一元函数图形的描绘

复习若增，若增；若减，若减；观察：与在内单调增加，为什么这么增呢？1曲线的凹凸与拐点一、曲线凹向的定义问题:曲线弧位于任一切线下方曲线弧位于任一切线上方如何研究曲线的弯曲方向?2定义1：在连续的曲线弧段上任一点作切线,弧总是位于其切线上方,称该曲线弧段是(向上)凸的(或称凸弧).的(或称凹弧).如果曲线则称该曲线弧段是(向上)凹如果曲线弧总是位于其切线下方,则3凹单调增特征：凹凸单调减特征：凸反之：凹，凸成立吗？4二、曲线凹凸的判定定理1如果在内具有二阶导数，若在内(1)(2)则曲线在内是凹的.则曲线在内是凸的.注意：该定理换成其它区间仍然成立.5例1解注意到,判断曲线的凹凸性.当时，所以在内是凸的.当时，所以在内是凹的.点是曲线由凸变凹的分界点.6三、拐点的定义及求法.1.定义：注意:拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.2.拐点的求法连续曲线上由凹变凸或由凸变凹的分界称为曲线的拐点.点定理2设函数在的邻域内二阶可导，且或在处二阶不可导.(1)若在的两侧异号，则点为拐点.(2)若在的两侧不变号，拐点.则点不是7解拐点拐点问题：）））例2求曲线的拐点及凹凸区间.令得则它的凹区间是：与凸区间是：拐点是：和是否二阶导数为0的根都是拐点的横坐标呢？8例3判断曲线的凹凸性，求拐点.解

定义域为

令得

列表讨论二阶导数的符号，））不是拐点故该函数没有拐点.来判定凹凸性.9例4求的拐点.解

定义域为

有二阶不可导点

列表讨论二阶导数的符号，来判定凹凸性.））拐点则它的拐点是：不存在10例5求的拐点.解

定义域为

有二阶不可导点

列表讨论二阶导数的符号，来判定凹凸性））不是拐点因此该函数没有拐点.不存在11说明：拐点的横坐标可能是的根，也可能是不存在的点.于是求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：

求函数的定义域；

求出

求的根及不存在的根；

列表1.曲线的弯曲方向——凹凸性;2.改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.求拐点12函数图象的描绘问题：有渐近线吗？叫水平渐近线叫垂直渐近线13渐近线的定义当曲线y=f(x)上一个动点P沿着曲线移向无穷点时，P到某定直线L的距离趋向于零，曲线y=f(x)的一条渐近线.如果点那么直线L就称为141.水平渐近线(平行于轴的渐近线)如果那么就是的水平渐近线.为常数),2.垂直渐近线如果那么就是的垂直渐近线.为常数),(平行于轴的渐近线)一.渐近线15例如有水平渐近线两条:又如所以有水平渐近线16例如有铅直渐近线:是它的水平渐近线.如xyo2xyo有铅直渐近线:17解所以有铅直渐近线例1求的渐近线.且则有斜渐近线所以它没有水平渐近线;18二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形的步骤如下：1.求的定义域，判断函数的奇偶性、周期性等，2.求一阶导数和二阶导数3.求出方程和在函数定义域内的全部实根，及一阶导数、二阶导数不存在的点，并求渐近线.4.列表讨论和的符号，性与极值及曲线的凹凸与拐点.确定函数的增减5.补充一些关键点(与坐标轴的交点)，描出图形.19解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:作出函数的图形.得驻点：得特殊点补充点：例220拐点极大值极小值：凸增