非齐次线性微分方程通解的证明

非齐次线性微分方程通解的证明问题重述如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程（5.21）的基本解组，那么，非齐次线性微分方程(5.28)的满足初值条件的解由下面公式给出（5.29）这里是的朗斯基行列式，是在中的第k行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式，（5.30）这里是适当选取的常数。公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为证明考虑n阶线性微分方程的初值问题（5.6）其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：（5.7）其中事实上，令这时而且现在假设是在包含的区间上（5.6）的任一解，由此，我们得知在上存在、连续、满足方程（5.6）且令其中那么，显然有，此外，我们还得到在此处键入公式。这就表示这个特定的向量是（5.7）的解，反之，假设向量u（t）是在包含的区间上（5.7）的解，令并定义函数，由（5.7）的第一个方程，我们得到，由第二个方程得到有第n-1个方程得到由第n个方程得到由此即得同时，我们也得到这就是说，是（5.6）的一个解总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。值得指出的是，每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。本段讨论非齐次线性微分方程组（5.14）的解的结构问题，这里是区间上已知nxn连续矩阵，是区间上的已知的n维连续列向量，向量通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，就代表外力。我们容易验证（5.14）的两个简单性质性质1如果是（5.14）的解，是（5.14）对应的其次线性微分方程组（5.15）的解，则是（5.14）的解性质2如果和是（5.14）的两个解，则是（5.15）的解下面的定理7给出（5.14）的解的结构定理7设是（5.15）的基解矩阵，是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解都可表为（5.23）这里c是确定的常数列向量证明由性质2我们知道是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到这里c是确定的常数列向量，由此即得定理证毕定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐次线性微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，在已经知道（5.15）的基解矩阵的情况下，有一个寻求（5.14）的解的简单方法，这个方法就是常数变易法。从上一节我们知道，如果c是常数列向量，则是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我们将c变易为t的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如（5.24）的解，这里是待定的向量函数。假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到因为是（5.15）的基解矩阵，所以，由此上式中含有的项消去了，因而必须满足关系式（5.25）因为在区间上是非奇异的，所以存在，用左乘（5.25）两边，然后积分之，得到其中=0，这样，（5.24）变为（5.26）因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解，则由公式（5.26）决定。反之，用公式（5.26）决定的向量函数必定是（5.14）的解，事实上，微分（5.26）得到再利用公式（5.26），即得显然，还有=0，这样一来，我们就得到了下面的定理8定理8如果是（5.15）的基解矩阵，则向量函数是（5.14）的解，且满足初值条件由定理7和定理8容易看