2022年安徽省亳州市中考数学最后一模试卷含解析

2022年安徽省亳州市中考数学最后一模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是()A．(a－3)2＝a2－6a－9 B．(a＋3)(a－3)＝a2－9C．(a－b)2＝a2－b2 D．(a＋b)2＝a2＋a22．《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何？译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两。问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则列方程组错误的是（）A． B． C． D．3．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图所示．其中阅读时间是8~10小时的频数和频率分别是（）A．15，0.125 B．15，0.25 C．30，0.125 D．30，0.255．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=53，则∠B的度数是（

）A．30°B．45°C．50°D．60°6．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（）A．20% B．11% C．10% D．9.5%7．如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50° B．20° C．60° D．70°8．下列计算正确的是A． B． C． D．9．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=310．如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且，那么点A表示的数是A． B． C． D．3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是尺.

12．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为_____度．13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．14．计算：|﹣5|﹣=_____．15．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为.16．因式分解：a2b＋2ab＋b＝．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）已知线段a及如图形状的图案.（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.18．（8分）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C，其中A点的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．19．（8分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．（1）求证：∠CBF=∠CAB．（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．20．（8分）问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝6，求△ABC的外接圆半径R的值；问题探究（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝8，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．21．（8分）某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．22．（10分）某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需要，需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成．甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．23．（12分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．24．已知，抛物线y=ax2+c过点（-2，2）和点（4，5），点F（0，2）是y轴上的定点，点B是抛物线上除顶点外的任意一点，直线l：y=kx+b经过点B、F且交x轴于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，连接FC，求证：FC平分∠BFO；②当k=时，点F是线段AB的中点；（3）如图2，M（3，6）是抛物线内部一点，在抛物线上是否存在点B，使△MBF的周长最小？若存在，求出这个最小值及直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解析】

利用完全平方公式及平方差公式计算即可．【详解】解：A、原式=a2-6a+9，本选项错误；

B、原式=a2-9，本选项正确；

C、原式=a2-2ab+b2，本选项错误；

D、原式=a2+2ab+b2，本选项错误，

故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．2、D【解析】

由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10，由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8，则7头牛、7只羊，值金18两，据此可知7x+7y=18，据此可得答案．【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，

由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10，

由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8，

则7头牛、7只羊，值金18两，据此可知7x+7y=18，

所以方程组错误，

故选：D．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到相等关系及等式的基本性质．3、D【解析】试题分析：俯视图是从上面看到的图形．从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，故选D．考点：简单组合体的三视图4、D【解析】分析：根据频率分布直方图中的数据信息和被调查学生总数为120进行计算即可作出判断.详解：由频率分布直方图可知：一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的：频率：组距=0.125，而组距为2，∴一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频率=0.125×2=0.25，又∵被调查学生总数为120人，∴一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频数=120×0.25=30.综上所述，选项D中数据正确.故选D.点睛：本题解题的关键有两点：（1）要看清，纵轴上的数据是“频率：组距”的值，而不是频率；（2）要弄清各自的频数、频率和总数之间的关系.5、D【解析】根据圆周角定理的推论，得∠B=∠D．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．

在直角三角形ACD中求出∠D．则sinD=AC∠D=60°∠B=∠D=60°．故选D．“点睛”此题综合运用了圆周角定理的推论以及锐角三角函数的定义，解答时要找准直角三角形的对应边．6、C【解析】

设二，三月份平均每月降价的百分率为，则二月份为，三月份为，然后再依据第三个月售价为1，列出方程求解即可.【详解】解：设二，三月份平均每月降价的百分率为．根据题意，得=1．解得，（不合题意，舍去）．答：二，三月份平均每月降价的百分率为10%【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a，每次降价的百分率为a，则第一次降价后为a（1-x）；第二次降价后后为a（1-x）2,即：原数x（1-降价的百分率）2=后两次数.7、D【解析】题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．8、B【解析】试题分析：根据合并同类项的法则，可知，故A不正确；根据同底数幂的除法，知，故B正确；根据幂的乘方，知，故C不正确；根据完全平方公式，知，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了整式的混合运算，解题关键是灵活应用合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，乘法公式进行计算.9、C【解析】

试题分析：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．考点：分式有意义的条件．10、B【解析】

如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么AB的中点即为坐标原点．【详解】解：如图，AB的中点即数轴的原点O．

根据数轴可以得到点A表示的数是．

故选：B．【点睛】此题考查了数轴有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点确定数轴的原点是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1.【解析】试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为=1（尺）．故答案为1．考点：平面展开最短路径问题12、1【解析】解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′．又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°．又∵∠ABE=20°，∴∠DBC=1°．故答案为1．点睛：本题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．13、b＜9【解析】

由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出实数b的取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，

，

解得：．【点睛】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．14、1【解析】分析：直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案．详解：原式=5-3=1．故答案为1.点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．15、（10，3）【解析】

根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8),∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中,OF==6，∴FC=10−6=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，即EC的长为3.∴点E的坐标为(10,3).16、b2【解析】该题考查因式分解的定义首先可以提取一个公共项b，所以a2b＋2ab＋b＝b（a2＋2a＋1）再由完全平方公式（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2所以a2b＋2ab＋b＝b（a2＋2a＋1）=b2三、解答题（共8题，共72分）17、（1）如图所示见解析，（2）当半径为6时，该正六边形的面积为【解析】试题分析：（1）先画一半径为a的圆，再作所画圆的六等分点，如图所示，连接所得六等分点，作出两个等边三角形即可；（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，由已知条件先求出AB和OE的长，再求出CD的长，即可求得△OCD的面积，这样即可由S阴影=6S△OCD求出阴影部分的面积了.试题解析：（1）所作图形如下图所示：（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，∴BE=OB·cos30°=，OE=3，∴AB=，∴CD=，∴S△OCD=，∴S阴影=6S△OCD=.18、（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）；（3）．【解析】

（1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝2S△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；（3）先求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3），然后可得到QD与x的函数的关系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．【详解】解：（1）∵抛物线与x轴的交点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将点C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，解得a＝1，则抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；（2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴•OC•|a|＝2×OC•OB，即×3×|a|＝2××3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，21）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，5）．∴点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）．（3）如图所示：设AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3＝0，解得k＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3）．∴QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x2+3x+﹣）＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，QD有最大值，QD的最大值为．【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和应用．19、（1）证明略；（2）BC=，BF=.【解析】试题分析：（1）连结AE.有AB是⊙O的直径可得∠AEB=90°再有BF是⊙O的切线可得BF⊥AB，利用同角的余角相等即可证明；（2）在Rt△ABE中有三角函数可以求出BE，又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,过点C作CG⊥AB于点G.可求出AE,再在Rt△ABE中，求出sin∠2，cos∠2.然后再在Rt△CGB中求出CG，最后证出△AGC∽△ABF有相似的性质求出BF即可.试题解析：（1）证明：连结AE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°.∵BF是⊙O的切线，∴BF⊥AB，∴∠CBF+∠2=90°.∴∠CBF=∠1.∵AB=AC，∠AEB=90°，∴∠1=∠CAB.∴∠CBF=∠CAB.（2）解：过点C作CG⊥AB于点G.∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=.∵∠AEB=90°，AB=5.∴BE=AB·sin∠1=.∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=.在Rt△ABE中，由勾股定理得.∴sin∠2=，cos∠2=.在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2.∴AG=3.∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF.∴，∴.考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.20、（1）△ABC的外接圆的R为1；（2）EF的最小值为2；（3）存在，AC的最小值为9．【解析】

（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．证明∠AOC=90°即可解决问题；（2）如图2中，作AH⊥BC于H．当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短；（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE=CD=x．证明EC=AC，构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣10°＝45°，又∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝90°，∴AC＝1，∴OA＝OC＝1，∴△ABC的外接圆的R为1．（2）如图2中，作AH⊥BC于H．∵AC＝8，∠C＝45°，∴AH＝AC•sin45°＝8×＝8，∵∠BAC＝10°，∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，如图2﹣1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．∵∠EOF＝2∠BAC＝20°，OE＝OF，OH⊥EF，∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，∴EH＝OF•cos30°＝4•＝1，∴EF＝2EH＝2，∴EF的最小值为2．（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE＝CD＝x．∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，∴EC＝AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，∴EC的值最小时，AC的值最小，∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，∴∠∠BEC+∠BCE＝10°，∴∠EBC＝20°，∴∠EBH＝10°，∴∠BEH＝30°，∴BH＝x，EH＝x，∵CD+BC＝2，CD＝x，∴BC＝2﹣x∴EC2＝EH2+CH2＝（x）2+＝x2﹣2x+432，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣＝1时，EC的长最小，此时EC＝18，∴AC＝EC＝9，∴AC的最小值为9．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．21、C点到地面AD的距离为：（2+2）m．【解析】

直接构造直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE，CF的长，进而得出答案．【详解】过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，在Rt△ABE中，∵∠A=30°，AB=4m，∴BE=2m，由题意可得：BF∥AD，则∠FBA=∠A=30°，在Rt△CBF中，∵∠ABC=75°，∴∠CBF=45°，∵BC=4m，∴CF=sin45°•BC=∴C点到地面AD的距离为：【点睛】考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.22、（1）甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；（2）应该选择甲工程队承包该项工程．【解析】

（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；

（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．【详解】（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天.根据题意得：方程两边同乘以，得解得：经检验，是原方程的解.∴当时，.答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天.（2）因为甲乙两工程队均能在规定的35天内单独完成，所以有如下三种方案：方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：（万元）；方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：（万元）；方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：（万元）.∵∴应该选择甲工程队承包该项工程.【点睛】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．23、（1）（2）(3).【解析】

（1）由勾股定理求出BP的长，D是边AB的中点，P为AC的中点，所以点E是△ABC的重心,然后求得BE的长.（2）过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F,所以，然后可求得EF=8，所以，所以，因为PD⊥AB，D是边AB的中点，在△ABC中可求得cosA的值.（3）由，∠PBD=∠ABP，证得△PBD∽△ABP，再证明△DPE∽△DCP得到，PD可求.【详解】解：（1）∵P为AC的中点，AC=8，∴CP=4,∵∠ACB=90°，BC=6，∴BP=,∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心,∴,（2）过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F,∴,∵BD=DA，∴FD=DC，BF=AC,∵CE=2，ED=3，则CD=5，∴EF=8,∴,∴，∴，设CP=k，则PA=3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA=PB=3k,∴，∴，∵，∴,（3）∵∠ACB=90°，D是边AB的中点，∴,∵，∴,∵∠PBD=∠ABP，∴△PBD∽△ABP,∴∠BPD=∠A,∵∠A=∠DCA，∴∠DPE=∠DCP，∵∠PDE=∠CDP，△DPE∽△DCP，∴,∵DE=3,DC=5，∴.【点睛】本题是一道三角形的综合性题目，熟练掌握三角形的重心，三角形相似的判定和性质以及三角函数是解题的