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第五章定积分及其应用

§5.1定积分的概念及性质问题的提出定积分的定义存在定理几何意义定积分的性质在实际中如何准确求出封闭的不规则图形的面积呢？分析：在丈量土地时,要准确的得到一块不规则土地的面积,关键在于如何求出边缘部分的面积（中间部分是矩形）如下图.数学中这些边缘部分被称为曲边梯形。(a)(b)一、问题的提出问题提出实例1

（求曲边梯形的面积）用矩形面积近似取代曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．分割：曲边梯形如图所示，在区间[a,b]内插入若干y=f(x)求和：曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积：取极限：当分割无限加细，即小区间的最大长度实例2

（求变速直线运动的路程）过程求得路程的精确值．思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分设某物体作直线运动，已知速度V=V(t)是求物体在这段时间内所经过的路程.（1）分割部分路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值定积分的定义二、定积分的定义记为被积表达式积分上限积分下限被积函数积分变量积分和注意：三、存在定理定理1定理2四、定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值几何意义：性质五、定积分的性质对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．性质1

两个函数的和（差）在上的定积分等于性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面

即性质3（可加性）例则不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立补充：若a<b<c，性质4（保号性）证性质4有三个重要推论：推论1证推论2证推论3证（此推论可用于估计积分值的大致范围）性质5（积分中值定理）积分中值公式证由假设，知函数f(x)在[a,b]必有最大值M和最小值m.由推论3，有再由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间使即积分中值公式几何解释：[a,b]上至少存在一点例4估计定积分

（A）1 练习：

C

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