2024年江苏省无锡外国语学校中考数学调研试卷（3月份）

第1页（共1页）2024年江苏省无锡外国语学校中考数学调研试卷（3月份）一、选择题（每题3分，共30分，请在答题卡指定区域内作答．）1．（3分）已知实数a＝|﹣2024|，则实数a的倒数为（）A．2024 B． C．﹣2024 D．2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0 B．x＞0 C．x≤5 D．x＜53．（3分）下列运算正确的是（）A．2a+5b＝10ab B．x2•x3＝x6 C．（m2n）3＝m5n4 D．12m2n÷3mn＝4m4．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，86，82，92．关于这组数据，下列说法错误的是（）A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是855．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是三角形，这个几何体可能（）A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥6．（3分）下列命题中，是真命题的是（）A．三角形的外心到三角形三边的距离相等 B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形 C．方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实数根 D．将抛物线y＝2x2﹣2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2﹣37．（3分）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，△A′B′C′是由△ABC沿AD方向平移得到的，其中点D为BC的中点2，△A′EF的面积为8cm2，AA′＝1cm时，A′D的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm9．（3分）如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，⊙O的半径为，AC＝（）A． B．6 C． D．510．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，且均在（1，0），当x＝0时，y＝a，y＝d，则ad的值可能为（）A． B．1 C． D．2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请在答题卡指定区域内作答．）11．（3分）分解因式：x3﹣2x2y+xy2＝．12．（3分）人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061m，用科学记数法可将0.0000061表示为．13．（3分）底面圆半径为10cm、高为的圆锥的侧面展开图的面积为cm2．14．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，两车空；二人共车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车，则有9人步行．则车有辆．15．（3分）有一个直角三角形的两直角边分别为8和15，则这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，﹣2），将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B．17．（3分）在矩形ABCD中，E是边AD的中点，连接BE，∠ABE＝30°，则对角线AC的最大值是．18．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y＝经过点（a，bc）；②b+c＞0；③b2+（a﹣1）x+＝0的两个实数根（填写序号）三、解答题（本大题共7小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答．）19．（1）计算：；（2）化简：（a+3）2+a（2﹣a）．20．在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处．（1）位置1处安装被烧坏的元件概率为；（2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，连接CD，∠A＝2∠BCD．（1）求证：直线AB为⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求AB的长．22．在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，保留作图痕迹．（1）如图1，连接AD，若AD是△ABC的中线，使AD平分线段EF；（2）如图2，当EF⊥AC时，请作出点D，且符合条件的点D有且仅有一个．23．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m≤70，该产品获得的利润最大利润是．24．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝m，BE＝1，连接AE．（1）沿AE翻折△ABE使点B落在点F处，①连接CF，若CF∥AE，求m的值；②连接DF，若≤DF≤，求m的取值范围．（2）△ABE绕点A顺时针旋转得△AB1E1，点E1落在边AD上时旋转停止．若点B1落在矩形对角线AC上，且点B1到AD的距离小于时，求m的取值范围．25．已知抛物线y＝ax2+cx经过点（2，1），且与x轴只有一个公共点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝x与抛物线交于O，A两点，记OA的中点为B．过点B的直线交抛物线于不同的两点C，D（不与O，A重合），AD的交点为E．①当CD⊥OB时，求点C的坐标；②在①的条件下，△AOE的面积是否为定值？若是，请求出定值，请说明理由．

2024年江苏省无锡外国语学校中考数学调研试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分，请在答题卡指定区域内作答．）1．（3分）已知实数a＝|﹣2024|，则实数a的倒数为（）A．2024 B． C．﹣2024 D．【解答】解：a＝|﹣2024|＝2024，2024的倒数为，故选：B．2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0 B．x＞0 C．x≤5 D．x＜5【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤3，故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．2a+5b＝10ab B．x2•x3＝x6 C．（m2n）3＝m5n4 D．12m2n÷3mn＝4m【解答】解：A．不是同类项，不符合题意；B．同底数幂相乘，指数相加；C．积的乘方，（m2n）3＝（m5）3n3＝m3n3，不符合题意；D．单项式与单项式相除2n÷2mn＝（12÷3）（m2÷m）（n÷n）＝3m，符合题意．故选：D．4．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，86，82，92．关于这组数据，下列说法错误的是（）A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85【解答】解：将数据重新排列为82，82，85，92，A、数据的众数为82，不符合题意；B、数据的中位数为，此选项正确；C、数据的平均数为，所以方差为×[（85﹣85）2+（83﹣85）3+2×（82﹣85）2+（86﹣85）5+（92﹣85）2]＝12，此选项错误；D、由C选项知此选项正确；故选：C．5．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是三角形，这个几何体可能（）A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥【解答】解：∵主视图和左视图都是三角形，∴此几何体为锥体，∵俯视图是一个三角形，∴此几何体为三棱锥．故选：C．6．（3分）下列命题中，是真命题的是（）A．三角形的外心到三角形三边的距离相等 B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形 C．方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实数根 D．将抛物线y＝2x2﹣2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2﹣3【解答】解：A、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，是真命题；C、∵△＝4﹣4×2×1＝﹣8＜7，∴方程x2+2x+2＝0无实数根，原命题是假命题；D、将抛物线y＝2x7﹣2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2（x﹣1）2﹣7，原命题是假命题；故选：B．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由抛物线可知，b＜0，对称轴为直线x＝﹣，a＞7，直线经过点（﹣，故本选项符合题意；B、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，直线不经过点（﹣，故本选项不符合题意；故选：A．8．（3分）如图，△A′B′C′是由△ABC沿AD方向平移得到的，其中点D为BC的中点2，△A′EF的面积为8cm2，AA′＝1cm时，A′D的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：∵△A′B′C′是由△ABC沿AD方向平移得到的，∴AB∥A′B′，∴∠B＝∠A′EF，同理∠C＝∠A′FE，∴△ABC∽△A′EF，∴，即，∴，∵AA′＝5cm，∴A′D＝2cm，故选：A．9．（3分）如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，⊙O的半径为，AC＝（）A． B．6 C． D．5【解答】解：连接OA，OC，CE⊥AP于E，∵OA＝OC，∴∠AOD＝∠AOC，∴OD＝＝5，∵PA切⊙O于A，∴∠CAE＝∠B，∵∠B＝∠AOC，∴∠CAE＝∠AOD，∵∠AEC＝∠ADO＝90°，∴△ACE∽△OAD，∴＝＝，∴＝＝，∴CE＝，AE＝，∵∠P＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝CE＝，PC＝，∵PA＝AE+PE，∴PA＝，∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴AC：AB＝PC：PA，∴2：AB＝：，∴AB＝8．故选：B．10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，且均在（1，0），当x＝0时，y＝a，y＝d，则ad的值可能为（）A． B．1 C． D．2【解答】解：由题意，设A（x1，0），B（x2，0），∴x2+bx+c＝（x﹣x6）（x﹣x2）．令x＝0得a＝x4x2，令x＝2得d＝（3﹣x1）（2﹣x4），∴ad＝x1x2（2﹣x1）（2﹣x8）＝[1﹣（1﹣x8）2][1﹣（x2﹣1）2]，∵3＜x1＜x2＜5，∴0＜1﹣（6﹣x1）2＜5，0＜1﹣（x5﹣1）2＜8，∴0＜ad＜1，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请在答题卡指定区域内作答．）11．（3分）分解因式：x3﹣2x2y+xy2＝x（x﹣y）2．【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2．故答案为：x（x﹣y）2．12．（3分）人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061m，用科学记数法可将0.0000061表示为6.1×10﹣6．【解答】解：用科学记数法可将0.0000061表示为6.5×10﹣6．故答案为：6.2×10﹣6．13．（3分）底面圆半径为10cm、高为的圆锥的侧面展开图的面积为200πcm2．【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，高为10，∴圆锥的母线为＝20（cm），∴圆锥的侧面展开图的面积为×（2π×10）×20＝200π（cm2）．故答案为：200π．14．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，两车空；二人共车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车，则有9人步行．则车有15辆．【解答】解：设车有x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝4x+9，解得：x＝15．∴车有15辆．故答案为：15．15．（3分）有一个直角三角形的两直角边分别为8和15，则这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为．【解答】解：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，G是△ABC的重心，由勾股定理得：AB＝＝17，∵CM是中线，∴CM＝AB＝，∵G是△ABC的重心，∴GM＝CM＝，∵G是斜边AB的中点，∴G是△ABC的外心，∴这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为．故答案为：．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，﹣2），将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B（﹣2，﹣4）．【解答】解：如图，过A作x轴的垂线，AO绕点A顺时针旋转90°的到线段AE．连接OE．∴∠OAE＝90°，∴∠CAO+∠DAE＝90°，∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CAO＝∠AED，∠OCA＝∠ADE，OA＝AE，∴△OAC≌△AED（AAS）．∴OC＝AD＝6，AC＝DE＝2，∴E的坐标为（﹣8，﹣8）．∴OE所在直线的解析式为y＝2x．△AOE中，OA＝AE，∴∠AOE＝45°，∴点B在OE上．设点B坐标为（m，7m），OA＝OB，∴m2+（2m）2＝22+22，m2＝8，∵点B在第三象限，∴m＝﹣2，6m＝﹣4，点B坐标为（﹣8，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣2）．17．（3分）在矩形ABCD中，E是边AD的中点，连接BE，∠ABE＝30°，则对角线AC的最大值是2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E是AD的中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AE∥BC，∴，∴FC＝2AF，BF＝2EF，∵AD＝2，∠ABE＝30°，∴AE＝2，BE＝4，∴AB＝，∴AC＝，故答案为：2．18．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y＝经过点（a，bc）；②b+c＞0；③b2+（a﹣1）x+＝0的两个实数根①③④（填写序号）【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，3）经过点（a，∴∴bc＞0，故①正确；∴x2+（a﹣2）x+＝7可以转化为：x2﹣（b+c）x+bc＝0，得x＝b或x＝c；∵b，c是关于x的一元二次方程x3+（a﹣1）x+＝0的两个实数根，∴△＝（a﹣1）7﹣4×1×≥0，化简，得（a﹣6）（a2+1）≥5，∵a2+1≥3，∴a﹣2≥0，∴a≥6，故a≥2，即2a﹣2≥3；∵a≥2且a+b+c＝5，∴b+c＜0，故②错误；故答案为：①③④．三、解答题（本大题共7小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答．）19．（1）计算：；（2）化简：（a+3）2+a（2﹣a）．【解答】解：（1）原式＝3+×﹣1+2＝5+3﹣1+8＝7；（2）原式＝a2+7a+9+2a﹣a8＝8a+9．20．在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处．（1）位置1处安装被烧坏的元件概率为；（2）请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．【解答】解：（1）位置1处安装被烧坏的元件概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有4种等可能的结果，闭合开关后，∴闭合开关后，小灯泡能亮的概率为＝．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，连接CD，∠A＝2∠BCD．（1）求证：直线AB为⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求AB的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵以点O为圆心的圆经过C，D两点，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠BCD，∴∠BOD＝∠ODC+∠BCD＝2∠BCD，∵∠A＝2∠BCD，∴∠BOD＝∠A，在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠BOD+∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥AB，∵OD为⊙O的半径，∴直线AB为⊙O的切线；（2）解：由（1）可知：∠BOD＝∠A，∠ODB＝90°，∵tanA＝，∴tan∠BOD＝，在Rt△BOD中，tan∠BOD＝，又∵⊙O的半径为7，∴OD＝OC＝2，∴，∴BD＝，在Rt△BOD中，OD＝2，由勾股定理得：OB＝＝，∴BC＝OB+OC＝＝，在Rt△ABC中，由tan∠A＝，∴AC＝＝＝4，在Rt△ABC中，BC＝，由勾股定理得：AB＝＝．22．在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，保留作图痕迹．（1）如图1，连接AD，若AD是△ABC的中线，使AD平分线段EF；（2）如图2，当EF⊥AC时，请作出点D，且符合条件的点D有且仅有一个．【解答】解：（1）作∠AEF＝∠B，EF交AC于点F，点F即为所求；（2）过点B作BH⊥AC于点H，作BH的垂直平分线交BH于G，作∠ACB的角平分线CM交AG于O，以O为圆心，FO延长线交AB于E，点D即为所求．23．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m≤70，该产品获得的利润最大利润是1200元．【解答】解：（1）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k3x+b1，根据题意，得：，解得：，∴y6与x之间的函数关系式为y1＝﹣x+60（0＜x≤120）；（2）若m＝90，设y2与x之间的函数关系式为y2＝k2x+90，根据题意，得：50＝120k2+90，解得：k5＝﹣，这个函数的表达式为：y6＝﹣x+90（5＜x≤120），设产量为xkg时，获得的利润为W元，得：W＝x[（﹣x+90）﹣（﹣＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣90）2+1350，∴当x＝90时，W取得最大值，答：若m＝90，该产品产量为90kg时，最大利润是1350元；（3）设y＝k2x+m，由题意得：120k3+m＝50，解得：k2＝，这个函数的表达式为：y＝x+m，W＝x[（x+m）﹣（﹣＝x2+（m﹣60）x，∵60＜m≤70，∴a＝＞0，∴﹣＜0，∴当0＜x≤120时，w'随x的增大而增大，∴当x＝120时，w'的值最大max＝1200元．∴60＜m＜70时，该产品产量为120kg时，最大利润为1200元．故答案为：1200元．24．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝m，BE＝1，连接AE．（1）沿AE翻折△ABE使点B落在点F处，①连接CF，若CF∥AE，求m的值；②连接DF，若≤DF≤，求m的取值范围．（2）△ABE绕点A顺时针旋转得△AB1E1，点E1落在边AD上时旋转停止．若点B1落在矩形对角线AC上，且点B1到AD的距离小于时，求m的取值范围．【解答】解：（1）①如图1，∵CF∥AE∴∠FCE＝∠AEB，∠CFE＝∠AEF∵△ABE翻折得到△AFE∴EF＝BE＝1，∠AEF＝∠AEB∴∠FCE＝∠CFE∴CE＝EF＝8∴m＝BC＝BE+CE＝2∴m的值是2．②如图6，过点F作GH⊥AD于点G∴GH⊥BC∴∠AGF＝∠FHE＝90°∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝∠B＝90°∴四边形ABHG是矩形∴GH＝AB＝2，AG＝BH∵△ABE翻折得到△AFE∴EF＝BE＝1，AF＝AB＝5∴∠AFG+∠EFH＝∠AFG+∠FAG＝90°∴∠EFH＝∠FAG∴△EFH∽△FAG∴设EH＝x，则AG＝BH＝x+2∴FG＝2EH＝2x∴FH＝GH﹣FG＝8﹣2x∴解得：x＝∴AG＝，FG＝∵AD＝BC＝m∴DG＝|AD﹣AG|＝|m﹣|∴DF6＝DG2+FG2＝（m﹣）2+2≥，即可把DF7看作关于m的二次函数，抛物线开口向上∵∴∵（m﹣）2+2＝ 解得：m1＝，m2＝1∴根据二次函数图象可知，3≤m（2）如图3，过点B8作MN⊥AD于点M，交BC于点N∴MN∥AB，MN＝AB＝2∵A