§7-2-平面向量的线性运算

§7.2平面向量的线性运算复习回顾：1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量2、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量节引言：数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算。下面我们学习向量的线性运算。一、向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义例如:某对象从A点走到B点.日常生活中遇到的向量加法问题:然后从B点走到C点.思考:这个人所走过的位移是多少?ABC分析:由物理知识可以知道:从A点到B点然后到C点的

合位移,就是从A点到C点

的位移.ABBCAC=+向量加法运算及其几何意义F1F2F1F2FFEOOE思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系？力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长.向量加法运算及其几何意义F1F2FEOOE探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.F1+F2=F力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.向量加法运算及其几何意义向量加法的定义：我们把求两个向量和的运算,叫做向量的加法,叫做的和.两个向量的和仍然是一个向量.向量加法运算及其几何意义已知非零向量a与b.如何求a+b.首尾相接，首尾连向量加法的三角形法则ACababBa

+

ba+b=AB+BC=AC位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型向量加法运算及其几何意义向量加法的平行四边形法则ababBOACa

+

b起点相同，连对角力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型向量加法运算及其几何意义例1.如图，已知向量，求作向量。则作法1：在平面内任取一点O，作，，例题讲解：o·ABo·ABC作法2：在平面内任取一点O，作，，连结OC，则以为邻边作，OACB向量加法运算及其几何意义思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？（1）（2）ABCBCA向量加法运算及其几何意义（1）（2）（4）课堂练习：一、用三角形法则求向量的和（2）二、用平行四边形法则求向量的和向量加法运算及其几何意义数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)任意向量的加法是否也满足交换律与结合律？探究：CABD因为AC=AB+BC=a+b

所以rrab+=向量加法运算及其几何意义ABCD()()向量的加法满足交换律和结合律.结论向量加法运算及其几何意义例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.

(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；

(2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.

学以致用：向量加法运算及其几何意义D5C解：如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际过江的速度.(由平行四边形法则可以得到)≈5.4答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流速间的夹角约为680分析：

向量加法在实际生活中的应用，本例应解决的问题是向量模的大小及向量的方向向量加法运算及其几何意义变式：在静水中船速为20m/min，水流速度为10m/min,若船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船行进的方向是___________________________.ABCD向量表示静水流速，表示船行进方向，表示船实际行走路线，垂直于水流方向，所以∠DAC即为所求方向与水的流速间的夹角为120o向量加法运算及其几何意义课堂练习：ABCDE（1）根据图示填空：141、相反向量：规定：设向量，我们把与长度相同，方向相反的向量叫做的相反向量。（1）（3）设互为相反向量，那么二、向量的减法运算及其几何意义记作：的相反向量仍是。2、向量的减法：（2）BAC设DE又所以你能利用我们学过的向量的加法法则作出吗？不借助向量的加法法则你能直接作出吗？3、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量（1）如果从的终点指向终点作向量，所得向量是什么呢？（2）当，共线时，怎样作呢？ABOABO注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。一般地BAO（三角形法则）练习：已知向量，求作向量，。例3OBACD作法：在平面内任取一点O，则作注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。练习：已知向量，求作向量。（1）（2）（3）（4）例4在ABCD中，你能用表示吗？DBAC变式一本例中，当满足什么条件时，

与互相垂直？变式二本例中，当满足什么条件时，

巩固练习：1、在中，，，则2、如图，用表示下列向量：DBACEBACaaaABCOa-a-a-aPQMN学习：向量数乘运算1、向量的数乘运算的定义：注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向三、向量数乘运算及其几何意义(1)

根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)

已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。=向量的数乘运算的定义你能说出向量数乘运算的几何意义吗？数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.

2、数乘向量的几何意义：3、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例1：计算下列各式例4:若其中,是已知向量,求，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记①，②3②得③①-③得概念辨析线性运算练习向量共线定理：思考:1)为什么要是非零向量?2)可以是零向量吗?归纳小结：1、一个概念:向量的加法2、两个法则:向量加法的三角形法则和平行四边形法则3、两条运算律:向量加法的交换律

结合律

++=++()=++()知识方面：++==数学思想方法方面：1、具