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文档简介

三重积分习题课当

R3，有X=(x,y,z)

,d

=dv那么三重积分1.直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下，记体积元素dv=dxdydzdzdydxyxz

0那么xyz0z=z2(x,y)z=z1(x,

y)DCase1.化成一个定积分和一个二重积分设D为

在xy平面上投影区域.y=y1(x)bay=y2(x)zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xy例2.计算其中

是由抛物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz

0D0yxy=y1(x,z)z0

y=y2(x,z)Dxzyxx=x2(y,z)z0

x=x1(y,z)Dyzyx例3.将化为三次定积分，其中

是由z=x2+y2和z=1所围的闭区域.解：先对z积分，将

向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1

D:x2+y2≤1z=1

z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

xyz01Dxyz=1z=x2+y2

解2：先对y积分，将

向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=1

1≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz1

1Case2.化为一个二重积分和一个定积分

:(x,y)D(z),z1≤z≤z20xzyz2zz2

D(z)例4.计算其中

是由z=x2+y2和z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]M

(r,

,z)x=rcos

y=rsin

z=z(0≤r<+,0≤

≤2,<z<+)r

zM•0xzyyx3、利用柱面坐标计算三重积分柱面坐标的三组坐标面分别为r=常数

=常数z=常数xyzo计算公式例5.计算其中

由与z=1所围闭区域.解：

D:x2+y2≤1z=1

z=rz=0

xyz0Dz=rz=1xyz0z=rz=11D例6.计算

={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1

xyz01M

(r,,)x=OPcos

z=rcos

(0≤r<+,0≤

≤,0≤

≤2)y=OPsin

•M0zxy

rPxyz=rsin

cos

=rsin

sin

4、利用球面坐标计算三重积分球面坐标的三组坐标面：r=常数

=常数

=常数dxdydz=r2sin

drd

d

zxy例7.和x2+y2+z2=a2所围成闭区域.解：

x2+y2+z2=a2

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