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文档简介

第五章

定积分及其应用第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本定理第三节定积分的换元积分法和分部积分法第四节定积分的应用举例第五节反常积分

定积分是积分学的又一个重要概念，它在几何、物理、力学、经济学等各学科中有广泛的应用.本章先由典型实例中引入定积分的概念，然后讨论定积分的性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的一些应用，最后简要介绍反常积分的概念和计算.第一节

定积分的概念与性质

一、定积分问题实例分析

图5-1动画演示

二、定积分的概念Oybxa图5-2yObxa图5-3图5-4bOaxy例1

利用定积分的定义计算定积分10dxxò．

解

因为被积函数(x)f=x在区间[0,1]上连续，故一定可积，因此定义中的和式的极限，与区间的分法及点的ix取法无关.为计算简便，把区间[0,1]n等分，取=xi,则，于是有

ix而当时，(因)，所以2O1-33xy图5-5例2三、定积分的性质三、定积分的性质

按定积分的定义，即通过积分和的极限求定积分是十分困难的，必须寻求定积分的有效计算方法，下面介绍的定积分的基本性质有助于定积分的计算，也有助于对定积分的理解．假定函数在所讨论的区间上可积，则有

以上性质均可直接由定积分的定义得到.性质1

(k为常数).

性质2

如果在区间[a,b]上f(x)≡1,那么

性质3

若a<b且在[a,b]区间上，则性质5

性质4和性质5证明从略.对任意实数c,性质4

6（定积分估值定理）性质8

设M及m分别是在区间[a,b]上的最大值及最小值，则

证因为故由性质6，得而由性质1和性质3，得（定积分中值定理）性质9

设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点，使得由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，证

或f(x)上有最大值M及最小值m，根据性质8，有

所以性质8的结论成立.图5-6yxabO例3利用定积分的性质，比较定积分和的大小.解因为在[1,e]上有故所以由性质6，得例4估计定积分的值介于哪两个数之间？解因为u=x2和eu在和均是单调增加的，故复合函数在区间[0,1]上单调增加，从而最小值为m=e0=1,最大值为M=e1=e,所以根据性质8，有即内容小结1.

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