立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)1

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规那么运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于根本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；ABCABCDEFGPOMNS轨迹问题如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC．那么动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是()PPPPPSCDSCDSCDSCDA． B． C． D．解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，那么动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB∴EG⊥AC∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE．另解：此题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PEAC；C中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF成EQ\f(π,4)角，显然不满足PEAC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为锐角，显然也不满足PEAC．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点表达了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考察了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考察求轨迹的根本方法，是表现最为活泼的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直〞问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．(1)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，那么M满足时，有MN∥平面B1BDD1(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，那么动点P的轨迹是线段B1C(3)正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，那么点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心)(4)正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．AABCDD1C1B1A1PNABCDD1C1B1A1MGEHFABCDD1C1B1A1PABCDD1C1B1A1EFP(1) (2) (3) (4)假设将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合〞改为“在正方体外表上与点A距离为的点的集合〞那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．ABCDD1C1B1A1P(1)(04北京)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，假设PABCDD1C1B1A1PA直线B．圆C．双曲线D．抛物线lABCα变式：假设将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等〞改为“P到直线BC与直线C1D1的距离之比为1：2(或2：1)〞，那么动点P的轨迹所在的曲线是椭圆lABCα(2)(06北京)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，那么动点C的轨迹是(A)A．一条直线 B．一个圆C．一个椭圆 D．双曲线的一支ABCDD1C1B1A1MP解：设l与lABCDD1C1B1A1MP(3)正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M在棱AB上，且AM=EQ\f(1,3)，点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，那么点P的轨迹为抛物线．ABCDD1C1B1A1MN3323(4)正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCDD1C1B1A1MN3323(04重庆)假设三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，那么动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：(D)AABCPABCPABCPABCPA B C D四棱锥P-ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是( )A．圆 B．不完整的圆 C．抛物线 D．抛物线的一局部PABCD分析：∵AD⊥面PAB，PABCD∴AD∥BC且AD⊥PA，CB⊥PB∵∠APD=∠CPB∴tanAPD=tanCPB∴EQ\f(AD,PA)=EQ\f(CB,PB)∴PB=2PA在平面APB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，那么A(-3，0)、B(3，0)，设P(x，y)(y≠0)，那么(x-3)2+y2=4[(x+3)2+y2](y≠0)即(x+5)2+y2=16(y≠0)∴P的轨迹是(B)立体几何中的轨迹问题〔教师版〕1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，那么动点P所在曲线的形状为〔DA．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一局部D．抛物线的一局部简析 此题主要考察点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B1C1面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，那么动点P所在曲线的形状为〔B〕A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一局部D．抛物线的一局部3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，那么动点P所在曲线的形状为〔C〕A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一局部D．抛物线的一局部4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，假设EP总与直线AC成等角，那么点P的轨迹有可能是〔A〕．A．圆或圆的一局部B．抛物线或其一局部C．双曲线或其一局部D．椭圆或其一局部简析 由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一局部．5．正方体的棱长为a，定点M在棱AB上〔但不在端点A，B上〕，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，那么点P的轨迹所在曲线为〔A〕．A．抛物线 B．双曲线C．直线 D．圆简析 在正方体中，过P作PFAD，过F作FEA1D1，垂足分别为F、E，连结PE．那么PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．6．在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有APBD1，那么动点P的轨迹为__________．简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上．而条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C．此题的解题根本思路是：利用升维，化“动〞为“静〞，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PEAC，那么动点P的轨迹为_______________．答案 线段MN〔M、N分别为SC、CD的中点〕8．假设A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C〔不同于A、B〕在内，且PCAC，那么动点C在平面内的轨迹是________．〔除去两点的圆〕9．假设三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，那么动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：〔D〕简析 动点P在侧面ABC内，假设点P到AB的距离等于到棱BC的距离，那么点P在的内角平分线上．现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内．只能选D．10．P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，那么动点P的轨迹所在的曲线是〔B〕．A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．简析 以B为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，长度为．12．长方体中，，在线段BD、上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且，那么M点轨迹图形的面积是．提示 轨迹的图形是一个平行四边形．13．棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析 由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动〞为“静〞，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的局部，所以点P的轨迹与正方体的外表所围成的几何体的体积为球的体积的，即．14．平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，那么在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是〔〕A．一个圆 B．两条平行直线 C．四个点 D．两个点简析：如图，设点P在平面内的射影是O，那么OP是、的公垂线，OP=4．在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上．又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，应选C．16．在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是〔〕A．圆 B．不完整的圆 C．抛物线 D．抛物线的一局部简析：因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且．又，可得，即得在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么A〔-3，0〕、B〔3，0〕．设点P〔x，y〕，那么有，整理得由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B．17．如图，定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点．且，那么动点C在平面内的轨迹是〔〕A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点简析：因为，且PC在内的射影为BC，所以，即．所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，应选B．18．如图，在正方体中，P是侧面内一动点，假设P到直线BC与直线的距离相等，那么动点P的轨迹所在的曲线是〔〕A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线简析：因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，应选D．19．正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，假设点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，那么动点P的轨迹所在的曲线是〔〕A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线简析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系．设P〔x，y〕，作于E、于F，连结EF，易知又作于N，那么．依题意，即，化简得故动点P的轨迹为双曲线，选B．20．如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，假设点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，那么动点P的轨迹是〔〕〔A〕圆〔B〕椭圆〔C〕一条直线〔D〕两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线．21．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体外表相交于．设，，那么函数的图象大致是〔〕AABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．异面直线a，b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，那么，且P也为的中点．由MN=2，AB=4，易知得．那么问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹．现以的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．图6设，，那么消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，那么动点P所在曲线的形状为 〔A．线段 B．一段椭圆弧 C．双曲线的一局部 D．抛物线的一局部2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，那么动点P所在曲线的形状为 〔A．线段 B．一段椭圆弧 C．双曲线的一局部 D．抛物线的一局部3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，那么动点P所在曲线的形状为 〔A．线段 B．一段椭圆弧 C．双曲线的一局部 D．抛物线的一局部4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，假设EP总与直线AC成等角，那么点P的轨迹有可能是 〔〕A．圆或圆的一局部B．抛物线或其一局部C．双曲线或其一局部D．椭圆或其一局部5．正方体的棱长为a，定点M在棱AB上〔但不在端点A，B上〕，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，那么点P的轨迹所在曲线为〔〕A．抛物线 B．双曲线 C．直线 D．圆6．假设三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，那么动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是 〔〕ABCD7．P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，那么动点P的轨迹所在的曲线是 〔〕A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线8．平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，那么在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是 〔〕A．一个圆 B．两条平行直线 C．四个点 D．两个点9．在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是 〔〕A．圆 B．不完整的圆 C．抛物线 D．抛物线的一局部10．如图，定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点．且，那么动点C在平面内的轨迹是〔〕A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．