人教版高中数学选修二5.2 导数的运算（解析版）

专题5.2导数的运算知识储备1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝exf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝2.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)(g(x)≠0)．3.复合函数导数的运算法则概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝．求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝.即y对x的导数等于对的导数与对的导数的乘积．4.常用结论1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.′＝－.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）对于函数，若，则实数等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，所以，解得，故选：A．2．（2020·全国高二课时练习）已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，得，则，故选：D．3．（2020·全国高二课时练习）下列求导运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A不正确；，故B不正确；，故C正确；，故D不正确．故选：C．4．（2020·山西高三期中（文））已知函数，其中为函数的导数，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，，，函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，因此，.故选：B.5．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，而知：在上单调减，而，即，又知：，∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A6．（2020·湖南长沙市·长郡中学高二期中）若函数，满足，且，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为函数，满足，且，所以，则，对两边求导，可得，所以，因此.故选：C.7．（2020·安徽淮北市·淮北一中高二期中）等比数列中，，，函数，则（）A．26 B．29 C．212 D．215【答案】C【解析】等比数列中，，，所以，因为函数，，则．故选：C．8．（2020·江西抚州市·临川一中高二期中（文））设函数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，当时，，，满足充分性.当，即，解得或，不满足必要性.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A二、多选题9．（2020·江苏南通市·高三期中）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称C．对任意，都有 D．函数的最小值为-3【答案】BCD【解析】A.因为的周期分别是，其最小公倍数为，所以函数函数的最小正周期为，故错误；B.因为，故正确；C.，故正确；D.,故正确；故选：BCD10．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】在A中，若，则，则，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若，则，即，此方程无解，故B不符合要求；在C中，若，则，由，令，（），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；在D中，若，则，由，可得，故D符合要求．故选：ACD．11．（2020·湖北高三月考）已知函数，其导函数为，则（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，所以．因为，所以．故．故选：BC12．（2020·山东高三专题练习）以下函数求导正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【解析】对A，，故A正确对B，，故B错对C，所以C正确对D，，故D错.故选：AC三、填空题13．（2020·广东中山市·高二期末）在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数在处偏导数的全过程：，，所以，，由上述过程，二元函数，则______.【答案】【解析】根据题意，得到，，则，，因此.故答案为：.14．（2020·全国高三其他模拟（理））给出下列四个命题：①命题“，”的否定是“，”；②函数只有两个零点，分别是一个正数和一个负数；③对于任意实数，有，且当时，，则当时，．其中正确命题的序号是______．（填所有正确命题的序号）【答案】①③【解析】①全称命题的否定是特称命题，所以①正确．②根据，的图象，知有三个零点，故②错误；③两边对求导数，得，所以是奇函数，当时，，当时，．所以③正确．故答案为：①③15．（2020·全国高二课时练习）已知函数、满足，，，，若，则__