循环赛日程表问题研究

学年论文题目循环赛日程表问题研究 学生指导教师年级2023级专业软件工程系别软件工程学院计算机科学与信息工程学院哈尔滨师范大学2023年6月论文提要本文采用分治算法来解决循环赛日程表的安排问题。通过对问题的具体分析，列出1到10个选手的比赛日程表，找出两条规则，作为算法实现的依据，而后采用c语言实现算法，通过测试分析，程序运营结果对的，运营效率较高。同时也介绍了循环赛日程表问题的另一种解法多边形解法，这种方法另辟蹊径，巧妙地解决了循环赛日程表问题，运营效率较高。循环赛日程表问题研究摘要：本文采用分治算法来解决循环赛日程表的安排问题。根据算法的设计结果，采用c语言实现算法，通过测试分析，程序运营结果对的，运营效率较高。同时也介绍了循环赛日程表问题的另一种解法，这种方法另辟蹊径，想法独特，运营效率较高。关键词：循环赛日程表问题；分治法题目描述设有n个运动员要进行网球循环赛。设计一个满足以下规定的比赛日程表：（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；（2）每个选手一天只能赛一次；（3）当n是偶数时，循环赛进行n-1天。当n是奇数时，循环赛进行n天。问题分析循环赛日程表可以采用分治法实现，把一个表格提成4个小表格来解决，每个小表格都是同样的解决方法，只是参数不同。分析过程具体如下：1、n=1（表2-1）12.、n=2（表2-2）12213、n=3(1)添加一个虚拟选手4#，构成n+1＝4(2)4/2＝2，分两组，每组各自安排（12），（34）每组跟另一组分别比赛（拷贝）这是四个人比赛的（表2-3）4人赛程1234214334124321 (4)把虚选手置为0（表2-4）3人赛程1230210330120321 这是三个人比赛的安排4、n=4，见表2-35、n=5(1)加一个虚选手，n+1=6。安排好6个人的比赛后，把第6个人用0表达即得5人的。(2)提成两组(123)（456），各3名选手 (3)依照表2-4，安排第1组；按表2-5安排第2组(除0元素外，都加3)（表2-5）4560540660450321 (4)把表2-5排于表2-4下方（表2-6）123021033012456054066045 (5)把同一天都有空的两组安排在一起比赛(按这种安排，肯定天天只有一对空组)。 （表2-7）123421533612456154266345(6)第一组的(123)和第2组的(456)分别比赛。但是由于(1,4),(2,5),(36)已经比胜过了，所以在后面的安排中不能再安排他们比赛。 123 456一方面，1#只能和5#或6#比赛。(a)若1#－5#，由于3#和6#已经比胜过，所以只能安排:2#－6#，3#－4#(b)若1#－6#，由于2#和5#已经比胜过，只能安排：2#－4#，3#－5#这样安排后前三行的后两列，后三行的后两列由上面的三行来定：123456215364361245456132542613634521（表2-8）6人赛程表2-8就是6名选手的比赛日程安排。将其中的6号作为虚拟选手，把6换成0，即得5名选手的赛程安排表：（表2-9）5人赛程1234502153043012454501325420136345216、n=6，见表2-8。7、n=7,添加1，n+1=8。8名选手的安排，由4名选手（表2-3）构成 （表2-10）8人赛程1234567821436587341278564321876556781234658721437856341287654321将其中的8改成0，即得7名选手的赛程安排。（表2-11）7人赛程12345670214365073412705643210765567012346507214370563412076543218、n=8，见表2-10。9、n=9，由n+1＝10人，将虚选手10号置为0来得到。10、n=10。10人的比赛，分两组（12345）和(678910)各5人。前5人比赛的安排如表2-12（表2-12）123450215304301245450132542013第2组的5人比赛就是将前5人比赛选手（非0）号相应加5（表2-13）67891007610809806791091006871097068然后两组合并，得到表2-14（表2-14）12345021530430124545013254201367891007610809806791091006871097068找两组中同一天中没有安排比赛的，安排他们比赛：（表2-15）123456215374381245459132542101367891017610829836791091046871097568由于两组中：12345678910按列相应的已经比胜过一次：1－6，2－7，3－8，4－9，5－10。后面再安排两组选手分别比赛的时候，就不考虑已经比胜过的组合。安排两组选手分别比赛的时候，依照这样的规则：1#按递增顺序依次跟没有比胜过的第2组选手比赛（7，8，9，10各一天）。若1#和x1比赛，则2号从6~10号中从x1之后开始按增序中找第一个没有比胜过的选手，跟他比赛(假如x1＝10，则2号从6号开始按增序找)。3、4、5号也如此找。结果如表2-16所示：（表2-16）10人的赛程安排12345678910215374891063812459106745913210678542101367896789101543276108291543836791021549104687321510975684321观测表2-16的右上角，发现如下规律（表2-8，6人比赛时，也有此规律）：【规则一】：每一行数值从左到右循环递增；每一列上也是6～10（即n/2+1~n）循环递增（取到最大值10之后，下一个数字又从6开始取值；并且不包含左上角的块同一行中取过的值）。第一行第m+1(下标从0开始)列的值为(m+1)+1，依次向右递增；要先解决。其他行上的值要依赖于它的这个取值。【规则二】：右下角的块：由于比赛是两两之间进行的，所以右下角由右上角决定（比赛的对手是两个人，因此相应的安排要成对）；OK，至此，问题就好解决了，只要按照这个规律填数字，就可以得到一种合理的安排。由于我们不是求所有的安排，所以，只要得到这么一个解就可以了。9人比赛，则将表2-16中的10所有用0代替即得。（表2-17）9人的赛程安排1234567890215374890638124590674591320678542013678967890154327608291543836790215490468732150975684321三、算法设计n名选手的赛程安排问题：1、假如n为偶数，可分为两个n/2人的组，分别比赛，然后两组间比赛。（1）假如n/2为偶数，左下角为左上角加n/2来得到，然后左下角拷贝到右上角；左上角拷贝到右下角；（2）假如n/2为奇数，先安排左下角（除0外都加n/2），然后把同一天都有空的选手安排比赛。然后，右上角要按规则一来完毕，右下角由规则二来定。2、假如n为奇数，则加1个选手使n+1成为偶数。转化成偶数名选手的赛程安排问题来解决。最后把虚拟选手n+1号所在位置上的值置为0。即完毕安排。四、算法改善循环赛规定比赛的每两个选手都要进行一次比赛，并且每个选手天天都要比赛一场。这种题目的解法通常是用分治的思想来做，并且是分治方法解题的经典题目。下面的一种受多边形启发的方法，也能巧妙解决循环赛日程表问题。多边形解法：有n个选手要进行循环赛，画n边形，每个点表达一个选手。在同一水平线上的选手进行比赛。天天的比赛由旋转一次的多边形决定，每次顺时针旋转360/n度。例如：（1）假设有5名运动员（天天将有一名队员轮空），则可建立一个如下五边多边形：12 53 4所以第一天4号轮空，对局为1-2和5-3（2）第二天顺时针旋转360/5度，即为： 51 423 所以第二天3号轮空，对局为1-5和2-4 （3）依此类推，直到第五天，多边形为 23 145 比赛结束，同理，若比赛人数为8人，多边形则为 12837465 依次顺时针旋转360/8度7次后，即比赛进行7天，即可结束比赛五、算法实现（1）采用分治法实现代码（c语言实现）：/*循环赛日程安排问题-采用分治法*/#include<stdlib.h>#include<stdio.h>int**A;//int*指针数组，int*schedule;//int数组，一维数组保存二维数组的数据intN=1;//问题的规模。初始化时会设定//isodd:判断x是否奇数，是则返回1，否则0intisodd(intx){returnx&1;}//print:打印赛程voidprint(){inti,j,row,col;if(isodd(N)){row=N;col=N+1;}else{row=N;col=N;}printf("第1列是选手编号\n");for(i=0;i<row;i++){for(j=0;j<col;j++){printf("%4d",A[i][j]);}printf("\n");}}/*init：初始化，设立问题规模N值，分派内存，用schedule指向；把A构导致一个二维数组*/voidinit(){inti,n;charline[100]={'\0'};printf("请输入选手人数：");fgets(line,sizeof(line),stdin);N=atoi(line);if(N<=0)exit(-1);if(isodd(N))n=N+1;elsen=N;//schedule是行化的二维数组schedule=(int*)calloc(n*n,sizeof(int));A=(int**)calloc(n,sizeof(int*));if(!schedule||A==NULL)exit(-2);for(i=0;i<n;i++)//把A等价为二维数组{A[i]=schedule+i*n;A[i][0]=i+1;//初始化这个数组的第一列}return;}/*replaceVirtual:把第m号虚的选手去掉（换做0）*/voidreplaceVirtual(intm){inti,j;for(i=0;i<m-1;i++)//行：相应选手号1～m-1{for(j=0;j<=m;j++)//列:比行要多1A[i][j]=(A[i][j]==m)?0:A[i][j];}return;}/*copyeven:m为偶数时用,由前1组的m位选手的安排，来构成第2组m位选手的赛程安排，以及两组之间的比赛安排*/voidcopyeven(intm){if(isodd(m))return;inti,j;for(j=0;j<m;j++)//1.求第2组的安排（+m）{for(i=0;i<m;i++){A[i+m][j]=A[i][j]+m;}}for(j=m;j<2*m;j++)//两组间比赛的安排{for(i=0;i<m;i++)//2.第1组和第2组{A[i][j]=A[i+m][j-m];//把左下角拷贝到右上角}for(i=m;i<2*m;i++)//3.相应的，第2组和第1组{A[i][j]=A[i-m][j-m];//把左上角拷贝到右下角}}return;}/*copyodd:m为奇数时用,由前1组的m位选手的安排，来构成第2组m位选手的赛程安排，以及两组之间的比赛安排。这时和m为偶数时的解决有区别。*/voidcopyodd(intm){inti,j;for(j=0;j<=m;j++)//1.求第2组的安排(前m天){for(i=0;i<m;i++)//行{if(A[i][j]!=0){A[i+m][j]=A[i][j]+m;}else//特殊解决：两个队各有一名选手有空，安排他们比赛{A[i+m][j]=i+1;A[i][j]=i+m+1;}}}/*安排两组选手之间的比赛(后m-1天)*/for(i=0,j=m+1;j<2*m;j++){A[i][j]=j+1;//2.1号选手的后m-1天比赛A[(A[i][j]-1)][j]=i+1;//3.他的对手后m-1天的安排}//以下的取值要依赖于1号选手的安排，所以之前先安排1号的赛程for(i=1;i<m;i++)//第1组的其他选手的后m-1天的安排{for(j=m+1;j<2*m;j++){//2.观测得到的规则一：向下m+1~2*m循环递增A[i][j]=((A[i-1][j]+1)%m==0)?A[i-1][j]+1:m+(A[i-1][j]+1)%m;//3.相应第2组的对手也要做相应的安排A[(A[i][j]-1)][j]=i+1;}}return;}/*makecopy:当前有m位（偶数）选手，提成两组，每组由m/2位选手构成由第一组的m/2位选手的安排来构成第二组的比赛安排，第一组与第二组的比赛安排。要区分m/2为奇数和偶数两种情况*/voidmakecopy(intm){if(isodd(m/2))//m/2为奇数copyodd(m/2);else//m/2为偶数copyeven(m/2);}voidtournament(intm){if(m==1){A[0][0]=1;return;}elseif(isodd(m))//假如m为奇数，则m+1是偶数{tournament(m+1);//按照偶数个选手来求解replaceVirtual(m+1);//然后把第m+1号虚选手置成0return;}else//m是偶数，{tournament(m/2);//则先安排第1组的m/2人比赛makecopy(m);//然后根据算法，构造左下、右下、右上、右下的矩阵}return;}/*endprogram:回收分派的内存*/voidendprogram(){free(schedule);free(A);}intmain(){init();//初始化tournament(N);//求解print();//打印结果endprogram();//回收内存getchar();return0;}多边形法（C语言实现）：/*采用多边形实现法*/#include<stdio.h>#defineN1000inta[N][N];intb[N];inlineboolodd(intn){returnn&1;}voidinit(){inti;for(i=0;i<N;++i)a[i][0]=i;}voidtour(intn){a[n][1]=n;if(n==1)return;intm=odd(n)?n:n-1;inti,j,k,r;for(i=1;i<=m;++i){a[i][1]=i;b[i]=i+1;b[m+i]=i+1;}for(i=1;i<=m;++i){a[1][i+1]=b[i];a[b[i]][i+1]=1;for(j=1;j<=m/2;++j){k=b[i+j];r=b[i+m-j];a[k][i+1]=r;a[r][i+1]=k;}}}voidout(intn){if(n==1){printf("1\n");return;}inti,j;intm;if(odd(n))m=n+1;