概率统计复习重点

《概率统计》期末重点随机事件及其概率【说明】本章最主要的知识点是全概率公式和贝叶斯公式，所以就讲这一局部，其余的参考书本。两个公式： 全概率公式；设实验E的样本空间为Ω，事件构成完备事件组〔Ω的一个划分〕，且，对于事件B有贝叶斯公式：设实验E的样本空间为Ω，事件构成完备事件组〔Ω的一个划分〕，且，对于事件B〔〕有【例1-1】一商店为甲、乙、丙三个厂销售同类型号的家电产品。这三个厂产品的比例为1：2：1，且它们的次品率为0.1，0.15，0.2，某顾客从这些产品中任意选购一件，试求：顾客买到正品的概率；假设顾客买到的是正品，那么它是甲厂生产的概率是多少？解：设由题意由全概率公式由贝叶斯公式 【例1-2】设甲袋中有四个红球和两个白球，一代中有三个红球和两个白球。现从甲袋中任取两个球〔不看颜色〕放到乙袋后，再从乙袋中任取一个球，发现取出的球是白球，那么从甲袋中取出〔放入乙袋〕的两个球都是白球的概率是多少。 解：设 由题 由贝叶斯公式随机变量的数字特征【说明】本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等知识，比拟重要，难度不是很大。随机变量的期望主要掌握离散型、连续性随机变量的期望求法、常见的离散型、连续性随机变量的期望要求记住，一元函数随机变量期望的求法、数学期望的性质以及条件期望等。离散型期望：连续性期望：常见期望及方差分布期望方差0-1分布pP(1-p)二项分布X~B(n,p)npNp(1-p)X~P(λ)λλ[a,b]上均匀分布〔a+b〕/2/X~E(λ)1/λX~N(μ,σ2)μσ2以为离散性随机变量函数的期望首先写出Y=g(X)函数的分布律，然后按照常规方法求解期望。一维连续性随机变量的期望数学期望的性质X、Y相互独立〔或者不线性相关〕，后面两个都可以推广至有限多种的情况。条件期望称为在时X的条件期望；称。方差必须记住的公式：性质X、Y相互独立或者不相关最后一个公式可以推广至多个。协方差和相关系数2.对于任意X，Y：相关系数假设那么X、Y不相关反之，那么相关假设X，Y相互独立，那么X，Y一定不相关，反之不成立。【例3-1】设随机变量，求解：由连续型随便变量数学期望的定义式可得【例3-2】二元随机变量的联合概率分布表如下01201，求。解：首先写出Z1，Z2对应的分布律。0123012于是【例3-3】二维随机变量，求 解：首先求出关于X的边缘概率密度当时，有x为其他值时，那么综合上述 于是 【例3-4】二维随机变量的联合分布表如下01201 求，X与Y是否相关？是否相互独立？ 解：首先写出两个边缘分布律01012于是012 于是，那么X、Y不相关01 于是014 于是同时也可验证X、Y不独立。【例3-5】设二元随机变量的联合改了密度函数为求：常数解：此题综合考察了第二章有关连续性随机变量的相关知识，很有代表性。由性质可得首先求出边缘概率密度，然后对其积分 关于X的边缘概率密度为当时，有x为其他值时，那么综合上述从而，当，那么=0当，那么当x＞2时，那么=1综合上述我们可以求得即可得由题， V〕第四章大数定理【说明】本章考点很明确，考得就是切比雪夫不等式以及拉普拉斯定理。切比雪夫不等式设X为随机变量，期望和方差都存在，对于任意的，有【例4-1】随机变量，由切比雪夫不等式有__________。解：【例4-2】随机变量，用切比雪夫不等式估计的值。解：【例4-3】设X服从区间〔-1，1〕上的均匀分布。求；使用切比雪夫不等式估计的下界。解：〔1〕〔2〕即上界为0.074。拉普拉斯定理【二项分布以正态分布为极限，即时，】这里，如果在实际解题中，只需要n足够大即可。〔1〕〔2〕【例4-4】某批产品〔批量很大〕次品率为p=0.1，从这批产品中随机抽取1000件。求抽的次品树在90~100之间的概率。解：根据拉普拉斯定理，X为次品数，那么【例4-5】设电站供电网有10000赞电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，假设开、关事件彼此独立，记随机变量X为夜晚同时开着的电灯数，写出X的分布；利用切比雪夫不等式，估计夜晚同时开着的电灯数再6800~7200之间的概率；利用拉普拉斯定理，计算夜晚同时开着的电灯数在6800~7200之间的概率的近似值。解：1〕 2〕由切比雪夫不等式由拉普拉斯定理第五章统计量及其分布【说明】本章重点内容很少，但是有几个点还是需要知道的。总体概念及表示方法、样本以及样本值概念及表示方法、样本容量、以及总体和样本之间独立同分布的性质，这些概念只要知道即可，会用就可以了。常见的统计量：样本平均数〔样本均值〕样本方差样本k阶原点矩样本k阶中心矩第六章参数估计【说明】本章主要围绕参数估计展开，主要讲述了点估计〔包括矩估计、极大似然估计〕和区间估计。接着就是正态总体参数的区间估计，就是怎么求置信区间的问题。矩估计步骤：有几个未知参数，分别求出总体的一阶到几阶原点矩；把未知参数解出，用总体的原点矩表示；分别用样本的各阶矩估计总体的各阶矩得出参数的矩估计结果。【例6-1】设总体，是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的据估计值。解： 反解出： 于是马上可以得到矩估计为： 据估计值【例6-2】设总体的概率密度其中都是未知参数，是来自总体的样本，求的矩估计量。解： 反解出得 于是，矩估计量极大似然估计步骤：首先写出似然函数对似然函数取对数后求导，或者偏导后得到似然方程〔组〕①为一值时，那么②为一向量，那么求偏导然后解出根就是的极大似然估计。【例6-3】设总体，是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的极大似然估计值。解： 接着，对数化 然后，因为只有一个值，故求导即可解得于是极大似然估计量【例6-4】总体是来自总体的一个样本，样本值为，求参数的极大似然估计值。解： 接着对数化 求得得到似然方程 得到解【说明】只要步骤掌握了，极大似然估计的求解可能更加简单些，当然，每一种点估计都不难。正态总体参数的区间估计方差，对均值区间估计，置信度为1-α的置信区间为，当α，α。方差未知，对均值区间估计，置信度为1-α的置信区间为。【例6-5】对某一零件的长度进行5次独立测量得〔单位：cm〕11.2， 10.8， 10.9， 11.3， 测量无系统误差，且测量长度服从N(μ,4)求该零件平均长度的95%置信区间，如果总体方差未知，置信区间为何？ 解：1〕首先求出，而 带入公式马上可得 于是置信区间为〔9.27，12.77〕这样，带入公式可得 于是置信区间为〔10.78，11.26〕。【说明】其实求置信区间，当时，是比拟简单的，但是未知，那么比拟复杂。因为求S比拟复杂在第三章中