石家庄市第四十八中学（原二南）2022-2023学年七年级下学期期中数学试题【带答案】

石家庄市第四十八中学2022-2023学年度第二学期期中考试初一数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有下列语句：①两点之间，线段最短；②画两条平行的直线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余.其中是命题的有（）A.①② B.③④ C.②③ D.①④【答案】D【解析】【分析】根据命题的定义分别判断即可．【详解】①两点之间，线段最短，是命题；

②画两条平行的直线，是描述性语言，没有做出判断，不是命题；

③过直线外一点作已知直线的垂线，是描述性语言，没有做出判断，不是命题；

④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余，是命题；综上所述，①④是命题.

故选：D【点睛】考查了命题的定义，解题关键是理解命题的定义（判断一件事情的语句），根据定义判断语句是否做出了判断．2.下列各图中，与互为对顶角的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对顶角的定义进行判断．【详解】解：A、C、D中∠1与∠2不是对顶角，B中∠1与∠2互为对顶角．故选：B．【点睛】本题考查了对顶角．解题的关键是掌握对顶角概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．3.下列计算错误的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】A.根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，可知，由此即可判断；B.根据积的乘方法则：先把积中的每一个乘数分别乘方,再把所得的幂相乘，可知，由此即可判断；C.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知，由此即可判断；D.首先计算，再根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知，由此即可判断．【详解】解：A.，故错误；B.，正确；C.，正确；D.，正确．故选：A．【点睛】本题主要考查的是整式乘除运算，解决此类问题需熟练掌握其运算法则．4.如图所示，，垂足为点，为过点的一条直线，则与的关系一定是（）A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角【答案】B【解析】【分析】由对顶角相等，得，根据垂直的定义求解；【详解】解：如图，，∵，∴.∴与互余．故选：B【点睛】本题考查互余的定义，垂直的定义，对顶角相等；由图形观察到角之间的位置关系是解题的关键．5.如图，在图形到图形的变化过程中，下列述正确的是（）A.先向下平移3个单位，再向右平移3个单位B.先向下平移3个单位，再向左平移3个单位C.先向上平移3个单位，再向左平移3个单位D.先向上平移3个单位，再向右平移3个单位【答案】A【解析】【分析】根据平移性质进行解答．【详解】在图形M到图形N的变化过程中是先向下平移3个单位，再向右平移3个单位．故选A．【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解答本题的关键．6.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（）A.∠B与∠2是同旁内角 B.∠A与∠1是同位角C.∠3与∠A是同旁内角 D.∠3与∠4是内错角【答案】B【解析】【分析】根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．【详解】解：A．∠B与∠2是BC、DE被BD所截而成的同旁内角，故本选项正确；B．∠A与∠1不是同位角，故本选项错误；C．∠3与∠A是AE、DE被AD所截而成的同旁内角，故本选项正确；D．∠3与∠4是AD、CE被ED所截而成的内错角，故本选项正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．7.如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（）A.30° B.60° C.50° D.40°【答案】A【解析】【详解】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．∵∠A=120°，∴∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．故选A．点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．8.下面是芳芳同学计算（a•a2）3的过程：解：（a•a2）3=a3•（a2）3…①=a3•a6…②=a9…③则步骤①②③依据的运算性质分别是（）A.积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法B.幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法C.同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方D.幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方【答案】A【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．【详解】解：（a•a2）3=a3•（a2）3…①=a3•a6…②=a9…③则步骤①②③依据的运算性质分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法．故选A．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.若，则的值为（）A.7 B.6 C.5 D.3【答案】D【解析】【分析】先根据积的乘方的逆用得出，再解一元一次方程即可．【详解】∵，∴，解得，故选：D．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，解一元一次方程，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．10.若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为（）A.2 B.-2 C.4 D.-4【答案】B【解析】【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，进而得出答案.【详解】(x+m)(x+2)=x2+(2+m)x+2m∵x+m与x+2的乘积中不含x的一次项，∴2+m=0，故m=﹣2.故选：B.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，正确去括号计算是解题的关键.11.如图，直线，，下列正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据“同位角相等，两直线平行”，三角形内角和定理作相应判断；【详解】解：A.；∵，∴．∴，∴．原结论错误，本选项不合题意；B.；∵，∴，而，∴．原结论错误，本选项不合题意；C.，∵∴，结论正确，本选项符合题意；D.；无法得证，原结论错误，本选项不合题意；故选：C【点睛】本题考查平行线的判定；熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．12.如图所示，，的度数比的度数的2倍少．设与的度数分别为，，下列方程组中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据AB⊥BC，得，再利用∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少得，即可求出答案．【详解】解：∵AB⊥BC，且∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，∴．故选：B．【点睛】本题考查角之间的关系，二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找出角之间的关系．13.如图，若，．则下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】已知，，可得EF∥CD，根据平行线的性质，即可得到∠3=∠CGE，∠2+∠BGE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠CGE，∴∠3−∠1=∠CGE−∠1=∠BGE，∵AB∥EG，∴∠2+∠BGE=180°即∠2+∠3−∠1=180°故选：A【点睛】本题考查了平行定理，两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；两条直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．14.如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；拼成的长方形的面积：，所以得出：，故选：A．【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．15.在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高是解题的关键．根据三角形的高可进行求解．【详解】解：过点B作线段所在直线的垂线段时，只有第一个图是正确的，其余三个都是错误的作法；故选C．16.如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BCAE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BCAE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（）A.①② B.①③ C.①②④ D.①③④【答案】B【解析】【分析】根据题意得：∠2+∠3=90°，∠2+∠1=90°，可得∠1＝∠3，故①正确；再由∠4=45°，∠2＝30°，可得∠3=60°，从而得到∠3≠∠4，故②错误；由∠1＝∠2＝∠3，可得∠3=45°，从而得到∠4＝∠3，故③正确；根据题意得：∠4=45°，∠E=60°，可得∠4≠∠E，故④错误，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠2+∠3=90°，∠2+∠1=90°，∴∠1＝∠3，故①正确；根据题意得：∠2+∠3=90°，∠4=45°，若∠2＝30°，∴∠3=60°，∴∠3≠∠4，∴BC不平行与AE，故②错误；若∠1＝∠2＝∠3，∴∠3=45°，∴∠4＝∠3，∴BCAE，故③正确；根据题意得：∠4=45°，∠E=60°，∴∠4≠∠E，故④错误；∴正确的有①③．故选：B【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角板中角度计算问题，熟练掌握一副三角板中各个内角的度数，平行线的判定定理是解题的关键．二、填空题（17-18题每空2分，19题3分，共9分）17.计算：________；________．【答案】①.9②.1【解析】【分析】分别根据负整数指数幂和零指数幂进行计算即可．【详解】，，故答案为：9，1．【点睛】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．18.一长方体的长、宽、高分别是，，，它的体积等于________（写最简结果）．【答案】##【解析】【分析】直接根据长方体的体积公式，即长、宽、高的乘积，列式并计算即可．详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了整式乘法的应用，准确理解题意，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．19.如图，已知直线，把的直角三角板的直角顶点放在直线上.将直角三角板在平面内绕点任意转动，若转动的过程中，直线与直线的夹角为60°，则的度数为___.【答案】30°，90°，150°.【解析】【分析】根据题意，画出图形，分三种情况求∠NAC的度数即可.【详解】第一种情况，如图，直线与直线的夹角为60°，由题意可得，∠ABC=∠BDQ=60°，再由可得AB与MN重合，由此可得∠NAC=90°；第二种情况，如图，直线与直线的夹角为60°，由题意可得，∠ABC=∠CDQ=60°，再由可得，∠AEB=∠CDQ=60°，∴∠ABC=∠AEB=60°，∴∠BAE=60°，由此可得∠NAC=30°；第三种情况，如图，直线与直线的夹角为60°，由题意可得，∠ABC=∠BDQ=60°，再由可得，∠AEB=∠BDQ=60°，∴∠ABC=∠AEB=60°，∴∠BAE=60°，∴∠EAC=∠CAB-∠BAE=90°-60°=30°，∴∠NAC=180°-∠EAC=180°-30°=150°；综上，∠NAC的度数为：30°或90°或150°.故答案为30°或90°或150°.【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理等知识点，解决本题时要注意分三种情况，不要漏解.三、解答题（共59分）20.计算：（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用积的乘方和幂的乘方法则计算，再算单项式乘以单项式以及单项式除以单项式；（2）先算单项式乘以单项式，再合并同类项即可；（3）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式；【小问3详解】解：原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．21.小明同学解方程组：的过程如下，你认为他的解法是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程．解：，得，得，;把代入①，得：，所以这个方程组的解是．【答案】不对，正确过程见解析【解析】【分析】根据加减消元法解方程组进行判断即可．【详解】解：不对，正确解答过程如下：由，得：，得：，解得，将代入①得：，所以原方程组解为：．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．22.如果有两个正整数，则这两个正整数满足下面两个结论：结论（一）两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数；结论（二）结论（一）中这个偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．如两个正整数为2和1，满足，10为偶数．故2和1满足结论（一）．（1）请你把10的一半表示为两个正整数的平方和；（2）请借助正整数，论证上面两个结论正确．【答案】（1）10的一半可以写成1和2的平方和（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意进行表示即可；（2）根据完全平方公式的变形进行证明即可．【小问1详解】∵，，∴10的一半可以写成1和2的平方和；小问2详解】，故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半，即是正整数和的平方和．【点睛】本题考查了新定义计算及完全平方公式，准确理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．23.张老师在黑板上布置了一道题：计算：2(x+1)2﹣(4x﹣5)，求当x＝和x＝﹣时的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说的对？并说明理由．【答案】小亮说的对,理由见解析【解析】【分析】先根据完全平方公式和去括号法则计算，再合并同类项，最后代入计算即可求解．【详解】2（x+1）2﹣（4x﹣5）=2x2+4x+2﹣4x+5，=2x2+7，当x=时，原式=+7=7；当x=﹣时，原式=+7=7．故小亮说的对．【点睛】本题考查完全平方公式和去括号，解题的关键是明确完全平方公式和去括号的计算方法．24.上海迪士尼乐园成人门票为370元/人，儿童门票为280元/人，张明和家人（有成人和儿童）一同去该乐园游玩．若张明和家人一共去了8人，且需支付门票2780元．（1）求张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人的人数；（2）若张明和家人去上海迪士尼乐园的当天，正好有个优惠活动，每位儿童的门票可以优惠20元，求他们共需支付的门票的费用．【答案】（1）张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有6人（2）他们共需支付的门票的费用是2740元【解析】【分析】（1）设张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有人，儿童有人，根据张明和家人一共去了8人，且需支付门票2780元列二元一次方程组，求解即可；（2）根据成人门票为370元/人，儿童门票为280元/人，且每位儿童的门票可以优惠20元，列式求解即可．【小问1详解】设张明和家人去上海迪士尼乐园游玩成人有人，儿童有人，根据题意，得，解得答：张明和家人去上海迪士尼乐园游玩的成人有6人；【小问2详解】（元），答：他们共需支付的门票的费用是2740元．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，有理数混合运算的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．25.【问题解决】如图①，，点是，内部一点，连接，．若，，求的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点作（________________），（已知）（_______