材料力学讲义

**材料力学讲义一、序言二、目录3.1绪论53.1.1概述53.1.2重点知识简介53.1.3难点归纳与剖析53.1.4知识点详解53.1.5典型例题73.2轴向拉伸和压缩83.2.1概述83.2.2重点知识简介83.2.3难点归纳与剖析93.2.4知识点详解93.2.5典型例题143.2.6习题18习题解答193.3剪切和扭转213.3.1概述213.3.2重要知识简介213.3.3难点归纳与剖析213.3.4知识点详解223.3.5例题及解答253.3.6习题28习题解答293.4截面的几何性质303.4.1概述303.4.2重要知识点简介313.4.3难点归纳与剖析313.4.4知识点详解313.4.5典型例题353.4.6习题37习题解答383.5平面弯曲403.5.1概述403.5.2重要知识简介413.5.3难点归纳与剖析413.5.4知识点详解413.5.5典型例题473.5.6习题54习题解答553.6应力状态理论和强度理论583.6.1概述583.6.2重要知识简介583.6.3难点归纳与剖析583.6.4知识点详解583.6.5典型例题653.6.6习题70习题解答713.7组合变形733.7.1概述733.7.2重点知识简介733.7.3难点归纳与剖析733.7.4知识点详解743.7.5典型例题763.7.6习题81习题解答823.8变形能法843.8.1概述843.8.2重点知识简介843.8.3难点归纳与剖析843.8.4知识点详解843.8.5典型例题883.9超静定系统923.9.1概述923.9.2重点知识简介923.9.3难点归纳与剖析923.9.4知识点详解933.9.5典型例题963.10动载荷983.10.1概述983.10.2重点知识简介983.10.3难点归纳与剖析983.10.4知识点详解993.10.5典型例题1013.12压杆的稳定性1023.12.1概述1023.12.2重点知识简介1023.12.3难点归纳与剖析1033.12.4知识点详解1033.12.5典型例题105综合练习题〔一〕106综合练习题〔二〕108综合练习题〔一〕参考答案110综合练习题〔二〕参考答案1163.1绪论材料力学描述的是材料的强度理论，是在假设材料为均匀连续的根底上进行研究的。一般的研究方法有三个步骤：〔1〕分析在外载荷作用下材料或结构的应力状态；〔2〕测量表征材料强度的性能指标〔屈服极限〕、〔强度极限〕；〔3〕应用复杂应力状态下的材料强度理论：，其中或，、分别为相应于屈服和破坏的平安系数；以此来判断材料和构件是否满足强度的要求。概述本章主要掌握几个材料力学的几个根本概念，不会单独列出来考，但是有几个重要概念是必须掌握的，在之后的章节中都会用到。例如用截面法求内力，这也是一项根本技能；内力和应力的概念与区别等。复习本章要注意根本概念的记忆和理解。重点知识简介几个根本假设〔可以把小变形限制条件也作为材料力学的根本假设〕；截面法求内力〔取隔离体，怎么取能使计算简单〕；内力和应力的区别。以上内容是学习材料力学的根底，必须熟练地理解和掌握。3.1.3难点归纳与剖析本章的重点和难点都在于截面法求内力。首先应该选择“隔离体”，所选的隔离体应该使计算简单，这就要求我们要能够初步确定某截面存在的内力形式，无非也就是轴力、剪力、扭矩和弯矩这四种，选定了隔离体之后就是利用其平衡条件，列平衡方程，然后求解未知的内力。再一点就是要理解内力和外力，以及应力之间的关系。首先，内力是由于外力而产生的，这里所说的外力可以是集中力、分布力、扭矩、弯矩等，甚至可以是温度载荷，当外力撤去以后内力也随之消失；应力反映的是内力的密集程度简称为内力的集度，应力的量纲是[力]/[长度]2，一般我们所说的应力又有正应力和剪应力之分，正应力是垂直于截面的应力，而剪应力是平行于截面的应力。3.1.4知识点详解1.强度、刚度和稳定性强度：所谓强度，是指构件或材料抵抗破坏的能力。为了保证构件的正常工作，首先要求构件应具有足够的强度，在荷载作用下不发生破坏。刚度：所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。工程中对构件的变形根据不同的工作情况给予一定的限制，使构件在荷载作用下产生的弹性变形控制在一定的范围内，这就是要求构件具有足够的刚度。稳定性：所谓稳定要求，就是指承受荷载作用时构件在其原有形状下的平衡应保持为稳定平衡。对于受压杆件要求它在压力作用下不丧失稳定，而具有足够的稳定性。2.材料力学的根本假设连续性假设：保证了各个物理量是坐标的连续函数。均匀性假设：实验的根底。各向同性假设：材料的宏观特性。※小变形限制条件：简化计算。3.内力和应力〔1〕内力：在外力作用下，物体对抗或阻止变形而产生于物体内各局部之间的相互作用力。换句话说，内力是由外力引起的，物体内局部子或原子之间的作用力。〔2〕内力的种类：在材料力学中，内力有四种，即轴力、剪力、扭矩和弯矩。〔3〕应力：应力是内力集度，即单位面积上作用的内力，是内力大小的度量，其单位是Pa或MPa。一说到应力，一定要指明是哪一点及过该点哪个方向截面上的应力，否那么是无意义的。〔4〕平均全应力：单位面积上的内力，定义为假设将分解为与截面垂直的分量和与截面相切的分量，那么，分别称为平均正应力和平均切应力。一般情况下，内力不是均匀分布的，所以使，便可得到一点处的应力：全应力正应力切应力4.截面法求内力为显示内力并计算其大小，用假想的平面将构件截开，一分为二，弃去一半，保存另一半作为研究对象，再通过平衡方程求出内力的方法。截面法的根本思想是隔离体必须保持原有的平衡状态，根本步骤为：切开→代替→平衡。5.位移、变形与应变位移：构件中各点、线和面在变形前后位置的改变，分为线位移和角位移。变形是指单元体长度或角度的变化量，而应变那么表征变形的程度，具体定义如下：变形：物体受力后，其内部任意两点之间的相对线位移或二正交直线间的相对角位移。应变：应变是对变形的度量，是无量纲量，应变又分为线应变和角应变。线应变又称正应变，是弹性体变形时一点沿某一方向微小线段的相对改变量，是一无量纲量，用表示，即角应变又称剪应变，是弹性体变形时某点处一对相互正交的微线段所夹直角的改变量，单位为弧度〔rad〕，用表示，即式中，是变形后原来正交的二线段间的夹角。6.杆件变形的根本形式在材料力学中所涉及的杆件变形的根本形式有四种：轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、平面弯曲。其它各种变形形式即为各根本变形的组合，例如偏心压缩可视为压缩和弯曲的组合，斜弯曲可以分解为两个方向的平面弯曲等。3.1.5典型例题本章的典型例题涉及的内容无非就是截面求内力和简单的应力应变计算这两方面的问题。例1：对如下图的钻床，试求n-n截面上的内力。解：应用截面法，很显然，去截面的右边局部作为隔离体是很简单的，因为在有半局部，隔离体上的外力只有一个的集中力F，而左半局部的外力是地面对钻床的约束力，这个约束力是未知的。第二点，我们分析这个所取得隔离体，所取得截面是与力F平行的，很显然，这个n-n截面上没有轴力，存在剪力FS，而这个剪力与外力F构成了一个力偶，那么这个截面上一定存在一个弯矩似的所取得隔离体满足平衡条件。下面就列平衡方程来求解未知的内力：这里要注意的是，上面的第二式中是将所有的力对界面的形心C取矩，至于这个形心的具体位置没必要深究，但是它一定是在截面上！求解上述的两个方程，容易求得截面n-n的内力：例2：如下图的三角形薄板因受外力作用而变形，角点B垂直向上的位移为0.03mm，但AB和BC仍保持为直线。试求沿OB的平均应变，并求AB、BC两边在B点的角度改变。解：由平均应变〔又称为名义应变〕的定义可知，沿OB的平均应变为因为B点在变形前是直角，那么B点的角度改变也就是B点的角应变，根据定义，有注意：〔1〕线应变无量纲，而角应变的单位是弧度。〔2〕线应变是以伸长为正，缩短为负；角应变是以直角的缩小为正，增大为负。3.2轴向拉伸和压缩3.2.1概述轴向拉压是材料力学中研究的最简单也是最根本的一种变形形式，复习时应以概念为主，理解记忆。需要掌握的重点内容有以下几个方面：1.截面法计算拉压杆的内力，会绘制轴力图2.横截面的应力计算〔注意横截面正应力公式的使用条件〕3.斜截面上的应力4.拉压虎克定律，会计算拉压杆的轴向变形5.材料拉压力学性能，掌握几个根本定义、概念等6.拉压杆件的强度计算3.2.2重点知识简介本章的重点是：〔1〕拉压杆横截面的应力计算。对于只承受拉力或压力的直杆，其横截面上的应力也只有拉应力或压应力，根据拉压平截面假定以及小变形的假设，认为横截面上的正应力均匀分布，只要求出截面的内力，除以横截面面积即可，注意应力的量纲是[力]/[长度]2；〔2〕拉压杆斜截面上的应力。区别于横截面的应力，斜截面上既有正应力，也有剪应力，计算的方法还是利用隔离体的平衡条件，这里要特别注意的是剪应力的正负号规那么，区别弹性力学的符号系统。〔3〕拉压虎克定律。虎克定律是弹性体力学的核心，表示的是弹性体中的应力和应变的关系，这里的拉压虎克定律是最简单的形式，也是最根本的形式，以后的章节中还会涉及到广义虎克定律。利用虎克定律就能够求出结构的变形，在材料的刚度计算中尤为重要。3.2.3难点归纳与剖析本章的难点是对拉压虎克定律的理解。拉压虎克定律具有简单的表现形式，即。为了便于理解，我们可以回想一下理论力学中弹簧的变形计算，即，也被称为虎克定律，实际上这是虎克定律的宏观表现形式。由虎克定律可以演化出求杆件变形的公式，3.2.4知识点详解1.轴向拉伸〔压缩〕的变形特点=1\*GB3①构件特征——构件为等截面直杆。=2\*GB3②受力特征——外力或外力的合力作用线与构件轴线重合。=3\*GB3③变形特征——杆件轴线在受力后均匀伸长〔或缩短〕，即杆件两横截面沿杆件轴线方向产生相对的平行移动。2.拉压杆横截面的内力〔1〕截面法截面法是求内力的一般方法。在需求内力的截面处，用一假想的平面沿该截面将杆件截开，取其一局部，将弃去局部对留下局部的作用代之以内力，然后考虑留下局部的平衡，由平衡条件求出该截面上的未知内力。技巧：一般用截面法将杆件截开以后，取外力个数较少的局部作为研究对象，这样计算比拟简单。〔2〕轴力轴向拉、压时，杆件横截面上的内力，以N表示，沿杆件轴线方向。〔3〕轴力的正负号规那么拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。〔4〕轴力图表示各横截面上的轴力沿杆件轴线方向变化规律的图线。2.拉压杆横截面上的正应力〔1〕应力由外力作用所引起的内力的密度。〔2〕应力的特征=1\*GB3①应力定义在物体的假想平面或边界上的一点处。=2\*GB3②应力的量纲为[力]/[长度]2，单位是N/m2，或记为Pa。〔3〕拉压杆横截面上的正应力平面假设：变形前为平面度的横截面，在变形后仍保持为平面，并且仍然垂直于轴线，只是各横截面沿杆轴产生了相对位移。从这一实验观察的结果以及材料的根本假设得到拉压杆的横截面正应力公式：N为正时，为拉应力；N为负时，为压应力。正应力公式应用的条件：外力合力的作用线必须与杆件轴线重合；公式只在距外力作用点一定距离外才是正确的；杆件必须是等直杆。对于截面尺寸缓慢变化的杆件，正应力公式可写成杆轴线坐标x的函数：3.拉压杆斜截面上的应力=1\*GB3①正应力=2\*GB3②切应力剪应力其中剪应力正负号规定：顺时针为正，逆时针为负〔注意这与弹性力学中的剪力符号规定不一样〕=3\*GB3③最大、最小应力4.拉压杆的变形计算、拉压虎克定律〔1〕变形的定义受力物体形状改变时，两点之间线距离或二正交线段之间夹角的改变，前者称为线变形，后者称为角变形。〔2〕轴向拉压变形的计算=1\*GB3①纵向变形=2\*GB3②纵向应变=3\*GB3③拉压虎克定律在材料的弹性范围内，拉压虎克定律描述为或为材料的拉压弹性模量，又称为杨氏模量将和代入虎克定律可得轴向拉压的变形公式定义为材料的拉压刚度。虎克定律的适用条件：应力不超过材料的比例极限，即材料处于弹性阶段。在计算的长度范围内，轴力N、截面面积A及材料弹性模量E均为不变常量的时候，对于阶梯杆或轴力在分段不变的情况下，整个杆的变形等于各段变形的代数和当轴力或截面面积沿杆轴连续变化时，变形由积分公式给出这里要注意公式的灵活应用。=4\*GB3④横向变形泊松比假设杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为，那么横向应变为试验的结果说明：当应力不超过某个极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即式中的称为横向变形系数或泊松比，它是无量纲的量，其值可由试验测定。考虑到横向应变和轴向应变的符号相反，故有弹性模量E和泊松比都是材料的固有的弹性常数，它们是反映材料弹性变形能力的参数。5.材料拉压力学性能〔1〕低碳钢的拉伸试验=1\*GB3①弹性变形与塑性变形弹性变形：解除外力后能完全消失的变形。塑性变形：解除外力后不能消失的永久变形。=2\*GB3②低碳钢拉伸变形的四个阶段以下图是低碳钢拉伸变形时的应力-应变曲线，从曲线中可以看出低碳钢拉伸变形分为几个重要的阶段弹性阶段〔Ob段〕：这段的曲线根本为直线段，换句话说，应力应变的关系根本上保持线性关系。注意这里说“根本”是因为在这个阶段中包含了比例阶段，只有在比例阶段内应力和应变的关系才是为线性的。屈服阶段〔bc段〕：应力变化不大，应变那么不断增长，这段称为屈服平台，这段曲线的出现是与低碳钢材料的内部晶格的排列有关。强化阶段〔cd段〕：在该阶段，应力-应变曲线的斜率是逐渐变小的，并且出现了较大的塑性变形。颈缩阶段〔de段〕：当应力到达强度极限后，试件的变形几乎集中在某一局部区域，使局部横截面面积迅速收缩，形成颈缩现象。由于局部横截面面积迅速减小，使试件继续变形所需的拉力也越来越小，最终试件被拉断。=3\*GB3③几个重要的参数低碳钢拉伸图中的几个重要参数：比例极限、弹性极限、屈服极限、强度极限，弹性模量E。比例极限——应力和应变成正比的最高应力值。弹性极限——只产生弹性变形的最高应力值。屈服极限——应力变化不大，应变显著增加时的最低应力值。强度极限——材料在断裂前所能承受的最高应力值。弹性模量E——数值上等于应力-应变曲线中比例阶段的斜率，即。=4\*GB3④力学性能指标a〕强度指标屈服极限〔对于塑性材料〕或强度极限〔对于脆性材料〕b〕弹性指标弹性指标即材料的弹性模量Ec〕塑性指标塑性指标：延伸率和截面收缩率。延伸率：截面收缩率：其中、为试件拉断后的参数。*d〕冷作硬化材料经过预拉至强化阶段，卸载之后，再受力时，呈现比例极限提高，塑性降低的现象。〔2〕材料压缩时的力学性能=1\*GB3①塑性材料低碳钢是典型的塑性材料，试验结果说明，低碳钢压缩时的弹性模量E、比例极限、屈服极限都与拉伸时大致相同。只是低碳钢压缩时，试件越压越扁。=2\*GB3②脆性材料脆性材料压缩时的力学性能与拉伸时有较大的差异。铸铁是一种典型的脆性材料，试验说明，铸铁弹性范围内的直线局部不明显，没有“屈服点”，试件仍在较小的变形〔但比拉伸时大得多〕下突然破坏。破坏断面与轴线大致成45°角，这说明试件沿斜截面的剪应力而破坏。6.拉压杆件的强度、刚度计算〔1〕强度条件许用应力：，式中根据材料的性质可取材料的屈服极限〔塑性材料〕、名义屈服极限〔塑性材料〕或强度极限〔脆性材料〕，n为平安系数，强度条件：简述为杆内最大工作应力不超过许用应力，即〔2〕强度计算的三类问题=1\*GB3①强度校核=2\*GB3②截面设计=3\*GB3③许用载荷计算〔2〕刚度条件刚度计算是指杆件的变形不超过允许的变形，如果定义为许用变形，那么刚度条件写成或*7.轴向拉压时的超静定问题〔1〕超静定问题未知数多余可被应用的独立平衡方程数，不能用静力学平衡方程完全确定全部未知数的问题。〔2〕超静定问题的解题步骤=1\*GB3①静力平衡条件——由静力平衡条件列出平衡方程。=2\*GB3②变形相容条件——根据结构或杆件变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图〔或变形图〕，有位移图的几何关系列出变形间的关系方程。=3\*GB3③物理关系——由虎克定律列出力-变形间的关系方程。=4\*GB3④将物理关系代入变形相容条件，得到补充方程。补充方程和静力平衡方程，二者方程数正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。3.2.5典型例题例1求图示杆各段的内力并绘轴力图。解〔1〕采用截面法，分别绘出求解各段内力的隔离体图，并在切开的面上以内力N表示。一般内力〔轴力〕以拉力表示。由平衡条件分别解出各段内力为：NI=4KN〔拉〕NII=1KN〔拉〕NIII=-2KN〔压〕例1题图〔2〕绘制轴力图例2一悬挂杆件长l，横截面面积为A，容重为。试求杆件在自重作用下内力沿杆轴的变化并绘出轴力图。解〔1〕内力沿杆轴的分布首先将杆的自重简化成沿杆轴均匀分布的荷载。设立坐标如图，在任意位置x处截取一段隔离体作为研究对象。根据平衡条件，可得：当x=l时，为轴力最大处，其值为〔2〕绘制轴力图如下图例2题图隔离体图轴力图解〔1〕内力沿杆轴的分布首先将杆的自重简化成沿杆轴均匀分布的荷载。设立坐标如图，在任意位置x处截取一段隔离体作为研究对象。根据平衡条件，可得：当x=l时，为轴力最大处，其值为〔2〕绘制轴力图：如下图。例3求例2所示构件横截面的正应力解：轴力上面已求出，为：任意横截面上的应力为：例4钢木构架如图，杆①为钢制圆杆，A1=600mm2，；杆②为木杆，A2=10000mm2，。〔1〕假设P=10kN，校核两杆的强度；〔2〕结该构架的容许荷载[P]；〔3〕根据容许荷载，试重新选择杆①的直径。解〔1〕校核两杆强度，先绘节点B受力图，由静力平衡条件得：〔拉〕=1\*GB3①〔压〕=2\*GB3②两杆的强度均满足条件。〔2〕确定该构架的容许荷载[P]。由杆①：代入式①得：由杆②：代入式②得：为了使两杆均平安，最终确定容许荷载[P]=40.4kN。〔3〕由容许荷载[P]=40.4kN，设计杆①的直径。当构架在[P]=40.4kN作用下，杆②横截面上的应力恰到好处，正好是到达值，对杆①来说，强度仍有余，即杆①的截面还可减小。根据强度条件：例5图示结构由两杆组成，两杆长度均为l，B点受垂直荷载P作用。〔1〕杆①为刚性杆，杆②刚度为EA，求节点B的位移；〔2〕杆①、杆②刚度均为EA，求节点B的位移。解〔1〕：a.绘节点B受力图，并求出两杆内力。由平衡条件可解得：b.绘节点B的位移图，求解节点B的位移。由节点位移图可得节点B的位移解〔2〕：节点受力图同上，节点位移如下。由节点位移可得节点B的水平及垂直位移分别为：节点B的总位移：3.2.6习题习题1对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的A点，哪一种应力状态是正确的。〔〕习题2应用拉压正应力公式的条件是〔〕〔A〕应力小于比例极限〔B〕外力的合力沿杆的轴线〔C〕应力小于弹性极限〔D〕应力小于屈服极限习题3求图示竖直悬挂的实心圆锥杆在自重作用下的伸长量，设材料的比重为。习题4如图，一长为l的刚体〔不计自重〕由两根刚度不同、长度均为l的等直杆悬挂于天花板上，且受铅垂力P的作用，为使刚体保持水平，求距离x。习题5图示构架，刚性梁AD绞支于A点，并以两根材料和横截面面积都相同的钢杆悬吊于水平位置，设，钢杆许用应力，求两吊杆的内力及所需横截面积。习题解答习题1：B习题2：B习题3：此题考核轴向拉压变形的计算取隔离体如下图，隔离体的自重，为截面面积据隔离体的平衡条件，截面内力由轴向变形公式得到：习题4：首先对被悬挂的刚体进行受力分析，如图，列刚体的平衡条件方程由此可以求得两根悬杆的变形要使刚体保持水平，必须有，容易求得习题5：图示构架是一个超静定结构，但是考虑到AD是刚性杆，那么可以应用小变形条件和几何关系来求解。根据几何关系，容易知道杆1和杆2的变形量的关系为，那么由条件两杆的材料、横截面积和长度相同可以得到取AD杆作为隔离体〔如图〕分析其平衡条件，即解得，许用应力，那么，——这两个条件必须同时满足解得两杆的横截面积3.3剪切和扭转3.3.1概述这一章重点掌握扭转的相关计算，剪切局部掌握剪切和挤压的实用计算，主要内容如下：1.剪切和挤压的实用计算2.扭矩、扭矩图3.纯剪切概念，剪切虎克定律4.圆轴扭转应力和变形公式及变形强度和刚度计算5.斜截面应力及破坏分析3.3.2重要知识简介可以说，根本变形的强度、刚度的计算几乎是每年的必考题，包括上一章的轴向拉压、这章的剪切和扭转，以及之后要涉及到得平面弯曲。这几个根本变形会单独出题，一般是2-3道题，大概占到40分左右，而且这局部题是相对简单的，一定要把握住，难一点的也就是组合变形的强度计算问题。从本章来讲，比拟重要也是必须掌握的知识点有：=1\*GB3①剪切、挤压的实用计算；=2\*GB3②圆轴扭转的应力和变形的计算；=3\*GB3③纯剪切、剪切虎克定律的概念。3.3.3难点归纳与剖析本章的难点主要有两个〔1〕圆轴扭转的相关计算圆轴扭转的相关计算中涉及的公式较多：薄壁圆筒的应力公式，实心圆轴的应力公式，圆轴扭转的变形公式等。再一点在计算过程中涉及到了截面的几何性质，具体讲就是截面的极惯性矩，这在下一章节中会具体涉及到。〔2〕纯剪切、剪切虎克定律纯剪切是一个比拟重要的概念，它作为一个根本的定理不仅在材料力学中出现，在弹性力学、塑性力学等几乎所有的变形体力学中都会涉及到，所以一定要仔细掌握。剪切虎克定律描述的是剪切变形中的应力和应变的关系，与拉压虎克定律相似，也具有简单的形式，即，这里的G是剪切弹性模量，它与拉压弹性模量E有一定的关系，这在以后会给出证明。3.3.4知识点详解1.剪切及其实用计算〔1〕剪切的力学模型=1\*GB3①受力特征：构件受一对大小相等、方向相反、作用线相互紧靠但不重合的平行力的作用。=2\*GB3②变形特征：构件沿二平行力的交界面发生相对错动。〔2〕剪切面构件将发生相互错动的面。具有一个剪切面的剪切变形称为单剪切，具有两个剪切面的剪切变形称为双剪切，如以下图所示：单剪切〔每个铆钉只有一个剪切面〕双剪切〔每个铆钉有两个剪切面〕〔3〕剪力剪切面上的内力，其作用线与剪切面平行。〔4〕剪切的实用计算方法根据构件破坏的可能性，以直接试验为根底，用剪切面上的平均应力〔名义应力〕来进行构件的强度计算剪切实用计算：假定剪应力在截面上均匀分布，且平均剪应力等于剪切面上的剪力除以剪切面的面积，即剪切强度条件：剪切的强度条件为式中，为根据直接试验并按名义剪应力公式〔平均剪应力计算公式〕求得的材料的许用剪应力。2.挤压及其实用计算〔1〕挤压挤压常常伴随着剪切产生，指构件局部面积的承压作用。〔2〕平均〔名义〕挤压应力假定挤压应力在挤压面上均匀分布，定义挤压应力为其中挤压面积为〔1〕挤压面为平面时，以实际接触面积作为计算挤压面积〔2〕当挤压面为圆柱面时，以直径投影面作为计算挤压面积。〔3〕挤压强度条件挤压实用计算的强度条件为式中为材料的许用挤压应力，其值由实验测定。3.扭矩、扭矩图〔1〕功率与外力偶矩的换算记住公式〔功率等于外力偶矩与角速度的乘积〕。当给定功率Nk〔kW〕和转速n〔r/min〕时，外力偶矩的计算公式为假设给定功率〔马力，H.P，1马力=735.5W〕时，外力偶矩计算公式为〔2〕扭矩扭矩是扭转杆件的内力偶矩，同样可以由截面法计算，计算的原那么是隔离体的平衡，即外力偶矩与内力偶矩平衡。扭矩的符号规定：按右手螺旋法那么将扭矩用矢量表示，当矢量沿截面外法向时扭矩取正，反之取负。〔3〕扭矩图表示圆杆各截面上的扭矩沿杆轴线方向变化规律的图线。4.纯剪切，剪切虎克定律〔1〕纯剪切的概念单元体的各个面上只承受剪应力。〔2〕剪应力互等定理如下图的纯剪切单元体，根据单元体的平衡条件，有得到。注意：剪应力互等定理虽然是在纯剪切状态下得到的，但它是一般性定理，在有正应力存在的时候同样成立。第二，剪应力互等定理是对单元体而言，单元体是一个微小正六面体，对于一般的六面体并不成立。〔3〕剪切虎克定律在剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变成正比，即式中G为剪切弹性模量；G、E和三者的关系为这个关系在第六章给予证明。5.扭转的力学模型=1\*GB3①构件特征：构件为等圆截面直杆。=2\*GB3②受力特征：外力偶矩的作用面与杆件轴线相垂直。=3\*GB3③变形特征：杆件各横截面绕杆轴作相对转动6.圆轴扭转应力和变形圆轴扭转刚性平面假设：圆轴扭转时，各截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个微小角度。根据这个假设，荣誉推导圆轴扭转时的剪应力计算公式式中为所求点到截面圆心的距离；为截面的极惯性矩，定义为，对于圆截面，，对于空心圆截面。最大剪应力计算：当到达最大时，剪应力为最大，即式中，定义为，为截面的抗扭截面模量，对于圆截面，对于空心圆截面。圆轴扭转变形：圆轴扭转的变形，一般用两个截面间绕轴线的相对扭转角来表示，注意其单位是弧度〔rad〕。这里定义为抗扭刚度，它表示圆轴抵抗扭转变形的能力。〔在拉压变形中曾定义EA为杆件抗拉压刚度，另外圆轴扭转变形公式与拉压变形公式有一定的相似性，注意联系记忆〕7.圆轴扭转的强度、刚度计算圆轴扭转的强度，刚度计算：〔1〕强度条件〔2〕刚度条件工程中常用单位长度的扭转角表示圆轴扭转的变形程度，即通常规定不超过规定的许用值〔其单位工程中习惯上用“度/米”〕，刚度条件为8.斜截面应力及破坏分析圆轴扭转斜截面的应力：画单元体图很容易求得，所以不用刻意去记。破坏分析：对于铸铁，其抗拉能力弱，扭转时沿着最大拉应力面被拉断；对于低碳钢，其抗剪能力弱，在剪应力最大的横截面上被剪坏。3.3.5例题及解答例1试校核如下图连接销钉的剪切强度。，销钉直径，材料的许用剪应力。假设强度不够，应改用多大直径的销钉。解：销钉的每个剪切面所承受的剪力均为销钉的剪切强度为因，故不能平安工作，要满足强度要求，应有，即解上式得应改用直径的销钉。例2如下图，一螺栓将拉杆与厚度为8mm的两块盖板连接。各零件材料相同，许用应力为，，。假设拉杆的厚度，拉力，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。解：〔1〕按拉伸强度要求设计拉杆的宽度。拉杆的轴力，其强度为解上式得〔2〕按剪切强度要求设计螺栓的直径。螺栓所承受的剪力为应满足剪切强度条件解上式得〔3〕按照挤压强度要求设计螺栓的直径挤压轻度条件为解上式得比拟以上三种结果，取例3T为圆杆横截面上的扭矩，试画出如图〔a〕、〔b〕、〔c〕所示截面上与T对应的剪应力分布图。解：由圆轴扭转横截面上任一点的剪应力公式可知，一点剪应力的大小与这一点距圆心的距离成正比，故横截面任意一条半径上各点的剪应力分布分别如图〔a1〕、〔b1〕、〔c1〕所示。例4如下图，AB轴的转速，从B轮输入的功率为，功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴=2\*ROMANII，另一半由水平轴=1\*ROMANI输出。，，，，，。试对各轴进行强度校核。解：AB轴所传递的扭矩为AB轴横截面上最大剪应力为AB轴的最大工作剪应力小于许用剪应力，满足强度要求。I轴横截面上的最大剪应力为I轴的最大工作剪应力小于许用剪应力，满足强度要求。II轴的转速可根据齿轮传动比与直径的关系求得，即II轴传递的扭矩为II轴横截面上最大剪应力为II轴的最大工作剪应力小于许用剪应力，满足强度要求。综上所述可知，各轴均满足强度要求。3.3.6习题习题1在构件内一点处二互相不垂直的截面上，与二面交线垂直的剪应力之间的关系为〔〕大小不相等大小相等，但不成对〔即其方向并不都指向或都离开二面交线〕大小可能相等，也可能成对大小相等而且成对，即剪应力互等定理仍成立习题2在平板和受拉螺栓之间垫上一个垫圈，如下图，可以提高〔〕强度〔A〕螺栓的拉伸〔B〕螺栓的剪切〔C〕螺栓的挤压〔D〕平板的挤压习题3图示圆轴由钢杆和铝套筒结合为一个整体，当其承受扭转变形时，其横截面上的剪应力分布如图〔〕所示习题4钢制圆轴受力如图，图中，，，，。假设，，。设计轴的直径。习题解答习题1.C习题2.D习题3.B注：此题考察的是对剪切虎克定律的理解，以及圆轴扭转变形的特点。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这说明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。剪切虎克定律描述为，在钢杆和铝套筒结合处，变形保持连续，即剪应变相等，那么由于钢材的剪切模量大于铝，故应选B。习题4.作扭矩图由强度条件：，得由刚度条件：，得所以，可取直径。3.4截面的几何性质3.4.1概述截面的几何性质主要包括：静矩、形心、惯性矩和惯性积、极惯性矩等。在材料力学中一般涉及的是构件〔或者就说是杆件〕的截面几何性质，这在进行构件的应力、应变，以及变形的计算中是很重要的，构件的承载能力不仅与构件的材料有关还与构件的几何形状是有关的。这一章重点掌握截面各几何性质的根本概念，主要内容有：1.截面形心的计算2.惯性矩、惯性积3.组合截面惯性矩的平行移轴公式4.主惯性矩、形心主惯矩3.4.2重要知识点简介在所有的截面几何性质中，比拟重要和常用的有截面的静矩和惯性矩这两个。截面的静矩又称为截面的一次矩，而截面的惯性矩那么又称为截面的二次矩，根据这一点，就很容易记住静矩和惯性矩的定义式：静矩：惯性矩：注意积分号里被积函数的差异。关于组合截面几何性质的计算，也是很重要的，例如有些截面并不是简单的一个形状，这时就需要用组合截面的相关计算公式来计算。3.4.3难点归纳与剖析本章的难点是平行移轴公式和对主惯性矩及形心主惯矩的理解，这里要涉及到惯性积。对于平行移轴公式，注意在一对平行轴中，其中一根轴必须是过形心的轴。平行移轴公式的重要应用是计算组合截面的惯性矩。如果截面对某对坐标轴的惯性积为零，那么称这对坐标轴为截面的主惯性轴，简称为主轴。3.4.4知识点详解1.静矩和形心〔1〕一般截面的静矩和形心〔定义〕截面对z、y轴的静矩对z轴的静矩：对y轴的静矩：截面的形心坐标形心坐标：，※截面对形心轴的静矩为零，即静矩的量纲是[长度]3。〔2〕组合截面的静矩和形心对于由n个简单图形组成的组合截面，其静矩为：，组合截面形心：，式中，——各简单图形的面积；——各简单图形的形心坐标；——各简单图形的形心坐标。〔3〕关于静矩的特征总结=1\*GB3①截面的静矩是对某一坐标轴而定义的；=2\*GB3②静矩的量纲为长度的三次方，单位是m3；=3\*GB3③静矩的数值可能是正，也可能为负，也可能等于零。假设截面对某轴的静矩为零，那么该轴必通过截面的形心；反之，假设某轴通过形心，那么截面对该轴的静矩也必等于零。2.惯性矩、惯性积、极惯性矩〔1〕惯性矩惯性矩也称为截面的二次矩，定义为对z轴的惯性矩：对y轴的惯性矩：惯性矩的特征：=1\*GB3①截面的惯性矩是对某一坐标轴而定义的；=2\*GB3②惯性矩的量纲为长度的四次方，单位是m4；=3\*GB3③惯性矩的数值恒为正值。〔2〕惯性积定义积分为截面对两正交轴y和z轴的惯性积。〔两正交轴中，只要有一根轴是截面的对称轴，那么截面对这一对坐标轴的惯性积等于零。〕惯性矩的特征：=1\*GB3①截面的惯性积是对某一坐标轴而定义的；=2\*GB3②惯性积的量纲为长度的四次方，单位是m4；=3\*GB3③惯性积的数值可能是正，也可能为负，也可能等于零。假设一对坐标轴中有一条是截面的对称轴，那么截面对这一对坐标轴的惯性积必等于零，但假设截面对某一对坐标轴的惯性积为零，那么这一对坐标轴中却不一定有截面的对称轴。注意与静矩特征的区别！〔3〕极惯性矩截面对坐标原点的极惯性矩为其中，表示微元面积dA到坐标原点O的距离极惯性矩的特征：=1\*GB3①截面的极惯性矩是对某一极点而定义的；=2\*GB3②极惯性矩的量纲为长度的四次方，单位是m4；=3\*GB3③极惯性矩的数值恒为正值，其数值等于以该点为坐标原点的任意一对正交的坐标轴的惯性矩之和〔4〕惯性半径惯性半径定义为：=1\*GB3①截面对y轴的惯性半径：=2\*GB3②截面对z轴的惯性半径：有了惯性半径的定义之后，截面对坐标轴的惯性矩就可以简单地写成面积与惯性半径平方的乘积的形式〔5〕常用公式〔要记住〕*圆截面对形心的极惯矩为：对形心坐标的惯性矩为：*空心圆截面对形心的极惯矩为：对形心坐标的惯性矩为：3.惯性矩的平行移轴公式如以下图〔a〕，截面的面积为A，对形心轴、的惯性矩为、，惯性积为，和形心轴平行的轴、与、之间的距离分别为、，那么对于组合截面，如图〔b〕，平行移轴公式为※注意：在一组相互平行的坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。〔但惯性积不一定为最小〕4.主惯性矩、形心主惯矩〔1〕主惯性轴与主惯性矩=1\*GB3①主惯性轴——假设截面对坐标轴、的惯性积为零〔〕，那么坐标轴、称为截面的主惯性轴。=2\*GB3②主惯性轴的方位——假设截面对、轴的惯性矩、和惯性积为，那么主惯性轴的方位由下式确定：角度是指原坐标轴、轴与主惯性轴之间的夹角，并且规定其正负号规那么为，从原坐标轴量起，逆时针转向为正。=3\*GB3③主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩这个公式与第六章中主应力的公式类似，如果对主应力公式熟悉了，那么这个公式也不难记忆。主惯性矩是界面对通过同一原点O所有轴的惯性矩中的最大值和最小值。〔2〕形心主惯性轴与形心主惯性矩=1\*GB3①形心主惯性轴——通过截面形心的一对主惯性轴。=2\*GB3②形心主惯性矩——截面对形心主惯性轴的惯性矩。3.4.5典型例题例1半径为r的半圆：〔1〕求其对直径z轴的静矩及形心；〔2〕求对形心轴的惯性矩。解：〔1〕在距z轴任意高度y处取狭长条作为微面积，即〔2〕圆对z轴的惯性矩为：半圆对z轴的惯性矩为：利用平行移轴公式，半圆对形心轴的惯性矩为：例2试计算图示槽形截面的形心主惯性矩。解：〔1〕形心坐标的计算。z为对称轴，形心必在z轴上〔2〕确定形心主轴z为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心并与z轴垂直，即图中y轴。〔3〕形心主惯性矩计算注：此题中用到的公式：〔1〕组合截面形心公式，〔2〕矩形截面的形心惯性矩公式〔3〕平行移轴公式3.4.6习题习题1对于图示直角三角形，以下结论中正确的选项是〔〕〔A〕、都是图形的主轴〔B〕、都不是图形的主轴〔C〕是图形的主轴，不是图形的主轴〔D〕不是图形的主轴，是图形的主轴习题2试确定如下图图形通过坐标原点O的主惯性轴的位置，并计算主惯性矩和的值。习题3确定上题中所示图形的形心主惯性矩及形心主惯性轴习题解答习题1：B习题2：选取坐标系yOz如下图计算截面对y轴和z轴的惯性矩和惯性积：由此得主惯性轴的方向主惯性轴、如下图：主惯性矩利用主惯性矩的计算公式：得习题3：将角形截面视为两个矩形截面之和，如下图，它们的面积和形心坐标分别为：角形截面形心的坐标：求对形心轴和得惯性矩和惯性积形心主惯性矩和形心主惯性轴的方向为：3.5平面弯曲3.5.1概述这一章是材料力学中的重要内容，在历年考研试题中题量较大，主要内容有以下几个方面：1.平面弯曲概念2.剪力方程、弯矩方程3.载荷集度、剪力、弯矩关系4.横截面正应力、剪应力5.梁的强度计算6.求解挠曲线微分方程的积分法、叠加法3.5.2重要知识简介杆件的弯曲变形是四大变形形式中最重要的一种，在工程中也最为常见，因此在每年的考研试题中都占有相对较大的比重。可以说这一章的大局部内容都是非常重要的：剪力方程、弯矩方程是每年必考的，题型是花剪力图和弯矩图；利用载荷集度、剪力、弯矩的关系可以快速作梁的剪力、弯矩图；横截面的正应力、剪应力主要是用于梁的强度计算，可以说是重中之重；梁的挠曲线微分方程以及其积分用于计算梁的刚度条件。3.5.3难点归纳与剖析本章的难点是掌握载荷集度、剪力和弯矩的关系，虽然只是简单的几个微分方程就能描述，但是要掌握其中的内涵以及熟练地应用还需要靠做一局部相关的习题。第二个难点是梁的挠度计算，难度在于要能够熟练地写出梁的弯矩方程，而弯矩方程一般涉及到二次曲线，另一方面，要能够熟练地计算积分，并且能够找出变形的协调条件以确定积分常数。所以总的来说，应该在这一章多下功夫。3.5.4知识点详解1.平面弯曲的概念〔1〕平面弯曲：梁的轴线弯曲后所在平面与外力所在平面相重合的弯曲变形称为平面弯曲。其力学模型的几个特征如下：=1\*GB3①构件特征——等截面直杆。=2\*GB3②受力特征——外力偶或横向力的作用面与杆件的形心主惯性平面相重合。=3\*GB3③变形特征——弯曲变形后，杆件轴线变成在外力作用面内的光滑、平坦的平面曲线。〔2〕梁的几个重要参数梁的载荷种类：集中力、分布载荷、集中力偶梁的约束情况：可动饺支座、固定饺支座、固定端静定梁的根本形式：简支梁、悬臂梁、外伸梁；由两种或两种以上根本形式的静定梁组成的梁称为组合梁，如子母梁等。〔3〕纯弯曲杆件所受外力系为〔或相当于〕力偶时，所产生的弯曲变形称为纯弯曲，这时杆内的剪力为零，弯矩为常数。2.剪力方程、弯矩方程〔1〕剪力、弯矩、剪力方程与弯矩方程梁的内力一般包含剪力和弯矩。剪力是指构件弯曲时，作用线平行于横截面的内力，用Q表示；弯矩是指构件受弯时作用面垂直于其横截面的内力偶矩，用M表示。梁的剪力和弯矩可以通过截面法求出。将梁的轴线作为x轴，并把剪力和弯矩写成坐标x的函数即为建立方程或弯矩方程，表示剪力、弯矩随着截面位置而变化的函数关系。写成、※剪力和弯矩在弯曲变形中的符号规定：在所切横截面内侧取微段，假设剪力Q有绕微段顺时针转动的趋势，那么此截面上的剪力为正，反之为负；假设弯矩M使微段产生向下凸的变形，那么此截面上的弯矩为正，反之为负。——这一点很重要！〔2〕剪力图与弯矩图同拉伸〔压缩〕、扭转一样，我们也可用图来表示梁在各横截面的剪力和弯矩，沿轴线的变化情况。这种图可分别称为剪力图和弯矩图。绘图时，将正号的剪力和弯矩画在x轴的上面，负号的剪力和弯矩画在x轴的下面。3.载荷集度、剪力、弯矩关系〔1〕载荷集度与剪力、弯矩间的微分关系〔2〕根据上述微分关系作剪力、弯矩图上述三个方程也称为梁的平衡微分方程，根据这三个关系可以方便地画梁的剪力图和弯矩图：=1\*GB3①梁上某段没有载荷，即，那么该段梁上，为坐标轴x的线性函数，即为一斜直线；=2\*GB3②梁上某段受均布载荷，即，那么该段梁上的为x的线性函数，为x的二次函数，为抛物线形状。=3\*GB3③在梁的某一截面，即，那么在该截面上弯矩值取极值。=4\*GB3④在集中力作用处，Q图有突变，变化量等于该集中力，弯矩图斜率在此处有突变；在集中力偶作用处，M图有突变，变化量等于该集中力偶，Q图在该处无变化。=5\*GB3⑤对整根梁而言，不但可能发生在Q=0的截面上，也有可能发生在集中力或集中力偶作用处。载荷剪力图弯矩图水平直线或斜直线〔常数〕斜直线二次曲线〔处，M到达极值〕集中力有突变，突变方向沿F的指向，突变值等于F值有折角集中力偶矩无影响有突变，顺时针转向的使M增大，逆时针转向的使M减小。突变量等于值4.梁的正应力及正应力强度条件〔1〕实验现象a.变形后，所有横向线仍保持为直线，只是相对倾斜了一个角度。b.变形后，所有纵向线变成曲线，仍保持平行；上、下局部的纵向线分别缩短和伸长。〔2〕弯曲变形的根本假设根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象相一致，可提出如下假设：=1\*GB3①弯曲的平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线；=2\*GB3②梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵向纤维即不伸长也不缩短，称为中性层。=3\*GB3③单向受力假设，即纵向“纤维”互不挤压假设。〔3〕中性层与中性轴=1\*GB3①中性层——弯曲变形时，梁内有一层纵向纤维，既不伸长也不缩短，因而它们不受拉应力，也不受压应力作用，该层纤维称为梁的中性层。=2\*GB3②中性轴——中性层与横截面的交线〔即横截面上正应力为零的个点之连线〕。=3\*GB3③中性轴位置——在弹性范围内，平面弯曲的梁，其中性轴通过截面的形心，且与载荷作用面垂直。〔4〕梁的曲率与弯矩间的关系〔5〕梁横截面上的正应力=1\*GB3①分布规律——任一点正应力的大小与该店到中性轴的垂直距离成正比，中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。=2\*GB3②计算公式，说明：a〕上式中为抗弯截面模量，定义为b〕对于纯弯曲梁，上式为精确解，对于横力弯曲，上式为近似解〔当时，误差不超过〕c〕对于矩形截面，对于圆截面〔6〕梁的正应力强度条件强度计算的三类问题：=1\*GB3①强度校核=2\*GB3②截面设计，由计算截面尺寸=3\*GB3③许用载荷，由计算许用载荷。※注意：对于塑性材料制成的梁，危险面就在所在的截面，一般截面可设计成对称于z轴的截面，如矩形截面，工字型截面等。对于脆性材料制成的梁，和所在的面都是危险截面，梁横截面往往设计成上、下不对称z轴，如T型截面梁等。5.梁的剪应力及剪应力强度条件〔1〕矩形截面梁的剪应力=1\*GB3①分布规律——剪应力方向与剪力方向平行，其大小沿截面宽度均匀分布，沿高度成抛物线变化。=2\*GB3②计算公式其中，为坐标y以下局部对中性轴的静矩，只要记住矩形截面的即可。※的计算：*〔2〕其它截面形状的剪应力计算其它形状截面〔工字梁、圆截面等〕的剪应力计算公式仍然为：这局部不要求掌握。〔3〕梁的剪应力强度条件或者写成〔4〕要说明的几点问题=1\*GB3①对于细长杆而言，由弯矩产生的正应力是主要的，剪力产生的剪应力是次要的，故只考虑正应力强度，但当构件较粗短、剪力较大而弯矩较小时，或在薄壁截面梁中，应该校核剪应力的强度。=2\*GB3②发生在截面上、下边缘处，该处；发生在截面的中性轴上，该处。对于其他既有正应力又有剪应力的点〔如工字梁截面的翼缘与腹板连接处的点〕，那么强条件不能简单地用、来校核，而应该计算该点的主应力并用强度理论进行核算，这将在下一章讲解。6.弯曲变形的概念〔1〕挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线，平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。〔2〕平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度已挠曲线的曲率来量度。=1\*GB3①纯弯曲时，弯矩-曲率的关系：=2\*GB3②横力弯曲时，弯矩-曲率的关系：〔3〕平面弯曲时的位移=1\*GB3①挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。=2\*GB3②转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。※和的正负号由所选坐标系的正方向来确定。沿y轴正方向的挠度为正，反之为负；转角的正负号判定规那么为，将x轴绕原点旋转而与y轴重合，假设和它的转向相同，那么为正，反之为负。〔4〕挠曲线近似微分方程〔5〕受弯构件的刚度条件，7.积分法求梁的挠度和转角挠度：转角：挠曲线的近似微分方程：由挠曲线的近似微分方程积分一次得转角方程再积分一次得挠曲线方程式中的积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。对于梁上由突变载荷〔集中力、集中力偶、间断性分布力等〕的情况，梁的弯矩不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出两个积分常数，因此还要用连续性条件确定所有的积分常数。8.叠加法求梁的挠度和转角各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所引起的梁的变形〔挠度或转角〕，然后求出各种荷载作用下变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工程中要找的是特定截面的变形〔最大挠度和最大转角〕。*9.简单超静定梁的解法〔1〕超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。〔2〕求解简单超静定梁的变形比拟法采用变形比拟法解超静定梁的一般步骤：=1\*GB3①首先选定多余约束，并把多余约束解除，使超静定梁变成静定梁—根本静定梁。=2\*GB3②把解除的约束用未知的多余约束反力来代替。这时根本静定梁上除了作用着原来的荷载外，还作用着未知的多余约束反力。=3\*GB3③列出根本静定梁在多余约束反力作用处梁变形的计算式，并与原来超静定梁在该约束处的变形进行比拟，建立变形协调方程，求出多余约束反力。=4\*GB3④在求出多余约束反力的根底上，根据静力平衡条件，解出超静定梁的其它所有支座反力。=5\*GB3⑤按通常的方法〔外力求内力、应力、变形的方法〕进行所需的强度和刚度计算。3.5.5典型例题例1求图示梁C、B截面上的剪力和弯矩。解〔一〕求支座反力〔二〕C截面的剪力和弯矩，取脱离体图如下图。〔三〕B截面的剪力和弯矩，分别取B左截面和B右截面脱离体图如下图。例2绘图示梁的剪力图和弯矩图。解〔一〕求支座反力〔二〕列出各段的剪力方程，弯矩方程AC段：CB段：〔三〕绘剪力图和弯矩图由上面的剪力方程和弯矩方程可绘出Q图和M图如图示。讨论：从Q图可看C截面：剪力图在C截面发生一突变，其大小为：故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突变值的大小等于该集中力的大小。从M图可看出，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，其值为：例3绘图示梁的剪力图和弯矩图。解〔一〕求支座反力由平衡条件得：〔二〕作剪力图由梁A端开始。由于A处有向上支座反力，Q图由零向上突变，突变值为。由于AB段内无分布荷载，所以AB段的剪力图为一水平直线，并从A点一直延伸到B点稍偏左截面处。由于B处有向下集中力的作用，Q图上向下有一突变，突变值为，所以B右段面的剪力值为：BC段内无分布荷载，所以BC段的剪力图为一水平线，并从一直延伸到C点。由于CD段有向下的均布荷载作用，即〔常数〕，所以该段Q图为一下降的斜直线。C、D两截面的剪力之差等于荷载在该段之和，即，所以截面的剪力值为：D处有向上支座反力作用，剪力图在D处有突变，突变值就是。处的剪力为：DE段内无荷载作用，剪力图为一水平线，从一直延伸到。在E处有集中力向下作用，Q图又回到零，全梁的Q图见图示。〔三〕作弯矩图由于A为铰支座，又没有集中力偶作用，所以；弯矩从零开始在AB段内，所以M为一上升斜直线。B、A两截面的弯矩之差即为剪力图〔AB段〕的面积。即在BC段内剪力为常数，所以M为一下降斜直线。、B两截面弯矩之差等于BC段剪力图的面积，即C处有集中力偶作用，弯矩图在C处有突变，突变值就是，所以截面的弯矩为在CD段内，由于，所以M图在该段为一上凸的二次曲线。D、截面的弯矩之差就等于该段剪力图的面积，即：DE段内，所以M为一上升斜直线。由于E处为自由端，又没有集中力偶作用，故E处的弯矩，全梁的M图见图示。例4有一外伸梁受力情况如下图，截面采用T型截面，材料的容许拉应力为，容许压应力，试校核梁的强度。解〔一〕作梁的弯矩图如图最大正弯矩：最大负弯矩：〔二〕确定中性轴的位置截面形心距底边〔三〕截面对中性轴的惯性矩〔四〕校核梁的强度〔绘出应力分布图〕1.拉应力强度校核A截面为负弯矩，上部受拉C截面为正弯矩，下部受拉由于，最大拉应力发生在C截面下边缘拉应力强度足够。2．压应力强度校核A截面下部受压：C截面上部受压：由于，最大压应力发生在A截面的下边缘压应力强度足够。3．讨论如果将此梁的截面倒放成⊥形，这时梁的最大拉应力将发生在A截面的上边缘，其值为：这时梁的强度就缺乏。由此可见，对于抗拉、拉压强度不相同，截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况来合理放置梁的截面。例5求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和最大转角。解：〔一〕列出弯矩方程〔二〕建立挠曲线微分方程并积分二次：——a——b〔三〕由边界条件定常数，并建立挠曲线方程和转角方程。由时，得由时，得解出，将C、D代入a、b式后得：——c——d〔四〕求最大挠度和转角由于荷载对称，挠曲线见图，最大挠度在跨中，最大转角那么在A、B处将代入式d得〔负号说明与y坐标相反〕将和分别代入式c得，转角为负值，说明A截面绕中性轴作顺时针方向转动；转角为负值，说明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。3.5.6习题习题1复合梁的二种受载情况如下图〔P无限靠近铰链〕。那么以下结论中正确的选项是〔〕〔A〕两者的Q图、M图完全相同〔B〕两者的Q图相同、M图不同〔C〕两者的Q图不同、M图相同〔D〕两者的Q图、M图均不相同习题2应用平衡微分方程，试画出图示梁的剪力图和弯矩图，并确定和习题3作图示外伸梁的、图，并确定和。习题4弯曲刚度为EI的简支梁承受力矩为的集中力偶作用，如下图。试用积分法求挠曲线方程，以及，，和，。〔10分〕习题解答习题1：A习题2：先求支座反力解除A、B处的约束，代之以未知反力，分别对A和B点取矩，容易求得A、B处的约束反力分别为和；作剪力图：根据梁的平衡微分方程，，在该题中，那么剪力图在梁的各段中为直线，并且在集中力〔即A、B和C〕处发生突变，因此只要确定集中力作用处的剪力，很容易作出剪力图，如以下图中〔a〕，得到弯矩图：根据及剪力图可得弯矩图在AB和BC段梁上时向上凸的抛物线；在整个梁的两端无集中力偶作用，所以整个梁两端的弯矩为零；对整根梁而言，不但可能发生在Q=0的截面上，也有可能发生在集中力或集中力偶作用处。计算Q=0和B点处的弯矩值并作弯矩图如上图〔b〕所示，并求得习题3：先求支座反力对A点取矩：，得方向合力为0：，得作剪力图弯矩图。由剪力弯矩图知：习题4：容易求得挠曲线微分方程为：积分一次得：再积分一次：根据以下条件并利用关系确定积分常数：，；，〔连续性条件〕，，，得从而有，3.6应力状态理论和强度理论3.6.1概述受力构件内同一截面上各点的应力一般是不同的，而通过同一点不同〔方位〕截面上的应力也是不同的。本章研究构件在复杂载荷作用下的构件某一点一般的应力情况，并建立相关的强度理论，即破坏准那么，为工程中的计算和设计提供依据。本章也是材料力学中一个重要的章节，其涉及的理论和方法在弹性理论与工程设计中也都是很有价值的。就考研的试题来说，本章也是必考内容，所占的比重也相对较大，综合性较强。本章的主要内容和要求有以下几个方面：1.应力状态概念2.二向应力状态分析的解析法及图解法3.三向应力状态结论4.广义虎克定律5.四个常用的强度理论3.6.2重要知识简介正如前面所述本章主要研究构件在复杂载荷作用下某一点一般的应力情况，这种应力情况也就是某点既有正应力也有剪应力，而不是前几章中某点只有正应力或只有剪应力的简单情况。本章重点涉及到对构件内某点应力状态的把握，重点掌握解析法和图解法求解二向应力状态的主应力和主方向，以及四个常用的强度理论，对广义虎克定律有一定的理解；三向应力状态更为复杂，其主应力的求解一般要建立应力矩阵，通过求这个应力矩阵特征值的方法来确定主应力，这在材料力学中不要求掌握，只要了解几个简单的结论即可。3.6.3难点归纳与剖析本章的难点是二向应力状态的解析法及图解法和四个重要的强度理论。二向应力状态的求解涉及的公式、结论较多，难以记忆，但是理解之后也并非很难，无非是将正方形的单元体沿着要求解的方向切开，去其中一块三角形的单元作为隔离体，来考虑隔离体的平衡，这里只是将截面法应用要某个微小单元体上；对于四个强度理论，也要理解掌握，这其中一定要记住四个“相当应力”的公式，并且要理解每个应力强度理论适用于那种情况。3.6.4知识点详解1.应力状态的概念〔1〕一点应力状态所谓一点的应力状态，就是受力构件内通过任一点各个不同方位截面上的应力情况。研究一点的应力状态称为应力分析，其目的是为了判断受力构件在什么地方、哪个方向最危险，为分析构件的强度提供根底。〔2〕一点应力状态的表示方法围绕所研究的点，截取一个单元体〔无穷小的正六面体〕，物体其余局部对该单元体的作用以单元体六个面上的应力分量来表示，这样的单元体就表示受力物体内一点处的应力状态。〔3〕主平面、主应力=1\*GB3①主平面——单元体上无剪应力作用的平面。=2\*GB3②主应力——主平面上的正应力。主应力通常用、、来表示，并且规定它们的大小顺序为。〔4〕应力状态的分类=1\*GB3①单向应力状态——三个主应力中，只有一个不为零的应力状态。=2\*GB3②二向应力状态——三个主应力中，有两个不为零的应力状态。=3\*GB3③三向应力状态——三个主应力都不等于零的应力状态。2.二向应力状态分析的解析法〔1〕斜截面上的应力〔a〕二向应力状态〔b〕隔离体及局部坐标系上图〔a〕为一个一般的二向应力状态，现求解角度为方向上的应力，〔b〕为所取的隔离体，并建立局部的正交坐标系和，代表方向截面的法向和切向。在局部坐标系以下隔离体的平衡方程，并设图〔b〕中斜截面的厚度为单位厚度，面积为，得到在上面两式中以代替，并简化得：以上就是任意斜截面上的应力计算式。符号规定：=1\*GB3①正应力以拉为正，压为负；=2\*GB3②剪应力以对单元体内任一点产生顺时针转向为正，逆时针为负；=3\*GB3③方向角以逆时针为正，顺时针为负。〔2〕主平面、主应力=1\*GB3①主平面方向：=2\*GB3②主应力：〔3〕最大最小剪应力及其作用面=1\*GB3①最大最小剪应力：=2\*GB3②作用面方向：——=3\*GB3③最大最小剪应力所在截面上的正应力：3.二向应力状态分析的图解法——应力圆〔莫尔圆〕应力圆与单元体的对应关系如下表：单元体应力圆单元体某平面上的应力应力圆上的某定点坐标单元体两平面的夹角应力圆两对应点的中心角单元体的最大剪应力值应力圆半径单元体的主应力应力圆与轴交点的坐标应力圆〔莫尔圆〕方程：圆心坐标：半径：4.三向应力状态结论〔1〕主应力在任意应力情况下，必存在三个互相垂直的主应力〔假设均不等于零〕，。〔2〕最大剪应力〔3〕最大正应力最大剪应力的作用面与作用面垂直，与、作用面分别成角。5.广义虎克定律〔1〕三向应力状态下的广义虎克定律〔2〕用主应力表示的广义虎克定律〔3〕二向应力状态广义虎克定律的简化或※6.三向应力状态的弹性变形比能〔1〕三向应力状态的弹性变形比能在单向拉伸或压缩时，由应力与应变所描述的弹性变形比能〔单位体积所存储的弹性变形能〕为推广到三向应力状态，由三个主应力和三个主应变表示的弹性变形比能为将主应力表示的广义虎克定律代入上式，化简得到三向应力状态的弹性变形比能为〔2〕、、三者的关系其证明见练习题3。7.四个常用的强度理论在工程实际中许多构件的危险点是处于复杂应力状态下，其应力组合的方式有各种可能性。如采用拉〔压〕时用的试验方法来建立强度条件，就得对材料在各种应力状态下一一进行试验，以确定相应的极限应力，这显然是难以实现的。强度理论就是根据对材料破坏现象的分析，采用判断推理的方法，提出一些假说，从而建立相应的条件。〔1〕材料破坏的两种形式=1\*GB3①屈服破坏〔塑性流动破坏〕——材料有显著的塑性变形〔即屈服现象〕，最大剪应力作用面间相互平行滑移使构件丧失了正常工作的能力。塑性流动主要是由剪应力所引起的。例如：低碳钢试件在简单拉伸时与轴线成方向上出现滑移线就属这类形式。=2\*GB3②脆性断裂破坏——材料破坏时无明显的塑性变形，断口粗糙。脆性断裂是由拉应力所引起的。铸铁试件在简单拉伸时沿横截面被拉断；铸铁试件受扭时沿方向破裂，破裂面就是最大拉应力作用面。〔2〕四个常用的强度理论=1\*GB3①第一强度理论〔最大拉应力理论〕这一理论认为最大拉应力是引起材料脆性断裂破坏的主要因素，即不管材料处于简单还是复杂应力状态，只要最大拉应力到达材料在单向拉伸时断裂破坏的极限应力，就会发生脆性断裂破坏。建立的强度条件为：实践证明，该理论适合脆性材料在单向、二向或三向受拉的情况。此理论缺乏之处是没有考虑其它二个主应力对材料破坏的影响。=2\*GB3②第二强度理论〔最大伸长线应变理论〕这一理论认为最大伸长线应变是引起材料脆性断裂破坏的主要因素，即材料在复杂应力状态下，当最大伸长线应变到达单向拉伸断裂时的最大拉应变时，材料就发生断裂破坏。根据广义虎克定律由此建立的强度条件为：该理论能很好地解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时沿横向〔裂纹呈竖向〕发生断裂破坏的现象。铸铁在，且的情况下，试验结果也与该理论的计算结果相近。按照此理论，铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时更平安，这与试验结果不符。同样此理论也不能解释三向均匀受压时，材料不易破坏这一现象。=3\*GB3③第三强度理论〔最大剪应力理论〕这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要因素，即不管材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险点处的最大剪应力到达材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就会发生塑性流动破坏。对于复杂的三向应力状态，最大剪应力为由此建立的强度条件为：这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力的影响，且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事实无法解释。=4\*GB3④第四强度理论〔形状改变比能理论〕这一理论认为形状改变比能是引起材料塑性流动破坏的主要因素，即不管材料处于简单还是复杂应力状态。只要构件危险点处的形状改变比能，到达材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能，就会发生塑性流动破坏。形状改变比能表达式为建立的强度条件为这一理论较全面地考虑了各个主应力对强度的影响。试验结果也与该理论的计算结果根本相符，它比第三强度理论更接近实际情况。〔3〕强度理论的选用四个强度理论可用如下统一的形式表达：式中称为相当应力，它是由三个主应力按照一定的形式组合而成的，根据四个强度理论，其对应四个相当应力分别为对于强度理论的选用，须视材料，应力状态而异，一般说，脆性材料〔如铸铁、石料、混凝土等〕在通常情况下以断裂的形式破坏，所以宜采用第一和第二强度理论。塑性材料〔如低碳钢、铜、铝等〕在通常情况下以流动的形式破坏，所以宜采用第三和第四强度理论。必须指出，即使是同一材料，在不同的应力状态下也可以有不同的破坏形式。如铸铁在单向受拉时以断裂的形式破坏。而在三向受压的应力状态下，脆性材料也会发生塑性流动破坏。又如低碳钢这类塑性材料，在三向拉伸应力状态下会发生脆性断裂破坏。※关于四个强度理论的说明：四个强度理论中，第一、第二强度理论是关于脆性断裂破坏的理论，而第三、第四强度理论是关于塑性流动破坏的理论；第三、第四强度理论分别对应于塑性力学中的Tresca屈服条件和Mises屈服条件。3.6.5典型例题例1平面应力状态如图示。试用解析法求：①斜面上的应力并表示于图中〔斜面法线与x轴成30度〕；②主应力大小及方位，并绘主应力单元体；③最大剪应力大小及方位，并绘主剪应力单元体。解〔一〕斜面上的应力条件为：代入斜截面的应力公式，可得：〔拉应力〕〔逆时针〕〔二〕主应力大小及方位由主应力及主方向的公式解得一个主平面的方位角为，另一主平面的方位角为。应当指出，由于平面应力状态单元体前后两平面是零应力平面，主应力为零，因此，它也是主平面，按三个主应力排列次序，应为：绘主应力单元体图如下：〔三〕主剪应力大小及方位得：主剪应力面上的正应力为：例2图示矩形截面杆一端自由一端固定，在中性层A点处沿与杆轴成贴二片应变片，当杆受轴向力和横向力作用时，测出和。试求此时和的表达式。〔均为〕解〔一〕A点的应力轴力引起的正应力：横向力引起的剪应力：A点的应力状态如图〔二〕求和由斜截面的应力表达式，计算方向的正应力为：将应力代入广义虎克定律中得：化简后得到：从而解得：例3火车车轮与钢轨接触点处的三个主应力为、和。假设，试对接触点作强度校核解：由题知、、，分别按照第三强度理论和第四强度理论校核强度相当应力等于或者小于许用应力，所以平安。例4No20a工字钢梁受力如图，材料的许用应力，校核其强度。解：〔一〕画梁的剪力图和弯矩图危险截面发生在C、D截面〔二〕强度校核先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。a．正应力强度校核〔〕点b．剪应力强度校核〔〕点正应力和剪应力强度条件均满足。c．校核腹板和翼板交接处〔〕点的强度。点处的复杂应力状态，绘出点的应力状态图。由于钢梁为塑性材料，点处的强度可由第三或第四强度理论进行校核。说明钢梁在点处的相当应力超过许用应力，不能满足强度要求。必须增大工字钢的型号，才能满足钢梁在点处的强度。3.6.6习题习题1圆截面杆承受以下四种变形，在〔〕变形方式下，其外边界上的点不可能出现图示的应力状态。〔A〕扭转〔B〕平面弯曲〔C〕弯扭组合〔D〕拉、弯、扭组合习题2平面微体各截面的应力如下图，试求主应力的大小及所在截面的方位，并在微体中画出。习题3试求图a中所示的纯剪切状态旋转45°后各面上的应力分量，并将其标于图b中。并分别利用两种关系：〔1〕图a和b两种情形下的应变比能相等；〔2〕图a中45°对角线方向上的应变和图b情形下方向上的应变相等，证明：习题4图示圆截面梁，承受均布载荷，，，假设梁材料的许用应力，试选选择梁的截面直径。习题解答习题1：选B习题2：直接应用公式和即得结果这里、、计算得到：，，习题3：纯剪切单元体的主应力为主单元体与原单元体夹角为45°，即图b所示的单元体恰好为图a中单元体的主单元体，如下图。〔1〕在图a所示的情形下，只有剪应力作用，其应变比能为在图b所示的情形下，只有正应力作用，其应变比能为由平面情况下的广义虎克定律得到令即得〔2〕在图a中由于剪应力作用，发生剪应变，设为设单元体的边长为dx，左右两边截面发生错动，如图，可得对角线伸长量为对角线原长，那么对角线的应变为图b中方向的应变为：，即令得到习题4：作弯矩图，弯矩最大值在梁的中点，其值为对与圆截面，有，其中强度条件为即所以，可以选择梁的截面直径为。3.7组合变形3.7.1概述所谓组合变形就是两种或两种以上根本变形〔拉、压、剪、扭、弯〕的组合。分析组合变形强度问题的关键在意对任意作用的外力进行分解或简化。只要能将组合变形分解成几种根本变形，便可以应用前几章的知识和叠加原理来解决。根本要求：组合变形概念及迭加法，斜弯曲，拉〔压〕与弯曲的组合变形，偏心拉压，扭转与弯曲的组合变形。3.7.2重点知识简介计算组合变形的根本原理是力的独立作用原理，在小变形和应力应变满足线性关系的前提下，组合变形时杆件的应力状态可以看成是几种简单受力形式下应力状态的叠加，也就是叠加原理。常见的组合变形有斜弯曲、拉〔压〕与弯曲的组合变形、偏心拉压、扭转与弯曲的组合变形四种，从近几年的考研试题来看，主要考后两种。3.7.3难点归纳与剖析掌握本章的前提是掌握根本变形的强度和刚度计算，另外还需要重点掌握应力状态的计算和四个强度理论，因为本章涉及的是组合变形，一点的应力状态比拟复杂。本章的难点主要有两方面，一是要将外力简化或分解成几种简单受力形式，这时理论力学的根底就显得比拟重要，这里有几个技巧，由于材料力学中涉及的构件多是杆件，所以一般要将外力向每根杆的杆端等效，等效的结果是在各杆的杆端形成力和力矩，然后需要将这些力的力矩向坐标系投影，这样以后就可以将组合变形拆解成简单变形；二是根据构件的内力分布判断危险点，然后用强度理论来校核强度。※注意：在对组合变形进行强度校核时，一般来说，对于细长杆，剪力是不用考虑的，但是对于短粗杆是需要考虑剪力的，另一个判断的原那么就是，粗略估计由剪力引起的剪应力大小，如果与其他变形产生的应力有数量级上的差异，就不需要考虑剪力。3.7.4知识点详解1.组合变形的概念及叠加法〔1〕组合变形构件同时发生两种或两种以上根本变形。〔2〕组合