泰勒公式的证明及应用

摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成局部，是一种非常重要的数学工具。它集中表达了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的开展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，假设函数在点存在直至阶导数，那么有即称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中表达了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。一、预备知识1.1泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项，表示余项是比〔当时〕高阶的无穷小。如，表示当时，用近似，误差〔余项〕是比高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项〔也可以写成〕。泰勒公式的定理带有佩亚诺〔Peano〕余项的泰勒公式如果函数在点存在直至阶导数，那么有，即带有拉格朗日〔Lagrange〕余项的泰勒公式如果函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，那么对任意给定的，至少存在一点，使得特别的，时，，此时上式称之为麦克劳林〔Maclaurin〕公式，根据的不同，麦克劳林公式又分带有佩亚诺余项的麦克劳林公式和带有拉格朗日余项的麦克劳林公式。泰勒公式的意义我们在学习导数和微分概念时知道，如果函数在一点处可导，那么有在这点附近用一次多项式去逼近函数，其误差为的高阶无穷小量。再用二次多项式或高于二次多项式去逼近。我们可以看出二次切线或者高次切线与曲线的接近程度比一次切线要好，当然次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度越来越高。泰勒公式的意义就是，用一个次多项式来逼近函数，而多项式具有形式简单，易于计算、近似程度高等优点。二、泰勒公式的证明泰勒公式的证明两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值。带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不阻碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据。定理1：〔带有佩亚诺型余项的泰勒公式〕假设函数在点存在直至阶导数，那么有，即。证明：设，，现在只要证由可知，，并易知因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达〔L'Hospital〕法那么次，得到所以定理1成立。定理2：假设函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，那么对任意给定的，至少存在一点，使得证明：作辅助函数，所以要证明的〔1〕式即为不妨设，那么与在上连续，在内可导，且又因，所以由柯西中值定理证得其中所以定理2成立三、泰勒公式的实际应用例1求极限分析：此题可以用洛必达法那么来求解，但要用四次，比拟繁琐，这里我们就可以用带有佩亚诺余项的泰勒公式求解。由于极限式的分母为，我们用麦克劳林公式来表示极限的分子〔取〕解：因而求得例2设，求解：所以又在处的麦克劳林展开式为因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题。综上所述，在式子满足以下情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：用洛必达法那么时，次数比拟多、求导过程和化简过程比拟复杂的情况。分子或分母中有无穷小的差,且此差不容易转化为等价无穷小替代形式。函数可以很容易的展开成泰勒公式。在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数是否收敛，通常找一个简单的函数，，在用比拟判定法来判定，但是在实际应用中比拟困难的问题是如何选取适当的〔中的值〕？如：当，此时收敛，但是但是当时，此时收敛，但是在这种情况下我们就无法判定的敛散性，为了更好的选取中的值，使得且，在用比拟判别法，我们就可以判定的敛散性。例3判定级数的敛散性。解：设故有当时是阶，与有相同的敛散性，所以收敛。在判定广义积分敛散性时,通常选取广义积分进行比拟,在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值，从而简单地判定的敛散性〔注意到：如果得收敛，那么得收敛〕。例5广义积分的敛散性.解：因此，，即是的阶，而收敛，故收敛，从而。例6广义积分是否收敛？解是的一阶无穷大量，又发散，也发散。例7设在上二阶连续可微，那么在这个区间上存在一个，使得。证明：令，将在处展开，得在之间，令，那么得到令，那么得到用〔1〕-〔2〕得到再令，且，那么因为在上连续，由介值定理知，使得所以在定积分证明的方面，泰勒公式对于求被积函数有二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作适宜的处理。关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例8设在二次可导，而且，，试求存在，使.证：由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，使，由费马定理知，.又〔介于与之间〕由于，不令和，有所以当时，，而当时，，可见与中必有一个大于或等于8。假设一个行列式可看做x的函数〔一般是x的n次多项式〕,记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例9求n阶行列式D=〔1〕解记,按泰勒公式在z处展开：,〔2〕易知〔3〕由〔3〕得,.根据行列式求导的规那么,有于是在处的各阶导数为,,…………把以上各导数代入〔2〕式中,有假设,有,假设,有。我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.例10设在上有二阶导数，时，.试证：当时，.证：