2023年全国中学生物理竞赛近代物理及相对论专题

近代物理及相对论专题（28）五、（15分）半导体pn结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。当有光照射pn结时，pn结两端会产生电势差，这就是光生伏打效应。当pn结两端接有负载时，光照使pn结内部产生由负极指向正极的电流即光电流，照射光的强度恒定期，光电流是恒定的，已知该光电流为IL；同时，pn结又是一个二极管，当有电流流过负载时，负载两端的电压V使二极管正向导通，其电流为，式中Vr和I0在一定条件下均为已知常数。1、在照射光的强度不变时，通过负载的电流I与负载两端的电压V的关系是I=__________________。太阳能电池的短路电流IS=_______________，开路电压VOC=___________________，负载获得的功率P=______________。2、已知一硅pn结太阳能电池的IL=95mA，I0=4.1×10－9mA，Vr=0.026V。则此太阳能电池的开路电压VOC=___________________V，若太阳能电池输出功率最大时，负载两端的电压可近似表达为，则VmP=______________V。太阳能电池输出的最大功率Pmax=_______________mW。若负载为欧姆电阻，则输出最大功率时，负载电阻R=_____________Ω。五、答案与评分标准本题15分．1．(2分），（2分），（2分），（1分）．2．0.62V（2分）；0.54V（2分）；49mW（2分）；6.0（2分）．（27）二、(20分)距离我们为L处有一恒星，其质量为M，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T，摆动范围的最大张角为。假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作周期运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量所满足的方程。若光年，年，毫角秒，(为太阳质量)，则此行星的质量和它运动的轨道半径各为多少？分别用太阳质量和国际单位AU(平均日地距离)作为单位，只保存一位有效数字。已知1毫角秒角秒，1角秒度，1AU，光速。二、参考解答：设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为，根据题意有（1）将有关数据代入（1）式，得．又根据质心的定义有（2）式中为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有（3）由（2）、（3）两式得（4）[若考生用表达行星到恒星行星系统质心的距离，从而把(2)式写为，把(3)式写为，则同样可得到(4)式，这也是对的的.]运用（1）式，可得 （5）（5）式就是行星质量所满足的方程．可以把(5)试改写成下面的形式（6）因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得（7） 注意到，由（6）和（7）式并代入有关数据得(8)由（8）式可知由近似计算可得（9）由于小于1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即（10）代入有关数据得（11）评分标准：本题20分．（1）式2分，（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分．（26）六、（20分）两惯性系S′与S初始时刻完全重合，前者相对后者沿z轴正向以速度v高速运动。作为光源的自由质点静止于S′系中，以恒定功率P向四周辐射（各向同性）光子。在S系中观测，辐射偏向于光源前部（即所谓的前灯效应）。1．在S系中观测，S′系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内。求该圆锥的半顶角α。已知相对论速度变换关系为式中ux与ux′分别为S与S′系中测得的速度x分量，c为光速。2．求S系中测得的单位时间内光源辐射的所有光子的总动量与总能量。七、（20分）1．设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为M、以速度V沿光入射方向运动的抱负反射镜（无吸取）上，试用光子与镜子碰撞的观点拟定反射光的光子能量E′。可取以下近似：，其中c为光速。2.若在上述问题中单色光的强度为Φ，试求反射光的强度Φ′（可以近似认为光子撞击镜子后，镜子的速度仍为V）。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子的能量。六、参考解答：1．先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是．以和分别表达光子速度方向在和系中与和轴的夹角，则光速的分量为 ， ． 再运用相对论速度变换关系，得 ． 系中光源各向同性辐射，表白有一半辐射分布于的方向角范围内，系中，此范围相应．由上式求得 ． 可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小．2．系中，质点静止，在时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即 ， 式中为时间内质点减少的质量．系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为，即 ； 转化为光子的总能量为，即 ． 系中光源静止，测得的辐射时间为本征时，在系中膨胀为 ， 由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的所有光子的总动量与总能量分别为 ， ． 评分标准：本题20分.第1小问7分.(3)式4分，(4)式3分.第2小问13分.(5)、(6)、(7)式各2分，(8)式3分，(9)、(10)式各2分．MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h七、参考解答：1．光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为 ， ． 其中为碰撞后反射镜的速度．从上两式消去，得 ． 当时，，可得 ． 2.AS1S2图1考察时刻位于垂直于光传播方向的截面A左侧的长为光在1s时间内所传播的距离c1s、底面积为单位面积柱体内的光子，如图1所示．通过1s时间，它们所有通过所考察的截面．AS1S2图1（6）S1S2VctS2S1AN图2aS2S1N’若A处固定一反射镜，则柱体的底面S2处的光子在时刻t到达位于A处的反射镜便立即被反射，以光速c向左移动；当柱体的底面S1在t+1sS1S2VctS2S1AN图2aS2S1N’假如反射镜不固定，而是以恒定的速度V向右移动，则在时刻t+1s柱体的底面S1到达A处时，反射镜已移到A右边距离为V1s的N处，这时底面S2移到A左侧离A的距离为c1s处，如图2中a所示.设再通过时间，S1与镜面相遇，但这时镜面己来到处，由于在时间内，镜面又移过了一段距离，即在时刻，底面S1才到达反射镜被反射．亦即原在S1处的光子须多行进cΔt的距离才干被反射．因此得(7)而这时，底面S2又向左移了一段距离．这样反射光的光子将分布在长为的柱体内．因反射不改变光子总数，设为反射光单位体积中的光子数，有故有． (8)根据光强度的定义，反射光的强度．(9)由(4)、(8)、(9)各式得．(10)注意到有．(11)评分标准：本题20分.第1小问9分.(1)、(2)式各2分，(4)或(5)式5分.第2小问11分.(8)式5分，(9)式3分，(10)或(11)式3分．MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h（25）八、（20分）质子数与中子数互换的核互为镜像核，例如是的镜像核，同样是的镜像核。已知和原子的质量分别是和，中子和质子质量分别是和，，式中c为光速，静电力常量，式中e为电子的电荷量。1、试计算和的结合能之差为多少MeV。2、已知核子间互相作用的“核力”与电荷几乎没有关系，又知质子和中子的半径近似相等，试说明上面所求的结合能差重要是由什么因素导致的。并由此结合能之差来估计核子半径rN。3、实验表白，核子可以被近似地当作是半径rN恒定的球体；核子数A较大的原子核可以近似地被当作是半径为R的球体。根据这两点，试用一个简朴模型找出R与A的关系式；运用本题第2问所求得的rN的估计值求出此关系式中的系数；用所求得的关系式计算核的半径。八、参考解答：1．根据爱因斯坦质能关系，3H和3He的结合能差为(1)代入数据，可得MeV(2)2．3He的两个质子之间有库仑排斥能，而3H没有.所以3H与3He的结合能差重要来自它们的库仑能差.依题意，质子的半径为，则3He核中两个质子间的库仑排斥能为(3)若这个库仑能等于上述结合能差，，则有(4)代入数据，可得fm(5)3．粗略地说，原子核中每个核子占据的空间体积是.根据这个简朴的模型，核子数为A的原子核的体积近似为(6)另一方面，当较大时，有（7）由（6）式和（7）式可得R和A的关系为(8)其中系数(9)把(5)式代入(9)式得fm(10)由(8)式和(10)式可以算出的半径(11)（24）七、（20分）今年是我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生诞生一百周年。王先生早在1941年就发表论文，提出了一种探测中微子的方案：原子核可以俘获原子的K层电子而成为的激发态，并放出中微子（当时写作η）而又可以放出光子而回到基态由于中微子自身很难直接观测，能过对上述过程相关物理量的测量，就可以拟定中微子的存在，1942年起，美国物理学家艾伦（R.Davis）等人根据王淦昌方案先后进行了实验，初步证实了中微子的存在。1953年美国人莱因斯（F.Reines）在实验中初次发现了中微子，莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔（M.L.Perl）分享了1995年诺贝尔物理学奖。现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量。若实验中测得锂核（）反冲能量（即的动能）的最大值，光子的能量。已知有关原子核和电子静止能量的数据为；；。设在第一个过程中，核是静止的，K层电子的动能也可忽略不计。试由以上数据，算出的中微子的动能和静止质量各为多少？七、参考解答：根据题意，核和K层电子的动量都为零，在第一个反映中，若用表达激发态锂核的动量，表达中微子的动量，则由动量守恒定律有（1）即激发态锂核的动量与中微子的动量大小相等，方向相反.在第二个反映中，若用表达反冲锂核的动量，表达光子的动量，则由动量守恒定律有（2）由（1）、（2）式得（3）当锂核的反冲动量最大时，其反冲能量也最大.由（3）式可知，当中微子的动量与光子的动量同方向时，锂核的反冲动量最大.注意到光子的动量（4）有（5）由于锂核的反冲能量比锂核的静能小得多，锂核的动能与其动量的关系不必用相对论关系表达，这时有（6）由（5）、（6）式得（7）代入有关数据得（8）用表达中微子的能量，根据相对论有（9）根据能量守恒定律有（10）由（9）、（10）式得（11）由（8）式和已知数据得（12）由（12）式可知，所算出的中微子静止质量的数值在题给数据的误差范围之内，故不能拟定中微子的静止质量．假如有，其质量一定小于．（23）七、（16分）串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，右图是其构造示意图。S是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分N为充有氮气的管道，通过高压装置H使其对地有V的高压。现将氢气通人离子源S，S的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子（其初速度为0)在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道N后将与氮气分子发生互相作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又也许进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带电粒子的互相作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由N飞向串列静电加速器的终端靶子T。试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达T时的速度。电子电荷量C，质子的静止质量kg。七、参考解答：带电粒子在静电场内从S到T的运动过程中，经历了从S到N和从N到T的两次加速，粒子带的电荷量q的大小均为，若以U表达N与地之间的电压，则粒子从电场获得的能量(1)质子到达T处时的质量(2)式中v为质子到达T时的速度．质子在S处的能量为，到达T处时具有的能量为，电子的质量与质子的质量相比可忽略不计，根据能量守恒有（3）由（1）、（2）、（3）式得代入数据解得（4）评分标准：本题16分．（22）SvRxAOlrO2O1四、（23分）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（R>r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与xSvRxAOlrO2O11．车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．2．地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．rRlLS四、1．相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动．由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大．若距S的距离为rRlLS 可得 (1)设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出．当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住．此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L．在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为 (2)故出现挡板完全遮住光束的时刻为 (3)由（1）、（3）式得 (4)2．相对于地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动．光源与孔之间的距离缩短为 (5)而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为 (6)初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为 (7)（21）三、(15分)子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命．宇宙射线与大气在高空某处发生核反映产生一批子，以v=0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t=0时刻的粒子数为N(0),t时刻剩余的粒子数为N(t)，则有，式中为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的子数为本来的5％，试估算子产生处相对于地面的高度h．不考虑重力和地磁场对子运动的影响．三、因子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命根据时间膨胀效应，在地球