2022-2023学年湖南省长沙市中加国际学校高一数学文联考试卷含解析

2022-2023学年湖南省长沙市中加国际学校高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.2log6+3log6=（）A．0B．1C．6D．log6参考答案：B【分析】直接利用对数的运算性质化简求值．【解答】解：2log6+3log6==log62+log63=log66=1．故选：B．2.如果等差数列中，，那么（

）

A．14

B．21

C．28

D．35参考答案：C3.在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是()A．9

B．9

C．18

D．18参考答案：B4.函数的定义域是（）

A．

B．（1，2）

C．（2，+∞）

D．（－∞，2）参考答案：B略5.集合的子集有几个

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（

）A．存在一个三角形，内角和等于1800

B．所有三角形，内角和都等于1800

C．所有三角形，内角和都不等于1800

D．很多三角形，内角和不等于1800参考答案：B

解析:该命题是一个“存在性命题”,于是“存在”否定为“所有”;“不等于”否定为“都等于”.7.若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）．A．

B．C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．参考答案：B8.已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（）＞0的解集为（）A．（0，）∪（2，+∞） B．（，1）∪（2，+∞） C．（0，） D．（2，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数的奇偶性和单调性的关系确定不等式，然后解不等式即可．【解答】解：方法1：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以不等式f（）＞0等价为，因为函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，所以，即，即或，解得或x＞2．方法2：已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，所以f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（﹣）=0．①若，则，此时解得．②若，则，解得x＞2．综上不等式f（）＞0的解集为（0，）∪（2，+∞）．故选A．9.已知函数是偶函数，且，则A．2 B．3

C．4

D．5参考答案：D10.等于（

）.A．

B．

C．

D．参考答案：.B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是

参考答案：12.（6分）（2015秋淮北期末）函数f（x）=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为． 参考答案：a=0或a＞1【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用． 【分析】作出函数g（x）=|x2﹣1|的图象，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：函数g（x）=|x2﹣1|的图象如图所示， ∵函数f（x）=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点， ∴a=0或a＞1． 故答案为：a=0或a＞1． 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根13.若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所在的扇形面积为

cm2参考答案：4略14.等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则a4=．参考答案：5【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差中项、等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a4．【解答】解：∵等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，∴，解得，∴．故答案为：．15.（本小题满分15分）已知.（1）求的值；（2）若为直线的倾斜角，当直线与曲线有两个交点时，求直线的纵截距的取值范围.参考答案：（1）－8；（2）．试题分析：（1）首先根据条件求出的值，然后利用倍角公式结合同角三角函数间的基本关系求解即可；（2）首先根据直线与圆有两个交点，利用点到直线的距离公式求得的范围，然后由直线与圆相切时求得的最小值，从而求得参数的取值范围．KS5U试题解析：（1），故．当直线过点时，，所以参数的取值范围是.考点：1、倍角公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、直线与圆的位置关系．16.若对任意,,(.)有唯一确定的,与之对应,称,为关于,的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数.的广义“距离”.(1)非负性:时取等号；(2)对称性:；(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于.的广义“距离”的序号:①；

②；

③能够成为关于的.的广义“距离”的函数的序号是___________.参考答案：①17.已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且PA=5，，，则的长为

．参考答案：10或110三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？参考答案：19.已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．

（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0

则有

…2分解得

∴圆C的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0

…………4分（2）设符合条件的实数存在，由于l垂直平分弦，故圆心必在l上．所以l的斜率，而，

所以．

…………5分把直线ax-y+1=0即y=ax+1．代入圆的方程，消去，整理得．由于直线交圆于两点，故，即，解得．则实数的取值范围是．…7分由于，故不存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦．………8分20.已知圆与直线相切于点，其圆心在直线上，求圆的方程参考答案：设圆的方程为，其中圆心，半径为，由题意知圆心在过点且与直线垂直的直线上，设上，把点代入求得.由，得圆心..所以圆的方程为21.（14分）对于函数f（x），我们把使得f（x）=x成立的x称为函数f（x）的“不动点”；把使得f（f（x））=x成立的x称为函数f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．（1）求证：A?B；（2）若f（x）=2x﹣1，求集合B；（3）若f（x）=x2﹣a，且A=B≠?，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 二次函数的性质；函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）分类求解若A=?，则A?B显然成立；若A≠?，（2）得出f（f（t））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3=x，求解即可．（3）分类①△＜0，a时，C=??A成立②△=0，A=时，C={﹣}，A={，}，C?A成立③△＞0，总结即可．解答： 解：（1）若A=?，则A?B显然成立；

若A≠?，设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t∴t∈B，故A?B（2）∵f（x）=2x﹣1，∴f（f（t））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3=x，∴x=1

∴B={1}

（3）∵A≠?有实根，∴a方程f（f（t））=（x2﹣a）2﹣a=x，可化为（x2﹣x﹣a）（x2+x﹣a+1）=0设方程x2+x﹣a+1=0的解集为C，方程f（f（x））=x的解集B═A∪C∵A=B，∴C?A

方程x2+x﹣a+1=0的判别式△=4a﹣3①△＜0，a时，C=??A成立②△=0，A=时，C={﹣}，A={，}，C?A成立③△＞0，a时，不合题意由①②③得a综上所述a∈[，]点评： 本题考查了集合，函数的性质，方程等问题，属于中档题，计算较麻烦，分类清晰，讨论详细．22.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.（1）若M为BC边的中点，求证:;（2）若，求△ABC面积的最大值.参考答案：（1）详见解析；（2）1.【分析】（1）证法一：根据为边的中点，可以得到向量等式，平方，再结合余弦定理，可以证明出等式；证法二：分别在和中，利用余弦定理求出和的表达式，利用，可以证明出等式；（2）解法一：解法一：记面积为．由题意并结合（1）所证结论得：，利用已知，再结合基本不等式，最后求可求出面积的最大值；解法二：利用余弦定理把表示出来，结合重要不等式，再利用三角形面积公式可得，令设，利用辅助角公式，可以求出的最大值，即可求出面积的最大值.【详解】（1）证法一：由题意得