2.1 导数的概念培训课件

第2章目录

2.1导数的概念2.2函数的求导法则2.3高阶导数2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2.5函数的微分第2章导数与微分2.1导数的概念二、导数的概念三、导数的几何意义四、函数可导与连续的关系一、引例播放一、引例2.1导数的概念

1.平面曲线的切线割线的极限位置切线位置————如图,在曲线C上另取一点N，做割线MN。设M是曲线C上指定的一点，下面定义曲线C在M点的切线。当动点N沿着曲线C趋于点M时，如果割线MN的极限位置MT存在,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.2.1导数的概念

设点M的坐标为如图，设曲线C的方程是。点N为那么割线MN的斜率为则切线MT的斜率为由于当

时，，所以切线MT的斜率为2.1导数的概念

（2.1）2.1导数的概念设一质点沿直线运动，t时刻质点的位置为。2.变速直线运动的瞬时速度下面求质点在t0

时刻的瞬时速度。在时刻t0到时刻的时间间隔内，这段时间内质点的平均速度为如果质点作匀速直线运动，则其在t0

时刻的速度等于平均速度，即质点走过的路程为。2.1导数的概念如果质点作非匀速直线运动，则平均速度2.变速直线运动的瞬时速度与t0

和都有关。越小，叫做质点在t0

时刻的瞬时速度，即质点走过的路程为。但当t0确定后，越接近于。如果当时，平均速度的极限存在，那么就可以把这个极限值（2.2）二、导数的概念2.1导数的概念

1.导数的定义如果极限定义2.1

设函数在点的某邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得增量（仍在该邻域内）时，相应的函数有增量存在，（2.3）并称此极限为记为，即则称函数在点处可导,

在点的导数.

（2.4）在（2.4）式中，记，则有1.其他形式：在（2.4）式中，记，则有也记作:2.1导数的概念如果（2.3）式的极限不存在，就说在点处不可导，或称

在点处的导数不存在。（2.5）（2.6）说明：这时，对于内任意一点x，都对应着的一个确定的导数值，称为函数的导函数，2.1导数的概念2.导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度。3.如果函数在开区间内的每一点都可导，就称函数在开区间内可导。简称导数，记作或即当在点处可导时，导数就是导函数在点处的函数值，即解由（2.5）式，有即解2.几个初等函数的导数例2

求函数(n为正整数)的导数.2.1导数的概念(C

为常数)的导数.例1

求函数例2

求函数2.1导数的概念解(n为正整数)的导数.更一般地，对于幂函数为常数）有，2.1导数的概念由上述公式可以很方便地求出幂函数的导数，例如,即类似可证得2.1导数的概念的导数.例3

求函数解由（2.5）式，有即2.1导数的概念的导数.例4

求函数解由（2.5）式，有特别地，当时，有即2.1导数的概念的导数.例5

求函数解

由（2.5）式，有特别地，当时，有2.1导数的概念3.单侧导数在点处的左导数，记作则称此极限为函数如果极限存在，即或2.1导数的概念3.单侧导数在点处的右导数，记作则称此极限为函数如果极限存在，即或结论：且函数在点可导的充分必要条件是2.1导数的概念3.单侧导数左导数和右导数统称为单侧导数。都存在,若函数在开区间

内可导,则称在闭区间

上可导.与且解

例6

函数在点

x=0处的可导性。函数在点

x=0处的左导数为：右导数为虽然二者都存在，但不相等。故函数在点

x=0处不可导。2.1导数的概念三、导数的几何意义2.1导数的概念

表示曲线上点处切线的斜率。即在点可导时，导数根据导数的定义以及引例1可知，当函数曲线在M点的切线方程为：曲线在M点的法线方程为：解

根据导数的几何意义，所求切线的斜率为即2.1导数的概念在点(4,2)的切线方程和法线例7

求曲线方程。因此，所求切线方程为法线方程为即解

设切点的坐标为由已知切线过原点，故有2.1导数的概念过原点的切线方程。例8

求曲线于是，所求切线方程为于是得即则该切线的斜率为从而切线方程为证

设函数在点x

处可导,即极限存在,根据极限与无穷小的关系，其中由此得，所以函数在点x

处连续.四、函数可导与连续的关系2.1导数的概念

有将上式两边同乘以，得注意:

函数在点x

连续时却不一定可导.反例1在

x=0

处连续,

四、函数可导与连续的关系反例2在内连续，但在点x=0不可导。在原点O有垂直于x轴的切线x=0.在图形中表现为的曲线但不可导。2.1导数的概念

证明

因为事实上，由于2.1导数的概念在x=0处例9试证函数故在点x=0连续。而极限不存在，连续但不可导。下证在点x=0不可导。所以在点x=0不可导。解因此2.1导数的概念例10试确定常数a、b,使函数在点x=0可导，并求由于可导必连续，所以在点x=0应满足而2.1导数的概念因此又因为函数在x=0处可导，所以有而即当时，在x=0可导，且2.函数在一点可导当且仅当左右导数都存在且相等；内容小结1.导数的定义：增量比的极限；3.导数的几何意义：切线的斜率；4.可导与连续的关系；2.1导数的概念5.几个初等函数的导数公式。五、思考与练习？1.

函数在某点处的导数有什么区别与联系?与导函数区别:是函数,是数值;联系:注意:？2.1导数的概念3.已知则五、思考与练习？2.

设存在,则4.设,问a

取何值时,在都存在,并求出2.1导数的概念解

显然该函数在x=0连续.故时此时在都存在,

2.1导数的概念4.设,问a

取何值时,在都存在,并求出播放一、引例2.1导数的概念

1.平面曲线的切线割线的极限位置切线位置————播放割线的极限位置切线位置————一、引例2.1导数的概念

1.平面曲线的切线播放割线的极限位置切线位置————一、引例2.1导数的概念

1.平面曲线的切线播放割线的极限位置切线位置————一、引例2.1导数的概念

1.平面曲线的切线播放割线的极限位置切线位置————一、引例2.1导数的概念

1.平面曲线的切线播放割线的极限位置