广东省2024届高三下学期高考模拟测试（二）数学试题

广东省2024届高三下学期高考模拟测试（二）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z满足|z−3+i|=2,z在复平面内对应的点为A．(x−3)2C．(x−3)22．已知集合A={x|ln(x−1)≥0}，集合B={x|x2−3x<0}A．(0,2] B．[2,3) C．3．在平行四边形ABCD中，点E满足AE=14A．34AB−C．AB−144．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．−5 B．−7 C．5 D．75．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1=1.00m，之后将小镜子前移a=6.A．27.75m B．27.25m C．6．函数f(x)的定义域为R,f(2)=3，若∀x∈R,A．(−2,2) B．(2,+∞) C．7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=1，若等腰直角△ABC的直角边AC为圆O的一条弦，且圆心O在△ABCA．52+1 B．2+1 C．68．已知球O与圆台O1O2的上、下底面和侧面均相切，且球O与圆台O1O2的体积之比为A．16 B．14 C．13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若y是样本数据x1A．x1,xB．x1,xC．x1,xD．x1,x10．下列函数中，是偶函数且在(−πA．f(x)=|sin2x| B．f(x)=|cos2x|C．f(x)=|sinx|+cosx D．f(x)=sinx+|cosx|11．设O为坐标原点，抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为F1，过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，过点AA．|A1FC．|OA|⋅|OB|=|OA1|⋅|O三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．(x−y)(x+y)6的展开式中13．将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为△ABC，其中C=π2,AB=14,BC=7，记桌面为平面α.若C∈α，且BC与平面α所成的角为π614．如图，在平面直角坐标系xOy中放置着一个边长为1的等边三角形PAB，且满足PB与x轴平行，点A在x轴上.现将三角形PAB沿x轴在平面直角坐标系xOy内滚动，设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知双曲线C:x2a2−（1）求双曲线C的方程；（2）若A,B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线l:y=116．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点（1）证明：AB1⊥（2）若BC⊥AC,AB=2，求平面A117．已知f(x)=1（1）求f(x)的单调区间；（2）函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,18．已知正项数列{an},{（1）若a1≠b1，且a1（2）若a1>b1,a1+b1=2c，以a（3）在（2）的条件下证明：数列{S19．如图，在平面直角坐标系xOy中有一个点阵，点阵中所有点的集合为M={(x,y)|x≤n,y≤n（1）当n=2时，求X的分布列.（2）对给定的正整数n(n≥4).（i）求随机变量X的所有可能取值的个数；（用含有n的式子表示）（ii）求概率P(X<2

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】A,B10．【答案】A,C11．【答案】A,C,D12．【答案】−513．【答案】2114．【答案】4；5π15．【答案】（1）解：椭圆x25+y2由双曲线的渐近线为y=±33x，故b故双曲线方程为：x2（2）解：设A(x1,y1因为M在直线l:y=1而x123−y故(x由题设可知AB的中点不为原点，故xMyM故直线AB的斜率为1.此时AB:由y=x−2xM3x当Δ=16xM2−8(4即当xM<−32216．【答案】（1）解：已知如图所示：

记A1B与AB1的交点为点O，连接B因为三棱柱ABC−A所以∠A因为AA1=AB，所以四边形A因为AC=BC，BC=B所以AC=B1C1.所以CD=C所以AD=因为四边形AA1B1B所以AB又因为A1B，OD⊂平面A1所以AB1⊥（2）解：因为BC⊥AC，AB=AA1=2如图2，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：则A(2,0,0)，B(0所以AB=(−2,2,因为AB1⊥平面A1BD设平面ABD的法向量为n=(x则n⋅AB=0，n⋅BD=0，得n设平面A1BD与平面ABD的夹角为则cosθ=|所以平面A1BD与平面ABD的夹角的余弦值为17．【答案】（1）解：由题可得f因为a>0，所以ax+1>0，所以当x∈(0,2)时，f当x∈(2,+∞)时，f综上，f(x)在(（2）解：由题意得，斜率k==1f'由k=flnx2x1令t=x2x1，不妨设记g所以g'(t)=1t所以方程g(t)18．【答案】（1）解：正项数列{an}两式相减可得：an+1因为a1≠b所以{an−bn由an+1=b即an+1+b所以a1+b1−2c≠0，所以{（2）解：因为a1>b所以an−b由（1）知，an+1因为a1+b所以{an+bn由cos=≥34−故cosCn>12所以sinC由正弦定理得△AnB所以r>c3，所以（3）解：由（1）可知，an由（2）可知，an解得：an所以ananbn随着n所以cosCn随着n的增大而减小，所以因为Cn∈(0,π3所以数列{S19．【答案】（1）解：当n=2时，集合M中共有9个点，则X的所有可能取值为1，2，2，5，22所以P(X=1)=12P(X=2P(X=2)=6P(X=5P(X=22所以X的分布列为X12252P12121（2）解：（i）由题意得，集合M中任取两个不同的点之间的不同距离的总数可以转化成边长为i(i=1，2，3，⋯，n)的正方形边界上任取两个不同的点之间的不同距离的个数的总和，在边长为1的正方形中，有2个不同的距离，在边长为2的正方形中，有3个不同的距离，在边长为n的正方形中，有n+1个不同的距离，由各正方形大小不同，距离大小各不相同，得X的所有可能取值的个数为2+3+4+⋯+(n+1)=n(2+n+1)（ii）由对立事件，不妨考虑X≥2 ①当X=2(n−1)时，取出的两点为边长为此时，这种正方形共有4个，每个正方形中距离等于2(n−1)的情形有2所以，事件{X=2(n−1)} ②当X>2(n−1)时，不妨设X=n2+由n2+d因为n≥4，所以(n−2所以d>n−3，即d=n−2，n−1，n，a)当d=n−2，即X=n2+(此时，这种矩形共有6个，每个矩形中距离等于n2+(所以，事件{X=n2b)