同济第六版《高等数学》教学案-第09章重积分

...wd......wd......wd...第九章重积分教学目的：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。掌握二重积分的〔直角坐标、极坐标〕计算方法。掌握计算三重积分的〔直角坐标、柱面坐标、球面坐标〕计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量〔平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等〕。教学重点：二重积分的计算〔直角坐标、极坐标〕；三重积分的〔直角坐标、柱面坐标、球面坐标〕计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：利用极坐标计算二重积分；利用球坐标计算三重积分；物理应用中的引力问题。§91二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1曲顶柱体的体积设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf(xy)这里f(xy)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论若何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把D分成n个小区域12n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(ii)以f(ii)为高而底为i的平顶柱体的体积为f(ii)i(i12n)这个平顶柱体体积之和可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的准确值将分割加密只需取极限即其中是个小区域的直径中的最大值2平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为(xy)这里(xy)0且在D上连续现在要计算该薄片的质量M用一组曲线网把D分成n个小区域12n把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量(ii)i各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值将分割加细取极限得到平面薄片的质量其中是个小区域的直径中的最大值定义设f(xy)是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域12n其中i表示第i个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点(ii)作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在闭区域D上的二重积分记作即f(xy)被积函数f(xy)d被积表达式d面积元素xy积分变量D积分区域积分和直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i的边长为xi和yi则ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d记作dxdy而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性当f(xy)在闭区域D上连续时积分和的极限是存在的也就是说函数f(xy)在D上的二重积分必定存在我们总假定函数f(xy)在闭区域D上连续所以f(xy)在D上的二重积分都是存在的二重积分的几何意义如果f(xy)0被积函数f(xy)可解释为曲顶柱体的在点(xy)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f(xy)是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的二二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个局部闭区域则在D上的二重积分等于在各局部闭区域上的二重积分的和例如D分为两个闭区域D1与D2则性质3(为D的面积)性质4如果在D上f(xy)g(xy)则有不等式特殊地有性质5设M、m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值为D的面积则有性质6(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭区域D上连续为D的面积则在D上至少存在一点()使得§92二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X型区域D1(x)y2(x)axbY型区域D1(x)y2(x)cyd混合型区域设f(xy)0D{(xy)|1(x)y2(x)axb}此时二重积分在几何上表示以曲面zf(xy)为顶以区域D为底的曲顶柱体的体积对于x0[ab]曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0)2(x0)]为底、以曲线zf(x0y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为根据平行截面面积为的立体体积的方法得曲顶柱体体积为即V可记为类似地如果区域D为Y型区域D1(x)y2(x)cyd则有例1计算其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域解画出区域D方法一可把D看成是X型区域1x21yx于是注积分还可以写成解法2也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是例2计算其中D是由直线y1、x1及yx所围成的闭区域解画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是也可D看成是Y型区域：1y11x<y于是例3计算其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域解积分区域可以表示为DD1+D2其中于是积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是讨论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y22及x2z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限局部的体积V1然后再乘以8就行了第一卦限局部是以D{(xy)|0y,0x}为底以顶的曲顶柱体于是二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示对比方便且被积函数用极坐标变量、表达对比简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分按二重积分的定义下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域小闭区域的面积为其中表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取点设其直角坐标为(ii)则有于是即假设积分区域可表示为1()2()则讨论若何确定积分限?例5计算其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域解在极坐标系中闭区域D可表示为0a02于是注此处积分也常写成利用计算广义积分设D1{(xy)|x2y2R2x0y0}D2{(xy)|x2y22R2x0y0}S{(xy)|0xR0yR}显然D1SD2由于从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式因为又应用上面已得的结果有于是上面的不等式可写成令R上式两端趋于同一极限从而例6求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的〔含在圆柱面内的局部〕立体的体积解由对称性立体体积为第一卦限局部的四倍其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域在极坐标系中D可表示为02acos于是§93三重积分一、三重积分的概念定义设f(xyz)是空间有界闭区域上的有界函数将任意分成n个小闭区域v1v2vn其中vi表示第i个小闭区域也表示它的体积在每个vi上任取一点(iii)作乘积f(iii)vi(i12n)并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分记作即三重积分中的有关术语——积分号f(xyz)——被积函数f(xyz)dv——被积表达式dv体积元素xyz——积分变量——积分区域在直角坐标系中如果用平行于坐标面的平面来划分则vixiyizi因此也把体积元素记为dvdxdydz三重积分记作当函数f(xyz)在闭区域上连续时极限是存在的因此f(xyz)在上的三重积分是存在的以后也总假定f(xyz)在闭区域上是连续的三重积分的性质与二重积分类似比方其中V为区域的体积二、三重积分的计算1利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算三重积分也可化为三次积分来计算设空间闭区域可表为z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb则即其中D:y1(x)yy2(x)axb它是闭区域在xOy面上的投影区域提示设空间闭区域可表为z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb计算基本思想对于平面区域Dy1(x)yy2(x)axb内任意一点(xy)将f(xyz)只看作z的函数在区间[z1(xy)z2(xy)]上对z积分得到一个二元函数F(xy)然后计算F(xy)在闭区域D上的二重积分这就完成了f(xyz)在空间闭区域上的三重积分则即其中D:y1(x)yy2(x)axb它是闭区域在xOy面上的投影区域例1计算三重积分其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域解作图区域可表示为:0z1x2y0x1于是讨论其它类型区域呢?有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域{(xyz)|(xy)Dzc1zc2}其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则有例2计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域解空间区域可表为:czc于是练习1将三重积分化为三次积分其中(1)是由曲面z1x2y2z0所围成的闭区域(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10z0所围成的闭区域(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域2将三重积分化为先进展二重积分再进展定积分的形式其中由曲面z1x2y2z0所围成的闭区域2利用柱面坐标计算三重积分设M(xyz)为空间内一点并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P()则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标这里规定、、z的变化范围为0<02<z<坐标面00zz0的意义点M的直角坐标与柱面坐标的关系xcosysinzz柱面坐标系中的体积元素dvdddz简单来说dxdydddxdydzdxdydzdddz柱面坐标系中的三重积分例3利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域解闭区域可表示为2z40202于是3利用球面坐标计算三重积分设M(xyz)为空间内一点则点M也可用这样三个有次序的数r、、来确定其中r为原点O与点M间的距离为与z轴正向所夹的角为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角这里P为点M在xOy面上的投影这样的三个数r、、叫做点M的球面坐标这里r、、的变化范围为0r<0<02坐标面rr000的意义点的直角坐标与球面坐标的关系xrsincosyrsinsinzrcos球面坐标系中的体积元素dvr2sindrdd球面坐标系中的三重积分例4求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积解该立体所占区域可表示为0r2acos002于是所求立体的体积为提示球面的方程为x2y2(za)2a2即x2y2z22az在球面坐标下此球面的方程为r22arcos即r2acos§94重积分的应用元素法的推广有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理这种元素法也可推广到二重积分的应用中如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说当闭区域D分成许多小闭区域时所求量U相应地分成许多局部量且U等于局部量之和)并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时相应的局部量可近似地表示为f(xy)d的形式其中(xy)在d内则称f(xy)d为所求量U的元素记为dU以它为被积表达式在闭区域D上积分这就是所求量的积分表达式一、曲面的面积设曲面S由方程zf(xy)给出D为曲面S在xOy面上的投影区域函数f(xy)在D上具有连续偏导数fx(xy)和fy(xy)现求曲面的面积A在区域D内任取一点P(xy)并在区域D内取一包含点P(xy)的小闭区域d其面积也记为d在曲面S上点M(xyf(xy))处做曲面S的切平面T再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值记为dA又设切平面T的法向量与z轴所成的角为则这就是曲面S的面积元素于是曲面S的面积为或设dA为曲面S上点M处的面积元素dA在xOy面上的投影为小闭区域dM在xOy面上的投影为点P(xy)因为曲面上点M处的法向量为n(fxfy1)所以提示dA与xOy面的夹角为(n^k)dAcos(n^k)dnk|n|cos(n^k)1cos(n^k)|n|1讨论假设曲面方程为xg(yz)或yh(zx)则曲面的面积若何求或其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域Dzx是曲面在zOx面上的投影区域例1求半径为R的球的外表积解上半球面方程为x2y2R2因为z对x和对y的偏导数在Dx2y2R2上无界所以上半球面面积不能直接求出因此先求在区域D1x2y2a2(aR)上的局部球面面积然后取极限于是上半球面面积为整个球面面积为A2A14R2提示解球面的面积A为上半球面面积的两倍上半球面的方程为而所以例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星距地面的高度为h36000km运行的角速度与地球自转的角速度一样试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球外表积的比值(地球半径R6400km)解取地心为坐标原点地心到通讯卫星中心的连线为z轴建设坐标系通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的局部的方程为x2y2R2sin2于是通讯卫星的覆盖面积为其中Dxy{(xy)|x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影区域利用极坐标得由于代入上式得由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球外表积之比为由以上结果可知卫星覆盖了全球三分之一以上的面积故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部外表二、质心设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D在点P(xy)处的面密度为(xy)假定(xy)在D上连续现在要求该薄片的质心坐标在闭区域D上任取一点P(xy)及包含点P(xy)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为dMxy(xy)ddMyx(xy)d平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为设平面薄片的质心坐标为平面薄片的质量为M则有于是在闭区域D上任取包含点P(xy)小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为dMxy(xy)ddMyx(xy)d平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为设平面薄片的质心坐标为平面薄片的质量为M则有于是提示将P(xy)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域D上任取一点P(xy)及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为讨论如果平面薄片是均匀的即面密度是常数则平面薄片的质心(称为形心)若何求求平面图形的形心公式为例3求位于两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心解因为闭区域D对称于y轴所以质心必位于y轴上于是因为所以所求形心是类似地占有空间闭区域、在点(xyz)处的密度为(xyz)(假宽(xyz)在上连续)的物体的质心坐标是其中例4求均匀半球体的质心解取半球体的对称轴为z轴原点取在球心上又设球半径为a则半球体所占空间闭区可表示为{(xyz)|x2y2z2a2z0}显然质心在z轴上故故质心为提示0ra02三、转动惯量设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D在点P(xy)处的面密度为(xy)假定(xy)在D上连续现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量在闭区域D上任取一点P(xy)及包含点P(xy)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为dIxy2(xy)ddIyx2(xy)d整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转