山东省泰安市新泰翟镇初级中学高三数学理期末试卷含解析

山东省泰安市新泰翟镇初级中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数是（

）A．周期为的奇函数

B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数

D．周期为的偶函数参考答案：B2.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是(

)A、

B、

C、

D、参考答案：A3.执行如图所示的程序框图，若输出的是，则输入整数的最小值是(

)A．7B．8C．15D．16参考答案：B4.已知命题p:,命题q:,则下列命题为真命题的是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略5.已知一组函数fn（x）=sinnx+cosnx，x∈[0，]，n∈N*，则下列说法正确的个数是（）①?n∈N*，fn（x）≤恒成立②若fn（x）为常数函数，则n=2③f4（x）在[0，]上单调递减，在[，]上单调递增．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】①x∈[0，]，可得fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=，即可判断出正误；②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，当n≠2时，令sin2x=t∈[0，1]，则fn（x）=+=g（t），利用导数研究函数的单调性即可判断出正误；③利用平方关系、倍角公式可得：f4（x）=+，即可判断出其单调性．【解答】解：①∵x∈[0，]，∴fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=≤，因此正确；②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，当n≠2时，令sin2x=t∈[0，1]，则fn（x）=+=g（t），g′（t）=﹣=，当t∈时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；当t∈时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数fn（x）不是常数函数，因此②正确．③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣==+，当x∈[0，]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，]上单调递减，当x∈[，]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[，]上单调递增，因此正确．综上可得：①②③都正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,,则=(

)A.

B.3×+1

C.3×

D.+1参考答案：C由得，两式相减得，即，所以，，即，，所以，选C.7.已知函数，的零点分别为，则的大小关系是

(

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A8.若，则是复数是纯虚数的

（

）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C9.已知全集，，，则（

）A．{2,3,5}

B．{3,5}

C．{2,3,4,5}

D．{3,4,5}参考答案：B10.设F1，F2为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】设的重心和内心分别为，则．设，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得，于是，，所以．然后由点在双曲线上可得，于是可得离心率．【详解】画出图形如图所示，设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得．不妨设点在第一象限内，∵是的重心，为的中点，∴，∴点坐标为．由双曲线的定义可得，又，∴，∴为双曲线的右顶点．又是的内心，∴．设点的坐标为，则．由题意得轴，∴，故，∴点坐标为．∵点在双曲线上，∴，整理得，∴．故选A．【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点的坐标，考查转化和计算能力，难度较大．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，中，点在边上，且，则的长为_______________.参考答案：略12.函数f（x）=的定义域为．参考答案：[﹣1，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由|x|﹣x2≥0得x2﹣|x|≤0，即|x|（|x|﹣1）≤0，所以0≤|x|≤1，解得：﹣1≤x≤1，故函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．13.若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数a的范围是_______；参考答案：【分析】求出函数的最小值，即可得到答案；【详解】，，等号成立当且仅当，，故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力.14.某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件，则该校招聘的教师最多是

名．参考答案：10考点：简单线性规划．专题：数形结合法．分析：由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，在可行域内使得z取得最大．解答： 解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：

对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y?y=﹣x+z则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过?（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z=10．故答案为：10．点评：本题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想．15.设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为

．参考答案：9【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．【解答】解：∵x，y均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：9【点评】本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．16.在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则l与C的交点的直角坐标为＿＿＿＿参考答案：(1,2)17.设,则=

。参考答案：1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）若存在，使得，求实数m的取值范围；（2）若m是（1）中的最大值，且正数a，b满足，证明：.参考答案：(1).(2)见解析.【分析】(1)先求出f(x)的最小值为3，再解不等式得解；（2）利用基本不等式证明2a+2b,又因为a+b=1,不等式即得证.【详解】（1）∵，∵存在，使得，∴，∴.（2）由（1）知：的最大值为1，∴，∴，∴.当且仅当时取“=”.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查不等式的存在性问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.设向量，，.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若方程无实数解，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）因为，故的最小正周期为.（Ⅱ）若方程无解，则，所以或，由解得或；由，故不等式无解，所以或.20.（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧棱底面，，是棱上动点，是的中点，（Ⅰ）当是中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由。参考答案：（1）证明，取的中点G，连结EG，FG∵F、G分别是AB、AB1的中点，

∴∥又∵∥∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG

4分∵平面AEB1，EG平面AEB1∴∥平面AEB（2）以C点为坐标原点，射线CA，CB，CC1为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设，平面的法向量.则由得

∵平面∴是平面EBB1的法向量，则平面的法向量∵二面角A-EB1-B的平面角余弦值为，则解得∴在棱上存在点E，符合题意，此时

略21.

如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，CA平分∠BAE，CF⊥AB，F是垂足，CD⊥AE，交AE延长线于D．

（I）求证：DC是⊙O的切线；

（Ⅱ）求证：AF．FB=DE．DA．参考答案：（Ⅰ）连结,,,为圆的切线……5分（Ⅱ）与全等，,……10分

略22.已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当对于任意的，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.参考答案：（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时函数在上单调递增；当时函数在,上单调递增，上单调递减；（2）【分析】（1）求得后，分别在、、、的情况下讨论的符号，从而可得函数的单调性；（2）将问题变为，当时，，从而构造关于的不等式，解不等式可知不合题意；当时，，可知，构造函数，可求得，从而可得的范围.【详解】（1）函数的定义域为．①当时当或时，；当时，在，上单调递增；在上单调递减②当时，，在上单调递增③当时当或时，；当时，在，上单调递增；在上单调递减④当时当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减；