清华大学计算固体力学全套(部编)课件

清华大学计算固体力学

全套课件计算固体力学

第1章绪论

全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研水平。计算固体力学课程体系非线性有限元的内容：三场变分原理（弱形式）：速度，变形率，应力一种格式：Lagrangian格式（TL，UL，ALE）

TL－完全的L格式

UL－更新的L格式两种解法：隐式和显式求解器 隐式－Newton-Raphson迭代 显式－中心差分三种非线性：材料，几何，接触 材料：弹塑性，超弹性，粘弹性 几何：Jaumann率，弧长法， 接触：Lagrange乘子，罚函数计算固体力学课程体系绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用，标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2）一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式的控制方程，弱形式与强形式。（4）连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒方程，框架不变性。（4）L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4）材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如J-C方程等。应变硬化和软化。（4）求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分（N-R求解等），显示时间积分（中心差分等），波的传播问题。（4）教学内容：计算固体力学课程体系7.稳定性：稳定性和连续化，平滑性，数值稳定性，材料稳定性。屈曲和后屈曲，弧长法，模态分析。（4）8.ALE有限元：ALE连续介质力学，公式推导，率形式，弱形式，路径相关材料，网格更新方法，Petrov-Galerkin公式的动量方程，离散方程的线性化，整体ALE公式。（4）有限元单元性能：分片试验，完备性和再造条件，Hu-Washizu多场变分原理，多场弱形式。（4）单元稳定性：体积自锁，剪切自锁，减积分，不完全积分，沙漏模式。（4）梁、壳和连续体单元：理论分析，基于连续体（CB）的梁。（4）基于连续体（CB）的壳，连续体单元，膜单元的性能，假设应变单元，一点积分单元。（4）接触和冲击：接触界面方程（主从接触，从从接触，多点约束，约束方程），摩擦模型（罚函数，库仑等），接触弱形式，有限元离散。（4）计算固体力学课程体系14.断裂力学的有限元计算：K场计算，J积分，T积分，动态裂纹扩展计算（能量平衡、节点力释放和XFEM）。（4）15.流固弱耦合算法。（2）16.材料本构计算－陈震。（4）计算固体力学课程体系程序训练：1.显式有限元程序－DYFRAC：大变形板壳结构分析计算2.隐式有限元程序－ABAQUS/Standard：开发UMAT或UEL接口程序，完成一个结构的完整计算分析过程成绩：1.期末考试：60％2.程序实践：20％3.课堂作业：20％

绪论

虚拟科学与工程有限元的发展和相关著作有限元软件的发展非线性有限元的分类非线性有限元的应用网格和标记偏微分方程分类1虚拟科学与工程(Simulation-basedEngineeringandScience，SBES)

人类需要借助各种工具来增强、延伸和扩大自己认识世界的能力，虚拟科学与工程(VirtualScience

andEngineering)正是用高科技手段构造出一种人工环境，帮助工程师和科学家创造一个时域和空域可变的虚拟世界，使人们能够在这个虚拟世界中纵观古今，瞬扶四海，实现从必然王国到自由王国的认识过程。

CAD/CAE/CAM，伴随着计算机硬件和软件的发展而发展，适应工业与科技的需求。

在国家十一、五发展规划中，提出自主创新、集成创新、引进吸收再创新，发展CAE技术，是工业和科技提高创新能力的手段之一。1虚拟科学与工程

纵观古今，瞬扶四海：源于我国晋代的儒学家陆机（261－303）在他的《文赋》中谈及文学创作的思维活动时说，应“观古今于须臾，扶四海于一瞬”。1虚拟科学与工程

实现从必然王国到自由王国的认识过程：源于毛泽东（1893－1976）的《实践论》。虚拟科学与工程是指对科学现象、工程／产品的功能、性能和运行行为实施计算机模拟的方法体系，尤其对：难以或耗资昂贵的科学现象的物理实验，如受控热核反应、核聚变、环境污染等;重大工程／复杂产品的功能、性能和极端行为的模拟仿真、科学本质的显现，如溃坝，车辆、船舶或飞机的碰撞等。1虚拟科学与工程

虚拟科学与工程是迅速发展中的计算力学、计算数学、计算物理、计算材料科学以及相关的计算工程科学，与现代计算机科学和技术相结合，而形成的一种综合性、集成化、网络化与智能化的信息处理方法、技术和产品。科学与工程计算＝》科学与工程仿真＝》虚拟科学与工程1虚拟科学与工程

力学的分支计算力学，发展了有限元、有限差分等理论和方法，为虚拟科学与工程仿真提供了工具。有限元分析是虚拟设计的基本组成部分。它提供了更快捷和低成本的方式评估设计的概念和细节，因此，人们越来越多地应用仿真的方法代替样品原型的试验(VirtualPrototyping)。1虚拟科学与工程

1997年9月，钱学森院士已经预见到了虚拟工程与科学在未来世纪的重要性，他在为清华大学工程力学系建系40周年的贺信中写道：“随着力学计算能力的提高，用力学理论解决设计问题成为主要途径，而试验手段成为次要的了。由此展望21世纪，力学加电子计算机将成为工程设计的主要手段，就连工程型号研制也只用电子计算机加形象显示。都是虚的，不是实的，所以称为“虚拟型号研制”（VirtualPrototyping）。最后就是实物生产了。”1虚拟科学与工程

1Simulation-basedEngineeringandScience-SBES2005年6月，美国总统信息技术咨询委员会的报告中指出“计算科学已成为科学领导地位、经济竞争力和国家安全的关键”，并发出“美国政府还没有充分认识到计算科学的潜力”的警告。

2006年2月，美国国家科学基金会（NSF）发表报告“基于仿真的工程与科学”(Simulation-basedEngineeringandScience，SBES)，指出“SBES采用模拟和计算机仿真的原理和方法以获取和应用知识并造福人类，应成为工程与科学领域国家优先发展项目”。1Simulation-basedEngineeringandScience-SBESThepromise:Advancesinmathematicalmodeling,incomputationalalgorithms,inthespeedofcomputers,andinthescienceandtechnologyofdataintensivecomputinghavebroughtthefieldofcomputersimulationtothethresholdofanewera,anerainwhichunprecedentedimprovementsinthehealth,security,productivity,andcompetitivenessofournationmaybepossible.Ahostofcriticaltechnologiesareonthehorizonthatcannotbeunderstood,developed,orutilizedwithoutsimulationmethods.--TheNSFBRPanelReportonSBES-J.T.Oden,20071Simulation-basedEngineeringandScience-SBESScience-CambridgeInternationalDictionaryofEnglish:Knowledgeobtainedfromthesystematicstudyofthestructureandbehaviorofthephysicaluniverse,involvingexperimentationandmeasurementandthedevelopmentofthetheoriestodescribetheresultsoftheseactivities.Knowledgeobtainedintwoways:Observationandtheory.1Simulation-basedEngineeringandScience-SBESEngineering-istheapplicationofsciencetotheneedsofhumanity.Thisisaccomplishedthroughtheapplicationofscientificandmathematicalprinciples,andpracticalexperiencetothedesignofusefulobjectsorprocesses.EngineeringScience-isthesystematicacquisitionofknowledgeforthepurposeofapplyingittothesolutionofproblemseffectingtheneedsandwell-beingofhumankind.SBES-engineeringscienceandsciencethatemploystheprinciplesandmethodsofmodelingandcomputersimulationtoacquireandapplyknowledgeforthebenefitofhumankind.

2有限元的发展和相关著作2有限元的发展和相关著作

涉及非线性有限元分析的著作包括:

Zienkiewicz和Taylor(1967),(1991),(2000),

庄茁、岑松译，有限元方法(第5版)－第2卷，固体力学，清华大学出版社，2006

Oden(1972),是固体和结构非线性有限元分析的开拓Kleiber(1989),Crisfield(1991),ZhongZH(1993)。

Belytschko和Hughes(1983)，Hughes（1987）

Cook、Malkus和Plesha(1989)

Bathe(1996),Bonet和Wood(1997),

Simo和Hughes(1998)。2.1著作

徐芝纶，弹性力学问题的有限单元法，水利电力出版社，1972

谢贻权，何福保编著，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，1981

徐次达，华伯浩，固体力学有限元理论、方法及程序，水利电力出版社，1983

王勖成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社，1987，1995

王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003

郭乙木，陶伟明，庄茁，线性与非线性有限元及应用，

机械工业出版社，2003NonlinearFiniteElementsforContinuaandStructures,

T.Belytschko,W.K.Liu,B.Moran,JohnWiley&Sons,Ltd,2000

庄茁等译，连续体和结构的非线性有限元，清华大学出版社，20022有限元的发展和相关著作有限元的创立与科学的发展和工业界需求相关

RayW.Clough，毕业于MIT

1949，Berkeley土木工程学院任教

1952，Boeing暑期研究，detal三角形机翼振动分析，应用传统梁理论和数学计算，基于一维梁模型的机翼结构挠度计算结果与小比例机翼模型试验数据相差甚远，工作失败。1953，计算小三角形板的刚度性能，将一片片汇合成机翼，

directstiffnessmethod–直接刚度法，有限元的雏形。机翼结构挠度计算结果与小比例模型试验数据吻合。1955，JohnH.Argyris,矩形单元1956，第一篇有限元文章发表。

2有限元的发展和相关著作2.2发展历史

通过波音研究组的工作和Turner、Clough、Martin和Topp（1956）的著名文章，使线性有限元分析得以闻名，不久后，在许多大学和研究所里，工程师们开始将方法扩展至非线性、小位移的静态问题。他们非常清楚有限元方法的前途，它提供了处理复杂形状真实问题的可能性。2有限元的发展和相关著作

我们不仅关注发表的文章，而是更关注软件的发展。在这个信息－计算机时代，象许多其它方面的进步一样，在有限元分析中，软件常常比文献更好地代表了最新的进展。有限元程序两条脉络：隐式-ABAQUS/Standard，Nastran，ANSYS，MARC显式-ABAQUS/Explicit，Dytran，Dyna3D2有限元的发展和相关著作3有限元软件的发展在20世纪60年代，由于EdWilson发布了他的第一个程序，这种激情终于被点燃了。这些程序的第一代没有名字。在遍布世界的许多实验室里，通过改进和扩展这些早期在Berkeley开发的软件，工程师们扩展了新的用途，带来了对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展。SAP：在Berkeley开发的第二代线性程序称之为SAP（StructuralAnalysisProgram），之后发展的第一个非线性程序是NONSAP，它具有隐式积分进行平衡求解和瞬时问题求解的功能。3有限元软件的发展隐式有限元程序-ImplicitMARC：1969年，在Brown大学任教的PedroMarcal，为了第一个非线性商业有限元程序进入市场，于建立了一个公司；程序命名为MARC，目前它仍然是主要软件，1999年被MSC公司兼并，MSC/MARC。ANSYS：大约在同期，JohnSwanson为了核能应用在Westinghouse发展了一个非线性有限元程序。为了使ANSYS程序进入市场，他于1969年离开Westinghouse。ANSYS尽管主要是关注非线性材料而非求解完全的非线性问题，它多年来仍垄断了商业非线性有限元软件的舞台。3有限元软件的发展ABAQUS：DavidHibbitt，他与PedroMarcal合作到了1972年，1978年创立了HKS公司，使ABAQUS商用软件进入市场。因为该程序是能够引导研究人员增加用户单元和材料模型，对软件行业带来了实质性的冲击。2005年被法国达索公司(DassaultSystemes)收购，该公司的主要产品有CATIA。2007年更名为Simulia。NASTRAN

：大型通用有限元软件。TheMacHeal-SchwendlerCorporation(MSC)，1963年创立，主要得到美国航空界赞助，如NASA和FAA，为飞行器验证软件。前处理为PATRAN。3有限元软件的发展按照美国反垄断法，于2003年将NASTRAN源代码一式二份，分别属于：

MSC/NASTRAN

：MSC公司产品；

NX.NASTRAN

：UGS公司产品。2007年，SIEMENS收购UGS。ADINA

：JürgenBathe是在EdWilson的指导下在Berkeley获得博士学位的，不久之后开始在MIT任教，这期间他便发布了他的程序。这是NONSAP软件的派生产品，称为ADINA。据说UGS目前正准备收购ADINA。3有限元软件的发展DOE实验室的工作强烈地影响了早期的显式有限元方法，特别是命名为hydro-codes的软件，Wilkins(1964)。显式有限元程序-Explicit3有限元软件的发展

在1964年，Costantino在芝加哥的IIT研究院发展了可能是第一个显式有限元程序。它局限于线性材料和小变形，由带状刚度矩阵乘以节点位移计算内部的节点力。它首先在一台IBM7040系列计算机上运行，花费了数百万美元，其速度远远低于一个megaflop和32000字节RAM。

刚度矩阵存储在磁带上，通过观察磁带驱动能够监测计算的过程；当每一步骤完成时，磁带驱动将逆转以便允许阅读刚度矩阵。这些和以后的ControlData机器有类似的性能，如CDC6400和6600。一台CDC6400价值为一千万美元，32k内存和大约一个megaflop的真实速度。3有限元软件的发展一台CDC6400价值为一千万美元，32k内存和大约一个megaflop的真实速度。3有限元软件的发展每芯片的晶体管数每过18个月加倍为什么要发展纳米技术奔腾Ⅳ最小元件～130纳米保持计算机技术的持续高速发展！在1969年，开发了著名的从单元到单元的技术；节点力的计算不必应用刚度矩阵。因此，发展了名为SAMSON的二维有限元程序，它被美国的武器实验室应用了十年。在1972年，该程序功能扩展至结构的完全非线性三维瞬态分析，称为WRECKER。3有限元软件的发展这一工作得到美国运输部敢于幻想的计划经理

LeeOvenshire的基金资助，他在七十年代初期就预言汽车的碰撞试验可能被仿真所代替。然而，比他所预言的时间稍微提前了一点，在当时进行一个300个单元模型的仿真，对于两千万次模拟需要约30小时机时，花费约3万美元，相当于助理教授三年的工资。

LeeOvenshire的计划资助了若干个开拓性的工作：Hughes的接触－冲击，IvorMcIvor的碰撞工作，以及由TedShugar和CarlyWard在PortHueneme的关于人头的模拟研究。3有限元软件的发展WHAMS：但是，大约在1975年，运输部认为仿真太昂贵，决定所有的基金转向试验方面，使这些研究努力令人痛心的停止下来。

在Ford，WRECKER勉强维持生存了下一个十年，在Argonne，由Belytschko发展的显式程序被移植应用在核安全工业上，其程序命名为SADCAT和WHAMS。WHAMS-PFRAC

Tsinghua-MPFRAC

3有限元软件的发展DYNA：显式有限元程序发展的里程碑来自于LawrenceLivermore实验室的JohnHallquist的工作。1975年，John开始他的工作，1976年，他首先发布DYNA程序。他慧眼吸取了前面许多人的成果，并且与Berkeley的研究人员紧密交流合作，包括JerryGoudreau，BobTaylor，TomHughes和JuanSimo。他之所以成功的部分关键因素是与DaveBenson合作发展了接触－冲击相互作用，和他的令人敬畏的编程效率，以及计算程序DYNA-2D和DYNA-3D的广泛传播。3有限元软件的发展

目前，隐式方法比显式方法的功能增加得更加迅速。对于处理非线性约束，例如接触和摩擦，隐式方法已经有了明显的改进。稀疏迭代求解器也已经成为更加有效的工具。科学与工程分析功能的强健需要两种方法的有效性。

因此，在工业和研究中，精通非线性软件的应用要求分析者重视对于非线性有限元方法的理解，能够清楚在分析中许多有兴趣的挑战和机遇。这将是本课程的宗旨。3有限元软件的发展中国建研院：PKPM－建筑结构分析程序

胡平(北)KMAX和钟志华(南)：分别开发了研制汽车

覆盖件模具的有限元软件

梁国平：飞箭软件大连理工大学：有限元程序

郑州机械所：紫瑞软件

清华大学：东方(DYFRAC)－断裂与强度分析程序

…3有限元软件的发展CAE的发展概况与前景国内外高性能计算对比分析目前我国与美国研究领域先进的数值仿真相比，在计算机硬件设备和软件开发能力，以及基础研究等方面存在的主要差距有以下几点：（1）硬件与软件环境在硬件方面，美国国家实验室装备了峰值速度为136.8万亿次计算机，用于结构分析的计算机浮点运算速度，我国与美国相差2～3个数量级。在软件方面，美国可以同时利用数千个CPU开展并行计算，而我国在结构分析方面有效使用的CPU并行应用数量比美国低1～2个数量级，在并行计算效率方面严重依赖于国外商用软件。2005年，LLNL装备的蓝色基因计算机的并行计算峰值速度达到136.8万亿次。美国完成了武器系统在敌方辐射与爆炸冲击波环境下的仿真，以及武器系统从库存到靶目标的多物理场动力学数值仿真，计算规模达数千万乃至上亿自由度。

1992年法国在进行了210次核试验之后，宣布其核武器更新将依靠数值仿真计划来实现，该项目15年总投资210亿欧元，这标志着发达国家在复杂武器工程分析方面已经进入了大规模并行计算时代。参考文献[1]ASCprogramplanFY05,NNSA,USA,2002-2003[2]法国原子能委员会《挑战》，2003年6～8月刊CAE的发展概况与前景美国战略武器储存和管理的挑战是确保突发事件时的攻击力量CAE的发展概况与前景（2）求解规模美国在结构动力学分析的求解规模已达到数千万自由度，而我国在结构非线性问题分析中的求解规模一般限制在百万自由度量级。与美国相比，自由度数目相差1～2个数量级，这样使得三维数值仿真非线性分析模型的规模较小，对结构的物理内涵和几何细节考虑不够充分。再是大量的仿真分析基于通用商用程序完成，数值仿真方法研究和软件开发的能力不足，没有形成较强的创新能力。CAE的发展概况与前景基于网络架构的NEST系统平台CAE的发展概况与前景硬件技术：上海超级计算中心－曙光4000A系统峰值10.2Tflops（10万亿次/秒）512节点×4＝2048CPU内存4256GB，容量95TBCAE的发展概况与前景清华航院的并行计算机群－－985-I期系统峰值0.3万亿次/秒，16节点×2＝32CPU－985-II期系统峰值1.0万亿次/秒，64节点×2＝128CPU4非线性有限元的分类线性分析：外加载荷与系统的响应之间为线性关系。例如线性弹簧，结构的柔度阵（将刚度阵集成并求逆）只需计算一次。通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加（或相乘）。这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况采用了相同的边界条件。4非线性有限元的分类非线性分析：非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变。所有的物理结果均是非线性的。线性分析只是一种近似，它对设计来说通常已经足够了。但是，对于许多结构包括加工过程的模拟（诸如锻造或者冲压）、碰撞分析以及橡胶部件的分析（诸如轮胎或者发动机支座），线性分析是不够的。一个简单例子就是具有非线性刚度响应的弹簧。4非线性有限元的分类4非线性有限元的分类由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。4非线性有限元的分类非线性的来源：在结构的力学模拟中有三种：材料非线性边界非线性（接触）几何非线性4非线性有限元的分类材料非线性大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系；但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可恢复的。

橡胶材料是一种非线性、可恢复（弹性）响应的材料。材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。4非线性有限元的分类边界非线性如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。悬臂梁随着施加的载荷产生挠曲。

梁端点在接触到障碍物以前，其竖向挠度与载荷成线性关系（如果挠度是小量）。当碰到障碍物时梁端点的边界条件发生了突然的变化，阻止了任何进一步的竖向挠度，因此梁的响应将不再是线性的。边界非线性是极度的不连续；当在模拟中发生接触时，结构中的响应在瞬时会发生很大的变化。另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模具的过程。在与模具接触前，板材在压力下比较容易发生伸展变形。在与模具接触后，由于边界条件的改变，必须增加压力才能使板材继续成型。4非线性有限元的分类几何非线性几何非线性发生在位移大小影响到结构响应的情况。由于：大挠度或大转动；“突然翻转”（Snapthrough）；初应力或载荷刚性化。

如果端部的挠度较小，可以认为是近似的线性分析。然而，如果端部的挠度较大，结构的形状乃至其刚度都会发生改变。另外，如果载荷不能保持与梁轴垂直，载荷对结构的作用也将发生明显的改变。当悬臂梁挠曲时，载荷的作用可以分解为一个垂直于梁的分量和一个沿梁长度方向的分量。这两种效应都会对悬臂梁的非线性响应产生贡献（即，随着梁承受载荷的增加，梁的刚度发生变化）。4非线性有限元的分类

不难理解大挠度和大转动对结构承载的方式会产生显著的影响。然而，并不一定位移相对于结构尺寸很大时，几何非线性才显得重要。考虑一块很大的具有小曲率的板在所受压力下的“突然翻转”。

板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。当板突然翻转时，刚度变负；尽管位移的量值相对于板的尺寸很小，但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑。4非线性有限元的分类几何非线性刚性悬臂梁值域平衡条件

约束刚度K

非线性关系

线性关系4非线性有限元的分类几何非线性刚性悬臂柱平衡条件

约束刚度K

线性关系

非线性关系

3个解答有限元分析：Buckling特征值(eigenvalues)－弹性临界(屈曲)载荷特征向量(eigenvectors)－屈曲模态非线性分析包含下列步骤：建立模型－Pre-process基本方程的公式离散方程求解方法表述结果－Post-process4非线性有限元的分类4非线性有限元的分类非线性有限元基本解决方案：材料非线性－Newton-Raphson迭代(隐式)，中心差分，R-K（显式）边界非线性－接触(约束，连接，摩擦，滑移）

Lagrange乘子，罚函数几何非线性－考虑Jaumann率的大变形算法，弧长法（Riks）非线性分析包含几个重要主题：选择近似的方法（如Newton-Raphson）选择合适的网格描述，动力学和运动学的描述检验结果和求解过程的稳定性（物理和数值）认识模型的平滑响应和隐含的求解质量和困难判断假设的作用和误差的来源4非线性有限元的分类5非线性有限元的应用

（略）6网格和标记

6网格和标记

非线性有限元分析关联三个领域：线性有限元方法，结构分析矩阵方法的扩展；非线性连续介质力学；数学，包括数值分析、线性代数和泛函。标记方法：矩阵、张量和指标标记3种标记方法：

1.指标标记矢量，一阶张量，指标重复两次为求和，

三维问题

缺点：公式，程序难以阅读

2.张量标记指标不出现，独立于坐标系统：直角，柱，曲线

小写黑体字母表示一阶,v，大写表示高阶,E;除外。

内部指标缩并，

例如线性本构方程：

6网格和标记

3.矩阵标记

二次项：应变能：，

6网格和标记

Voigt标记

在有限元编程中，将对称的二阶张量写成列矩阵。我们将它和高阶张量的任何其它换算称为列矩阵Voigt标记。关于转换对称二阶张量到列矩阵的过程称为Voigt规则。动力学Voigt规则：Voigt规则取决于是否一个张量是一个动力学量，诸如应力，或者运动学量，诸如应变。关于动力学张量的Voigt规则，诸如对称张量（二维问题）ija1112221236网格和标记

Voigt标记

运动学Voigt规则

对于二阶张量，运动学张量，诸如应变也可以在表A1.1中给出。但是，剪切应变，即用不相同指标表示的分量，需要乘以2。因此，关于应变的Voigt规则为

张量Voigt

(A1.3)矩阵向量化

i是分量指标，I是节点编号6网格和标记

空间坐标：x,

Eulerian坐标，指一点在空间的位置。

材料坐标：X,Lagrangian坐标,标记一个材料点，每一个材料点有唯一的材料坐标，一般为在物体初始构形中的空间坐标，当t=0,X=x。物体的运动或变形用函数

称其为在初始构形与当前构形之间的变换，如运动：

逆变换：1.网格描述，

2.动力学描述，应力张量和动量方程

3.运动学描述，应变度量6网格和标记

6网格和标记

Lagrangian网格和Eulerian网格描述6网格和标记

一个Lagrangian网格像在材料上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻(和单元)随着变形。一个Eulerian网格像放在材料前面一薄片玻璃上的蚀刻：当材料变形时，蚀刻不变形，而材料横穿过网格。6网格和标记

Lagrangian网格，材料点与网格点保持重合，单元随材料变形，适合描述固体与结构的变形，但容易严重扭曲。解决方法：ALE网格

(ArbitraryLagrangianEulerian)

节点能够有序地任意运动，在边界上的节点保持在边界上运动，内部的节点运动使网格扭曲最小化。7偏微分方程分类

当面对这样的力学问题，引起物体开裂的原因既要考虑到温度的影响，又要考虑到振动的效应，我们会被问到：应该选择哪种类型的偏微分方程?

在有限元软件中，可以将各种因素作为输入文件，计算得到解答。然而，当讨论这些结果的合理性时，我们会被问到：哪些因素控制着解答，什么情况下是温度控制，或是振动控制，他们共同控制解答的条件是什么?

带着这些问题，为了理解各种有限元程序的适用性，我们需要理解偏微分方程的属性。7偏微分方程分类

双曲线，典型问题是波的传播，如弦振动抛物线，典型问题是扩散方程，如热传导椭圆，典型例子是弹性力学平衡方程；

Laplace方程，及其非齐次Poisson方程； 断裂力学中Griffith解答,应用了Inglis无限大平板含椭圆孔的解。7偏微分方程分类

双曲线抛物线椭圆为了理解有限元程序的适用性，解答的属性，影响解的因素，如解答的平顺性，信息传播(如波、力和场)、边界与初始条件的影响，因此需要了解各种类型的偏微分方程。

如果不计时间相关性，三个方程退化为同一种形式，固体力学方程从双曲线变化为椭圆。7偏微分方程分类

PDEs发展是先降为一阶系统，如两个未知量的一个准线性系统：PDEs分类依据是线段或者表面是否存在交叉，若存在交叉，导数是不连续的。式中的Ai,Bi,Ci,Di是独立变量x和y，以及两个非独立变量u和v的函数。方程中的导数是线性的。

让我们检验u和v在x-y平面内是否可能有不连续的导数。考虑参数为s的一条曲线Г，沿着Г导数可能连续，横向Г导数可能不连续。由连锁法则，非独立变量的导数可以写成：7偏微分方程分类

将上面公式写成一个矩阵方程，得到如果导数是不连续的，上面系统线性代数方程的解答是非确定的，例如，没有唯一解答，它暗示在某些运算后，得到一个条件服从

式中除以，并注意到7偏微分方程分类

得到一元二次方程公式的解答为二次方程的根

有两族特征函数，双曲线，导数不连续有一族特征函数，抛物线，平滑无实特征函数，椭圆，平滑

双曲线系统的特征－存在交叉，穿过特征函数线的导数可能是不连续的，如应变或速度分量。7偏微分方程分类

双曲线，典型问题是波的传播，如弦振动

在双曲线系统中，信息以有限的速度传播，例如一维情况，波速为c＝x/t的直线斜率。一个力在t＝0时刻施加在杆的左端，在右侧x处的观察者直到波传播到该点时才有感觉。例1：一维波动方程其解答为两个实根

波速为的直线斜率。2.抛物线，典型问题是扩散方程，如热传导7偏微分方程分类

在抛物线系统中，仅存在一族特征函数值，它们平行于时间轴，因此信息以无限速度传播。施加在杆的左端的热源，使得沿着整个杆件的温度瞬间升高，升温呈梯度变化，远离热源处，温度增加的可能非常少，而在双曲线型模型中，该处在波传播到达前没有反应。例2：一维热传导的方程7偏微分方程分类

3.椭圆，典型例子是弹性力学平衡方程

在椭圆系统中，虚根，无实特征函数，与双曲线是对立的，方程与时间无关，在任何边界点的数据趋向于影响全部解答，数据的影响域是全部区域。而在边界处小量的不规则数据满足St.Venant’s原理。求解椭圆PDEs的困难在于边界处尖角所导致的解答奇异性，如断裂力学中的裂纹尖端奇异性和赫兹接触中的边界奇异性等。例3：平面弹性力学的Laplace方程学习要求

计算机仿真的5个方面训练：理论模型：科学知识，经验公式，实验数据数学模型：推导和描述系统和过程的数学公式计算模型：建立前处理模型，算法，数据处理计算模型的求解：计算机科学，工程数学，概率统计后处理，预见、决策：经验和准则，数据分析的知识，科学原理的理解计算固体力学

第2章Lagrangian和Eulerian有限元第2章一维Lagrangian和Eulerian有限元

引言完全的Lagrangian格式的控制方程,弱形式有限元离散，单元和总体矩阵更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，单元方程求解方法Eulerian格式的控制方程，弱形式,有限元方程1引言

1引言

非线性连续体一维模型（杆）的有限元方程在固体力学中，Lagrangian网格是最普遍应用的，其吸引力在于它们能够很容易地处理复杂的边界条件，并且能够跟踪材料点，因此能够精确地描述依赖于历史的材料。在Lagrangian有限元的发展中，一般采用两种方法：以Lagrangian度量的形式表述应力和应变的公式，导数和积分运算采用相应的Lagrangian（材料）坐标X，称为完全的Lagrangian格式（TL）。2.以Eulerian度量的形式表述应力和应变的公式，导数和积分运算采用相应的Eulerian（空间）坐标x，称为更新的Lagrangian格式（UL）。非线性与线性公式的主要区别是前者需要定义积分赋值的坐标系和确定选择应力和应变的度量。两种格式的主要区别在于：TL，在初始构形上描述变量，UL，在当前构形上描述变量。不同的应力和变形度量分别应用在这两种格式中。TL，习惯于采用一个应变的完全度量，UL，常常采用应变的率度量。这些并不是格式的固有特点，在UL中采用应变的完全度量是可能的，并且在TL中可以采用应变的率度量。尽管TL和UL表面看来有很大区别，两种格式的力学本质是相同的；因此，TL可以转换为UL，反之亦然。1引言

对于每一种公式，将建立动量方程的弱形式，已知为虚功原理（或虚功）。这种弱形式是通过对变分项与动量方程的乘积进行积分来建立。在TL格式中，积分在所有材料坐标上进行；在Eulerian和UL格式中，积分在空间坐标上进行。也将说明如何处理力边界条件，因此近似（试）解不需要满足力边界条件。这个过程与在线性有限元分析中的过程是一致的，在非线性公式中的主要区别是需要定义积分赋值的坐标系和确定选择应力和应变的度量。1引言

推导有限元近似计算的离散方程。对于考虑加速度（动力学）或那些包含率相关材料的问题，推导离散有限元方程为普通微分方程（ODEs）。这个空间的离散过程称为半离散化，因为有限元仅将空间微分运算转化为离散形式，而没有对时间导数进行离散。对于静力学与率无关材料问题，离散方程独立于时间，有限元离散将导致一组非线性代数方程。2完全的Lagrangian格式2.2TL的控制方程初始构形参考构形当前构形变形构形2完全的Lagrangian格式物体的运动由Lagrangian坐标和时间的函数描述是在初始域与当前域之间的映射

当材料坐标在初始位置

2完全的Lagrangian格式位移差

或者

变形梯度

偏微分的意义？

2完全的Lagrangian格式定义Jacobian：作为变形物体的无限小体积相对于变形前物体微段体积的比值

应变的度量

在变形前构形中上式为零，它等效于工程应变

应力的度量

Cauchy应力

名义应力

在多维上没有工程应力的定义。

工程应力

物理应力

初始值，J0＝12完全的Lagrangian格式推导方程应用下面方程推导非线性杆：

1.质量守恒

2.动量守恒

3.能量守恒

4.变形度量，也常称为应变-位移方程

5.本构方程，描述材料应力与变形度量的关系

另外，要求变形保持连续性，称为协调性要求。质量守恒

2完全的Lagrangian格式对于Lagrangian格式，质量守恒方程为对于一维杆动量守恒

由名义应力P和Lagrangian坐标给出(单位长度的力)

如果初始横截面面积在空间保持常数，则动量方程成为应力在坐标方向的分量

b－单位质量的力－体力

平衡方程

2完全的Lagrangian格式平衡意味着物体处于静止或者以匀速运动

能量守恒

内部功率由变形率的梯度和名义应力P的乘积给出

本构方程

不计惯性力，则动量方程成为平衡方程etc.

表示影响应力的其他变量，如温度，夹杂等。

是变形历史的函数。

完全形式

率形式

2完全的Lagrangian格式本构方程的例子

1)线弹性材料

完全形式

率形式

2)线性粘弹性材料

etc.

表示影响应力的其他变量，如温度，夹杂等。

是变形历史的函数。

完全形式

率形式

2完全的Lagrangian格式边界条件

位移边界

力边界n0单位法线（＋,－）

一端固定一端自由杆

边界条件满足

初始条件

动量方程是关于X二阶的（偏微分方程）。因此在每一端，必须描述u或者作为边界条件。2完全的Lagrangian格式内部连续条件

跳跃条件函数的连续性

如果函数的第n阶导数是连续函数，该函数为连续函数是连续可导的（它的一阶导数存在并且处处连续）

在函数中，导数只是分段可导，一维函数不连续发生在点上，二维函数不连续发生在线段上，三维函数不连续发生在面上。

函数本身不连续，xi是不连续点。动量平衡要求关于泛函和变分的概念变

量函数函数泛函

泛函－函数的函数（functional,functionoffunction)当虚位移是真实位移的增量时，虚位移原理

We＝V

中的

V

就是泛函V

的变分。微分是函数的增量，变分是泛函的增量。w(x)是x函数V

(w(x))是w(x)的泛函

自然变分原理是对物理问题的微分方程和边界条件建立对应的泛函，使泛函取驻值得到问题的解答，但是其未知场函数需要满足一定的附加条件。

广义变分原理（或称约束变分方程）不需要事先满足附加条件，采用Lagrange乘子法和罚函数法将附加条件引入泛函，重新构造一个修正泛函，将问题转化为求修正泛函的驻值。称为无附加条件的变分原理。对于罚函数方法，将罚参数取正值，对修正泛函得到的近似解只是近似地满足附加条件，罚参数值越大，附加条件的满足程度就越好。而在实际计算中，罚函数只能取有限值，所以利用罚函数求解只能得到近似解。2完全的Lagrangian格式

有限元方法不能直接离散动量方程。为了离散这个方程，需要一种弱形式，称为变分形式，即虚功原理或者虚功率，通过对变分项与动量方程的乘积进行积分来建立的。虚功原理或者弱形式是等价于动量方程和力边界条件的。后者称为经典强形式。2完全的Lagrangian格式2.3TL的弱形式强形式到弱形式弱形式到强形式

对于动量方程和力边界条件,现在建立弱形式，要求：满足所有位移边界条件并足够平滑，因此确切定义了动量方程中的所有导数。也假设足够光滑，这样确切定义了所有的后续步骤，并在指定的位移边界条件上为零。这是标准和经典的建立弱形式的方法。尽管它所导致的连续性要求比在有限元近似中更加严格，在我们看到以较少的强制连续性要求所得到的结论之前，我们仍继续采用这种方法。2完全的Lagrangian格式试函数变分项强形式到弱形式取动量方程与变分项的乘积并在全域内积分得到弱形式，给出

2完全的Lagrangian格式强形式到弱形式名义应力P是一个试位移函数。展开第一项乘积的导数，整理得到分布积分在指定位移边界处变分项消失，第二行服从边界互补条件和力边界条件。给出完全的Lagrangian格式的动量方程和力边界条件的弱形式

弱形式到强形式2完全的Lagrangian格式弱形式给出

由虚位移的任意性，试证明得到强形式

(参考4.3.2节)：动量方程力边界条件内部连续条件

可以看出，如果允许较低平滑的变分项和试函数，在强形式中将附加一个方程－－内部连续条件。如果选取的变分项和试函数满足经典的平滑条件，在强形式中则没有内部连续条件。对于平滑的变分项和试函数，弱形式仅采用动量方程和力边界条件。

较低平滑性要求的变分项和试函数仅是连续，需要处理在横截面上和材料参数中的不连续点。在材料界面，经典强形式是不适用的，因为它假设任何点的二阶导数是唯一定义的。然而，在材料界面处，应变，即位移场的导数是不连续的。采用粗糙的变分项和试函数，在这些界面上自然出现附加条件－内部连续条件。在TL弱形式中，所有的积分都是在材料域上进行，比如参考构形。由于求导是对材料坐标X进行，所以在材料域上应用分部积分是最方便的。2完全的Lagrangian格式2完全的Lagrangian格式虚功项的物理名称

外力虚功内力虚功惯性虚功虚功原理

方程是动量方程、力边界条件和应力跳跃条件的弱形式。

弱形式中包含强形式，并且强形式中包含弱形式，所以弱和强形式是等价的。对于动量方程，强和弱形式的这种等价称为虚功原理。2完全的Lagrangian格式

以弱形式作为虚功表达式的观点提供了统一性，对于在不同坐标系上和不同类型问题中建立弱形式是很有用途的：为了获得弱形式，只需要写出虚能量方程。因此，可以避免前面所做的由变分项与方程相乘并进行各种处理的过程。

从数学观点来看，没有必要考虑变分函数作为虚位移：它们是简单的变分函数，满足连续条件和在位移边界上为零。对于有限元方程的离散，方程与变分函数的乘积没有物理意义。

建立弱形式中的关键步骤是分部积分，从而消除了关于应力P的导数。如果没有这一步，力边界条件就不得不强加在试函数上。作为弱形式，由分部积分和降低对应力和试位移平滑性的要求是更方便的。2完全的Lagrangian格式3有限元离散，单元和总体矩阵3.1TL的有限元离散有限元近似

通过对变分项和试函数应用有限元插值，由虚功原理得到有限元模型的离散方程。

有限元试函数

是连续插值函数，称为形函数。形函数满足条件：是Kroneckerdelta或单位矩阵：当I=J时；当IJ时；运动学条件，试函数u要满足连续性和基本边界条件。方程表示变量分离：解的空间相关性由形函数表示，而时间相关性归属于节点变量。3有限元离散，单元和总体矩阵节点力

3有限元离散，单元和总体矩阵为了建立有限元方程，要为每一个虚功项定义节点力

外力虚功内力虚功惯性虚功

这些名称给节点力赋予了物理意义：内部节点力对应于在材料内部的应力，外部节点力对应于外部施加的荷载，而动态或惯性节点力对应于惯性。节点力与节点位移是功共轭的，一个节点位移的增量与节点力的标量积给出功的增量，一旦违背，质量和刚度矩阵的对称性将被破坏。节点力

内部节点力是由固体对变形的阻力而引起的节点力；

外部节点力

惯性节点力

3有限元离散，单元和总体矩阵每一个虚功项节点力表达式代入虚功原理给出由于的任意性，在所有节点除了位移边界外，即节点1，它服从

运动方程－－半离散方程

3有限元离散，单元和总体矩阵

在模型中，节点1的加速度并不是未知的，它是一个给定位移的节点。可以通过给定节点位移对时间求二次导数，得到给定位移节点的加速度。这个给定的位移必须足够光滑，可求导二次；这要求它是时间的C1函数(细长梁模型）。

当质量矩阵不是对角阵时，给定位移对没有在边界的节点也作出贡献。对于对角质量阵的情况，不出现下式右端项。

MIJ－J处位移对I处惯性力贡献的质量。

在矩阵形式中，不能简单地表示给定位移边界条件，所以必须考虑指标形式(上式)以补充。

运动方程－半离散方程(矩阵形式)

运动方程在空间是离散的，在时间上是连续的，有时简称离散方程。在有限元离散中，质量矩阵常常为非对角阵(一致质量矩阵)，运动方程区别于牛顿第二定律，当MIJ≠0时，节点I处的力可以在节点J处产生加速度。而集中质量矩阵的运动方程等价于牛顿第二定律。3有限元离散，单元和总体矩阵为在质点I上的净力。由牛顿第三定律，作用在节点上的力大小相等，而方向相反，因此内部节点力需要一个负号。

单元和总体矩阵

在有限元程序中，通常以一个单元水平计算节点力和质量矩阵，将单元节点力结合入总体矩阵，称为离散或矢量组合。

组合单元的质量矩阵和其它方阵到总体矩阵，称为矩阵装配。

通过计算可以从总体矩阵中提取单元节点位移，称为集合。3有限元离散，单元和总体矩阵2节点单元一维网格的集合和离散运算的描述，两组单元节点位移的集合：位移根据单元节点编号集合；计算节点力的离散：节点力根据节点编号返回总体力矩阵。3有限元离散，单元和总体矩阵2节点单元一维网格的单元形函数Ne(X)和总体形函数N(X)3有限元离散，单元和总体矩阵单元节点位移与总体节点位移的关系为

Le为连接矩阵。类似的获得单元节点力。

应用连接矩阵还可以建立单元形函数和总体形函数之间的关系，总体位移场可以由所有单元的位移求和得到：对单元形函数求和得到总体形函数

3有限元离散，单元和总体矩阵例题

3有限元离散，单元和总体矩阵3有限元离散，单元和总体矩阵3有限元离散，单元和总体矩阵3有限元离散，单元和总体矩阵4更新的Lagrangian格式4.1UL的控制方程初始构形参考构形当前构形变形构形4更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，单元方程4更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，单元方程UL格式是TL格式的一个简单转换。在数值上，离散方程是相同的，而实际在同一程序中，对某些节点力我们可以应用TL格式，而对其它的节点力应用UL格式。为什么采用两种方法，而它们基本上是一致的。4.1UL的控制方程

主要原因是它们都在被广泛地应用，因此，为了理解程序和文献，有必要熟悉两种格式。

应变的度量由变形率给出

应力的度量

Cauchy应力

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.1UL的控制方程以Eulerian坐标表述相关变量，空间坐标速度应变

UL格式的两个相关变量－速度和Cauchy应力

质量守恒

对于杆

动量守恒

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程能量守恒

－热流量－热源本构方程

变形度量

4.1UL的控制方程边界条件

速度边界等价位移边界

力边界n

单位法线（＋,－）

一端固定一端自由杆

边界条件满足

初始条件

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.1UL的控制方程4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.2UL的弱形式由动量方程乘以变分函数

弱形式－虚功率原理

强形式－虚功率原理的逆过程：动量方程， 力边界条件 内部连续条件

积分在当前域上完成

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.2UL的弱形式内部虚功率

外力虚功率

惯性力虚功率

弱形式

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.3UL的单元方程

在一个单元的水平上建立方程，通过装配获得总体方程。相关变量为速度和应力。建立本构方程、质量守恒方程，动量方程。由于质量守恒是一个代数方程，可以容易地计算任意一点的密度。建立半离散方程。单元的速度场为单元的加速度场为

将形函数表示成为材料坐标的函数是非常关键的，它与时间无关。如果将形函数由Eulerian坐标表示为形函数的材料时间导数不为零（注意与TL区别），并且不能将加速度表示为同样形函数与节点加速度乘积的形式。

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.3UL的单元方程Eulerian坐标与单元坐标之间的映射为

位移可以由相同的形函数进行插值

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.3UL的单元方程

形函数与时间无关，通过位移的导数得到速度和加速度，变分函数由同一形函数给出变形率可以表示为形函数的形式为4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.3UL的单元方程通过一个B矩阵，将变形率表示为节点速度的形式变形率可以表示为形函数的形式为形函数的空间导数由链规则得到

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程4.3UL的单元方程

与TL格式相同，在UL格式中，质量矩阵不随时间变化，在程序中仅计算一次即可。4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程例2.53节点二次位移单元以单元坐标的形式写出位移和速度场

以单元坐标的形式写出位移和速度场

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程例2.53节点二次位移单元其中:

B矩阵给出为

变形率给出为

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程例2.53节点二次位移单元如果是常数，单元中的变形率是线性地变化，这是节点2位于其它两节点中间时的一种情况。然而，当由于单元的畸变，节点2偏离中间位置时，变成为的线性函数，而变形率变成为一个有理函数。而当节点2从中间移开时，有可能成为负数，或为零，在这种情况下，当前空间坐标和单元坐标的映射将不再一一对应。变形率

4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程例2.53节点二次位移单元内部节点力

其中

这个表达式与TL格式的内力表达式是相同的。4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程例2.53节点二次位移单元-检查网格畸变当单元的节点2是位于离节点1的1/4单元长度时

在

有

Jacobian

在该点处的当前密度为无穷大。若节点2移动并接近节点1，在部分单元上Jacobian成为负数，这意味着是负密度值,违背了质量守恒。这些情况经常隐藏在数值积分中，因为在高斯积分点，当Jacobian成为负数时,畸变是非常严重的。由

不能满足一一对应条件也可能导致变形率出现奇异。当分母为零或成为负数，我们难以得到势能。

例2.53节点二次位移单元-检查网格畸变4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程

在节点1处变形率为无穷大。在断裂力学中，利用这种二次位移单元的性质建立包含裂纹尖端奇异应力的单元，称为四分之一点单元。但是在大位移分析中，这种行为会出现问题。在一维单元中，网格畸变的影响不像在多维问题中那么严重。事实上，应用变形梯度F作为这种单元的变形度量多少可以减轻网格畸变的影响。在3节点单元中，如果X2的初始位置位于中点，那么变形梯度F绝不会成为奇异。例2.53节点二次位移单元-检查网格畸变4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程例2.53节点二次位移单元-检查网格畸变4UL格式的控制方程，弱形式，单元方程3节点1/4点二次位移单元例2.53节点二次位移单元-检查网格畸变5求解方法5求解方法

为了求解非线性问题，最简单的方法，即时间显式积分。最广泛应用的显式方法是中心差分方法，采用对角或集中质量矩阵。速度

加速度

在时间间隔中点的导数值由在间隔端点处函数值的差得到，顾名思义为中心差分公式。

从t＝0出发，取时间步长Δt

5求解方法5求解方法

对于位移的更新不需要代数方程的任何解答，因此，在某种意义上，显式积分比静态线性应力分析更加简单,不需要矩阵求逆解刚度方程。如在流程图中看到，对于控制方程和时间积分公式，大多数的显式程序是直接向前赋值。程序从施加初始条件开始,第一个时间步多少与其它时间步的不同在于它仅取半步，这使程序能正确地解释关于应力和速度的初始条件。大部分程序运算时间是在计算单元节点力，尤其是内部节点力。节点力是逐个单元进行计算的。在开始计算前，从总体的列矩阵中集合出单元节点速度和位移。如流程图所示，内部节点力的计算包括应变方程和本构方程的应用。通过应力为内部节点力赋值。当完成了单元节点力的计算，根据它们的节点编号将其离散到总体列矩阵。5求解方法稳定性准则显式积分的缺陷在于时间步长必须低于一个临界值，否则由于数值不稳定将使解答‘隆起’。对于采用对角质量的2节点单元的临界时间步长为是单元的初始长度

是波速

稳定性准则能量守恒(断裂力学中为能量平衡)增加时间步长：放大质量，调整单元尺寸。6Eulerian格式的控制方程6Eulerian格式的控制方程，弱形式，有限元方程

在Eulerian格式中，节点在空间固定，相关变量为Eulerian空间坐标x和时间t的函数，应力度量为Cauchy（物理的）应力，变形度量为变形率，运动由速度描述。在Eulerian格式中，因为不能建立未变形、初始的构形，所以不能将运动表示为参考坐标的函数。

TL格式比UL格式需要更多的存储空间，以存储形函数及其导数值；而UL则需要在每一个时间步重复搜索和计算形函数，也会影响计算效率。因此，在实际问题中应有所选择，例如对于大变形的瞬态问题，或者路径无关材料，可采用TL，而与变形历史有关的路径相关材料，如弹塑性和粘弹塑性材料，则可采用UL。非线性有限元

第3章连续介质力学

计算固体力学第2讲连续介质力学

引言变形和运动应变度量应力度量守恒方程Lagrangian守恒方程极分解和框架不变性1引言

连续介质力学是非线性有限元分析的基石。从描述变形和运动开始。在刚体的运动中着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动。

1引言

非线性连续介质力学中的应力和应变，有多种方式定义。在非线性有限元程序中应用最频繁的是：

应变度量：Green应变张量和变形率。应力度量：Cauchy应力、名义应力和第二Piola－Kirchhoff应力，简称为PK2应力。还有许多其它的度量，过多的应力和应变度量是理解非线性连续介质力学的障碍之一。一旦理解了这一领域，就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西，也许只是学术过量的一种显示。我们只用一种应力和应变度量的方式进行讲授，也涉及到其它的方式，以便能够理解文献和软件。1引言

守恒方程，通常也称为平衡方程，包括质量、动量和能量守恒方程。平衡方程是在动量方程中当加速度为零时的特殊情况。守恒方程既从空间域也从材料域中推导出来。推导并解释极分解原理，检验Cauchy应力张量的客观率，也称作框架不变率。解释了率型本构方程要求客观率的原因，然后表述了几种非线性有限元中常用的客观率。2变形和运动

它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征，至多具有有限个不连续点。它忽略了非均匀性，诸如分子、颗粒或者晶体结构。晶体结构的特性有时也通过本构方程出现在连续介质模型中，但是假定其响应和属性是平滑的，只具有有限个不连续点。

连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结构的宏观行为的模型。

Kinematicdescription:应变是如何度量的？Kineticdescription:应力是如何度量的？Meshdescription:网格移动如何联系连续体的运动？2变形和运动

在初始域和当前域域之间的映射

初始构形

当前构形

材料点的位置矢量

ei:直角坐标系的单位基矢量，xi:位置矢量的分量。

2变形和运动

运动描述空间坐标当参考构形与初始构形一致时，在t＝0时刻任意点处的位置矢量x与其材料坐标一致一致映射