一次函数与不等式的关系

例1:用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10解法1:原不等式化为3x-6<0,画出直线y=3x-6(如图)

可以看出,当x<2时这条直线上的点在x轴的下方,即这时y=3x-6<0所以不等式的解集为x<2找分界点解法二：画出函数y=2x+10y=5x+4图象

从图中看出：当x<2时直线y=5x+4在y=2x+10的下方

即5x+4<2x+10∴不等式5x+4<2x+10的解集是x<2找分界线利用图象求不等式6x-3＜x+2的解方法一:将方程变形为ax+b＜0的形式不等式化为5x-5＜0：转化为函数解析式：画图象y=5x-5：方法二:把不等式6x-3＜x+2的两边看成是两个函数:即y１=6x-3,y２=x+2转化为两个函数画出两个函数图象找出交点〔观察x在什么范围时图象y１点在y２点的下方〕0-1yx1xy01-22所以不等式6x-3＜x+2的解是x＜1所以不等式6x-3＜x+2的解是x＜1(观察x在什么范围时图象上的点是在x轴的下方)找分界点找分界线尝试一下例3解法二

例2：函数y1=5x+4，y2=2x+10，利用函数图像求：1、当x为何值时，y1=y2？2、x为何值时，y1<y2？3、你能求出两函数图像与x轴所围成的三角形的面积吗？可以看出，它们交点的横坐标为2，解：画出直线y1=5x+4与直线y2=2x+10，〔1〕、当x=2时，y1=y2。〔2〕、当x＜2时，对于同一个X，直线y1=5x+4上的点都在直线y2=2x+10上相应点的下方，所以：当x＜2时，y1<y2y1=5x+4yx0y2=2X+102x点评：学习数学需要我们善于观察，寻找知识之间的联系。(3)解：如下图：分别求A,B,C三点的坐标:y1=5x+4yx0y2=2X+102A(-5,0)B(-,0)C(2,14)A(-5,0)B(-,0)C(2,14)S△ABC=AB.CD=xx14=及时反响24、如图，直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2交于点〔-2，2〕那么当x____时，y1＜y2，当x____时，y1>y2，当x____时，y1=y2及时反馈3、在交点〔-2，2〕处即x=-2时，y1=y2＞-2<-2=-2解：观察图像：1、在交点〔-2，2〕的右侧，直线y1在直线y2的下方，对于同一个x的值，y1＜y2，所以当x＞-2时y1＜y22、在交点〔-2，2〕的左侧，直线y1在直线y2的上方，对于同一个x的值，y1>y2，所以当x<-2时y1>y2可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方，解法一：化简得3x-6<0，画出直线y=3x-6，即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2例１.用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10yx-620Y=3x-6尝试：解法二：画出函数y=2x+10y=5x+4图象

从图中看出：当x<2时直线y=5x+4在y=2x+10的下方

即5x+4<2x+10∴不等式5x+4<2x+10的解集是x<2Y1=5x+4yx0Y2=2X+102-2当堂检测4、看图象解不等式xoy=5x-32y=3x+17y从图中看出，当x>2时，直线y=5x-3上的点在直线y=3x+1上相应点的上方，即5x-3>3x+1，所以不等式的解集为x>2。

2、如图，直线L1,L2交于一点P，假设y1≥y2，那么〔〕x≥3x≤32≤x≤3x≤41、函数Y=3X+8，当X————————，函数的值等于0。当X————————，函数的值大于0。当X————————，函数的值不大于2。=

≤-2>B做一做3.利用函数图象解不等式：3x－4＜x+2(用两种方法)解法1：化简不等式得2x－6＜0，画出函数y＝2x－6的图象。当x＜3时y＝2x－6＜0，所以不等式的解集为x＜3。解法2：画出函数y＝3x－4和函数y＝x+2的图象，交点横坐标为3。当x＜3时，对于同一个x，直线y＝3x－4上的点在直线y＝x+2上相应点的下方，这表示3x－4＜x+2，所以不等式的解集为x＜

3。yx0-63Y=2x-63yx0y＝x＋2y＝3x－41、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察以下图象可知(如图1-5-2)，当x________时，选用个体车较合算．课后思考我们学校做一批校徽，需要拍照，假设到照相馆拍，每张需要8元；假设学校自己拍，除买摄象机，需120元，每张还需本钱4元，设需要拍X张，到照相馆拍需要Y1元，学校自己拍需要Y2元。1.求Y1和Y2与X的函数关系式2.问拍这批照片到照相馆拍，费用省还是由学校自己拍费用省？请说明理由。拓展延伸解:(1)

Y1＝8x,Y2=4x+120

(2)由图象可知，当x=30时，两家一样，当X>30时，照相馆省钱，当X<30时，学校自己省钱.30yx0Y=4x+120Y=8x2-6xy0用画函数图象的方法解不等式：不等式化为3x-6＜0画出函数y=3x-6的图像这时y=3x-6＜0∴此不等式的解集为x＜2y=3x-65x+4＜2x+10解法一：由图像可以看出：当x＜2时这条直线上的点在x轴的下方，例题解法二：

把5x+4＜2x+10看做两个一次函数y=5x+4和y=2x+10,画出y=5x+4和y=2x+10的图像.10-5y=2x+10y=5x+42它们的交点的横坐标为2.当x＜2时直线y=5x+4上的点都在直线y=2x+10的下方.

x＜2xy0144由图像可知即5x+4＜2x+10∴此不等式的解集为10-5y=2x+10y=5x+42xy0144两种解不等式的方法都是把不等式转化为比较直线上点的位置的上下2-6xy0y=3x-62-6xy0原方程化为3x-6=0画出函数y=3x-6的图像∴此方程的解为x=2y=3x-6解：由图像可以看出：当x=2时，y=0.2.利用函数图象解出x：〔1〕5x-1=2x+5〔2〕6x-4＜3x+2即x=2时，3x-6=0.2-6xy0不等式化为3x-6＜0画出函数y=3x-6的图像这时y=3x-6＜0∴此不等式的解集为x＜2y=3x-6解：由图像可以看出：当x＜2时这条直线上的点在x轴的下方，2.利用函数图象解出x：〔2〕6x-4＜3x+21.假设y1=－x+3，y2=3x+4，当x取何值时，y1＞y2？2.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑.弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，作出函数图象，观察图象答复以下问题：〔1〕何时弟弟跑在哥哥前面？〔2〕何时哥哥跑在弟弟前面？〔3〕谁先跑过20m？谁先跑过100m？随堂练习21、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察以下图象可知(如图1-5-2)，当x________时，选用个体车较合算．2、直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=x+a在同一平面直角坐标系中的图象如下图，那么关于kx+b>x+a的不等式的解为()A、x＞3 B、x＜3 C、x=3 D、无法确定诊断练习例题解析1、y1=-x+3，y2=3x-4，当x为何值时，y1>y2?你是怎样做的?与同伴交流.答案:4、看图象解不等式.xo25y

从图中看出，当x>2时，直线y=3x-1上的点在直线y=x+3上相应点的上方，即3x-1>x+3，所以不等式的解集为x>2。

当堂检测可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方，解法一：化简得3x-6<0，画出直线y=3x-6，即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2例１.解不等式5x+4<2x+10yx-620Y=3x-6尝试：解法二：画出函数和图象。

从图中看出：当x<2时直线y=5x+4在y=2x+10的下方

即5x+4<2x+10∴不等式5x+4<2x+10的解集是x<2yx02-2如图，l1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该产品的销售本钱与销售量之间的关系，当销售收入大于销售本钱时，该产品才开始盈利。〔1〕根据函数图象写出l1、l2的函数解析式。〔2〕试分析该产品的盈亏情况。x/t234567810y/元2000