f(15,2)；④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为eq\r(23).其中正确命题的序号是．(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】由题意知AC⊥BC，对于①，若PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，因此该三棱锥P­ABC的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M为△ABC的外心，所以MA＝MB＝MC，∵PM⊥平面ABC，则PM⊥MA，PM⊥MB，PM⊥MC，由三角形全等可知PA＝PB＝PC，故②正确；对于③，要使△PCM的面积最小，只需CM最短，在Rt△ABC中，(CM)min＝eq\f(12,5)，∴(S△PCM)min＝eq\f(1,2)×eq\f(12,5)×5＝6，故③错误；对于④，设P点在平面ABC内的射影为O，且O为△ABC的内心，由平面几何知识得△ABC的内切圆半径r＝1，且OC＝eq\r(2)，在Rt△POC中，PO＝eq\r(PC2－OC2)＝eq\r(23)，∴点P到平面ABC的距离为eq\r(23)，故④正确．【答案】①②④5．(2015·陕西高考)如图7­5­17(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图7­5­17(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36eq\r(2)，求a的值．图7­5­17【解】(1)证明：在题图(1)中，因为AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC.即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．由题图(1)知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝eq\f(1,3)S·A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3.由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，得a＝6.6．(2015·天津高考)如图7­5­18，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\