椭圆与双曲线常见题型归纳

椭圆与双曲线常见题型归纳一.“曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型例1.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点。〔Ⅰ〕写出的方程;〔Ⅱ〕假设，求的值。例1.解:〔Ⅰ〕设P〔x，y〕，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．〔Ⅱ〕设，其坐标满足消去y并整理得，故．假设，即．而，于是，化简得，所以．例2．设、分别是椭圆的左、右焦点.〔Ⅰ〕假设是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;〔Ⅱ〕设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角〔其中为坐标原点〕，求直线的斜率的取值范围例2．解：〔Ⅰ〕解法一：易知，所以，设，那么因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，那么〔以下同解法一〕〔Ⅱ〕显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或又，∴又∵，即∴，故由①、②得或例3．设、分别是椭圆的左、右焦点，．〔Ⅰ〕假设是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;〔Ⅱ〕假设C为椭圆上异于B一点，且，求的值；〔Ⅲ〕设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.例3．解：〔Ⅰ〕易知，所以,设,那么因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值〔Ⅱ〕设C〔〕，由得，又所以有解得〔Ⅲ〕因为|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴周长≤4＋|BF2|＋|B|≤8．所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．例4．中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(1)求双曲线C的方程；(2)假设直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。例4．解：〔Ⅰ〕设双曲线方程为由得故双曲线C的方程为〔Ⅱ〕将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，那么而于是②由①、②得故k的取值范围为例5．椭圆〔a＞b＞0〕的离心率，过点A〔0，-b〕和B〔a，0〕的直线与原点的距离为．〔1〕求椭圆的方程．〔2〕定点E〔-1，0〕，假设直线y＝kx＋2〔k≠0〕与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．例5．解析：〔1〕直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．依题意解得∴椭圆方程为．…4分〔2〕假假设存在这样的k值，由得．∴．①设，、，，那么②……8分而．要使以CD为直径的圆过点E〔-1，0〕，当且仅当CE⊥DE时，那么，即．∴．③将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………13分2．“中点弦型”例6.椭圆，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称。例6.解：设，的中点，而相减得即，而在椭圆内部，那么即例7.双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为〔=1\*ROMANI〕求该双曲线方程.〔=2\*ROMANII〕是否认存在过点，〕的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段的中点？假设存在，请求出直线的方程，假设不存在，说明理由.例7.〔1〕〔2〕设，直线：，代入方程得〔〕那么，解得，此时方程为，方程没有实数根。所以直线不存在。例8．椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2〔0，〕，且离心率。〔I〕求椭圆的方程；〔II〕直线l〔与坐标轴不平行〕与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。例8．解：〔I〕设椭圆方程为解得a=3，所以b=1，故所求方程为…………4分〔II〕设直线l的方程为代入椭圆方程整理得…………5分由题意得…………7分解得又直线l与坐标轴不平行………故直线l倾斜角的取值范围是…………12分3．“弦长型”例9．直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；〔Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．例9(I)解：设点A的坐标为(，点B的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，．S取到最大值1．〔Ⅱ〕解：由得①，｜AB｜＝②又因为O到AB的距离所以③③代入②并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0故直线AB的方程是：或或或．例10．向量=〔0，x〕，=〔1，1〕，=〔x，0〕，=〔y2，1〕〔其中x，y是实数〕，又设向量=+，=－，且//，点P〔x，y〕的轨迹为曲线C.〔Ⅰ〕求曲线C的方程；〔Ⅱ〕设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.例10解：〔I〕由，…5分即所求曲线的方程是：……………7分〔Ⅱ〕由解得x1=0,x2=分别为M，N的横坐标〕.………………9分由11分所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.…………12分二．“根本性质型”例11．设双曲线的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线上的任一点，引，AQ与BQ相交于点Q。〔1〕求Q点的轨迹方程；〔2〕设〔1〕中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，求的取值范围。例11.解：〔1〕设，∵∴，∵，∴，∴，化简得：，经检验，点不合题意，∴点Q的轨迹方程为〔2〕由〔1〕得的方程为，，∵，∴，∴。例12．P为椭圆上一点，、为左右焦点，假设〔1〕求△的面积；〔2〕求P点的坐标．例12．[解析]：∵a＝5，b＝3c＝4〔1〕设，，那么①②，由①2－②得〔2〕设P，由得4，将代入椭圆方程解得，或或或例13．双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．(12分)例13[解析]：由椭圆．设双曲线方程为，那么故所求双曲线方程为例14.代表实数，讨论方程所表示的曲线.例14.解：当时，曲线为焦点在轴的双曲线；当时，曲线为两条平行的垂直于轴的直线；当时，曲线为焦点在轴的椭圆；当时，曲线为一个圆；当时，曲线为焦点在轴的椭圆。椭圆与双曲线常见题型归纳一.“曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解例1.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点。〔Ⅰ〕写出的方程;〔Ⅱ〕假设，求的值。例2．设、分别是椭圆的左、右焦点.〔Ⅰ〕假设是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;〔Ⅱ〕设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角〔其中为坐标原点〕，求直线的斜率的取值范围例3．设、分别是椭圆的左、右焦点，．〔Ⅰ〕假设是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;〔Ⅱ〕假设C为椭圆上异于B一点，且，求的值；〔Ⅲ〕设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.例4．中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(1)求双曲线C的方程；(2)假设直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。例5．椭圆〔a＞b＞0〕的离心率，过点A〔0，-b〕和B〔a，0〕的直线与原点的距离为．〔1〕求椭圆的方程．〔2〕定点E〔-1，0〕，假设直线y＝kx＋2〔k≠0〕与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．2．“中点弦型”，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线对称。例7.双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为〔=1\*ROMANI〕求该双曲线方程.〔=2\*ROMANII〕是否认存在过点，〕的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段的中点？假设存在，请求出直线的方程，假设不存在，说明理由.例8．椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2〔0，〕，且离心率。〔I〕求椭圆的方程；〔II〕直线l〔与坐标轴不平行〕与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。3．“弦长型”例9．直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；〔Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．例10．向量=〔0，x〕，=〔1，1〕，=〔x，0〕，=〔y2，1〕〔其中x，y是实数〕，又设向量=+，=－，且//，点P〔x，y〕的轨迹为曲线C.〔Ⅰ〕求曲线C的方程；〔Ⅱ〕设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.二．“根本性质型”例11．