湖南省常德市官垱中学2022-2023学年高一数学文联考试卷含解析

湖南省常德市官垱中学2022-2023学年高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为125，则第1组中按此抽签方法确定的号码是（

）A．7

B．5

C．4

D．3参考答案：B考点：系统抽样．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式及抽样方法——系统抽样的考查，在系统抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相等的，结合系统抽油的特征构造等差数列使我们解决系统抽样的常用方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中正确理解系统抽样的方法和系统的规则是解答此类问题的关键．2.已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是（） A． B． C．4 D．9参考答案：A【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数，先求f（）的值，然后求f[f（）]的值即可． 【解答】解：由分段函数可知f（）=， 所以f[f（）]=f（﹣2）=． 故选A． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，以及指数函数和对数函数的求值问题，比较基础． 3.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，，则B等于（

）A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：A【分析】根据正弦定理求得，根据大边对大角的原则可求得B.【详解】由正弦定理得：

本题正确选项：A【点睛】本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点，属于基础题.4.在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=3，BD=4，则三棱锥A﹣BCD外接球的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．参考答案：D【考点】球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】取AD的中点O，连结OB、OC．由线面垂直的判定与性质，证出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD与△ACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OD=AD，所以A、B、C、D四点在以O为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出AD长，即可得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小．【解答】解：取AD的中点O，连结OB、OC∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=AD．同理可得：Rt△ABD中，OB=AD，∴OA=OB=OC=OD=AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．Rt△ABD中，AB=3且BD=4，可得AD==5，由此可得球O的半径R=AD=，即三棱锥A﹣BCD外接球的半径为．故选：D【点评】本题已知三棱锥的底面为直角三角形，由它的外接球的半径．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球内接多面体等知识，属于中档题．5.如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是

（

）

A．0

B．0或1

C．1

D．不能确定参考答案：B6.已知f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若,则x的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.(0,1)∪(10,+∞)参考答案：C7.（5分）设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（A∩B）∪C=（） A． {1，2，3} B． {1，2，4} C． {2，3，4} D． {1，2，3，4}参考答案：D考点： 交、并、补集的混合运算．分析： 属于集合简单运算问题．此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出错．解答： ∵集合A={1，2}，B={1，2，3}，∴A∩B=A={1，2}，又∵C={2，3，4}，∴（A∩B）∪C={1，2，3，4}故选D．点评： 考查的是集合交、并、补的简单基本运算．8.函数f（x）=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．9.若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】象限角、轴线角．【专题】计算题．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．【点评】本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．10.一个三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．36π D．64π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：16π故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

参考答案：略12.函数的定义域为．参考答案：【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据分母不是0，得到关于x的不等式，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：1﹣sinx≠0，解得：x≠2kπ+，k∈Z，故函数的定义域是：，故答案为：．13.（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为。记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

……可以推测的表达式，由此计算

参考答案：100014.已知在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6，CD=2，，求三角形ABC的外接圆半径R为

.参考答案：

15.已知是定义域为R的偶函数，且当时，，则=___________．参考答案：-1考点：周期性和对称性函数的奇偶性试题解析：因为是定义域为R的偶函数，所以所以函数的周期为4．所以故答案为：-116.已知函数是奇函数，则实数a的值. .参考答案：17.设是定义在上的奇函数，当时，，则

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知函数,.(1)设是函数的一个零点,求的值；(2)求函数的单调递增区间.参考答案：

………………3′当,即()时,函数是增函数,故函数的单调递增区间是()………………2′19.已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．参考答案：【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）在锐角△ABC中，根据条件利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），化简可得cosA=，由此可得A的值．（2）由正弦定理可得==2，可得b+c=2（sinB+sinC）=2sin（B+）．再由，求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a?，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20.（本题满分8分）解方程：参考答案：————————2分

———————2分

——————————2分

经检验是增根，舍去—————1分

原方程的解是————————1分21.已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．参考答案：【分析】（1）直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令，解出即可得出直线l经过定点．（2）当m变化时，PQ⊥直线l时，点P（3，1）到直线l的距离的最大．（3）由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0，因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），可得与x轴、y轴的负半轴交于A（，0），B（0，k﹣2）两点，＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．可得S△OAB=××（2﹣k）=，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）证明：直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令，解得，则直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．（2）解：当m变化时，PQ⊥直线l时，点P（3，1）到直线l的距离的最大==5．（3）解：由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0，因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），可得与x轴、y轴的负半轴交于A（，0），B（0，k﹣2）两点，＜0，k﹣2＜0，解得k＜