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文档简介

1/1原子公式在量化推理中的应用第一部分原子公式的定义与组成 2第二部分量化推理的概述与特点 4第三部分原子公式在量化推理中的作用 5第四部分普遍量词和存在量词的引入 8第五部分原子公式的标准形与量词域 11第六部分原子公式在谓词逻辑推理中的应用 13第七部分原子公式在归纳推理中的应用 16第八部分原子公式在演绎推理中的作用 18

第一部分原子公式的定义与组成原子公式的定义

原子公式是谓词逻辑中最为基本的命题形式,是无法再进一步分解的命题单位。它由以下元素组成:

*谓词符号:表示一个属性或关系,如“是人”、“大于”。

*项符号:表示个体、常量或变量,如“约翰”、“5”、“x”。

原子公式的组成

原子公式的具体形式取决于谓词符号的元数(即它所需要的项符号数量):

*一元谓词:仅需要一个项符号,如“是人(约翰)”。

*二元谓词:需要两个项符号,如“大于(5,x)”。

*三元谓词:需要三个项符号,通常用于表示关系,如“在(约翰,桌子,上面)”。

原子公式的语法结构

原子公式的语法结构遵循以下模式:

```

P(t₁,t₂,...,tₙ)

```

其中:

*P是谓词符号

*t₁,t₂,...,tₙ是项符号

原子公式的真值

原子公式的真值取决于谓词符号的语义解释和项符号所指的具体个体:

*如果谓词符号的解释为真,且项符号所指的个体满足该谓词,则原子公式为真。

*如果谓词符号的解释为假,或项符号所指的个体不满足该谓词,则原子公式为假。

原子公式的范例

以下是一些原子公式的范例:

*一元谓词:

*是人(约翰)

*是奇数(21)

*二元谓词:

*大于(5,x)

*相等(约翰,玛丽)

*三元谓词:

*在(约翰,桌子,上面)

*给予(玛丽,约翰,礼物)

原子公式的意义

原子公式是量化推理中最基本的组成部分。通过组合和连接原子公式,可以构建出更复杂的命题,表达更精细的思想和概念。原子公式为量化推理提供了坚实的基础,使其能够对现实世界进行形式化描述和推理。第二部分量化推理的概述与特点量化推理的概述与特点

量化推理是逻辑学的一个分支,它研究量词的使用和推理形式。量词是逻辑符号,表示量化或普遍性。在量化推理中,量词用于指定某一陈述对某个范围内的所有对象或某些对象是否成立。

量化推理的特点包括:

涉及量词:量词是量化推理的关键组成部分。它们表示对一个域内对象的量化或普遍性。最常用的量词是全称量词(∀),表示对一个域内所有对象,以及存在量词(∃),表示对一个域内至少一个对象。

域:量化推理中,量词施加于特定的域或对象集合。域的大小和组成对于推理的有效性至关重要。

陈述:量化推理涉及对某个陈述或命题进行量化。陈述可以是简单的原子命题,也可以是更复杂的复合命题。

有效性:量化推理的有效性取决于量词的正确使用和量化的域。如果推理从真实的前提得出真实结论,则该推理是有效的。

量化规则:量化推理遵循特定的规则,这些规则指导如何对量词进行操作和推理。这些规则包括:

*量词置换规则:量词可以从一个域置换到另一个域,只要不改变量化的范围。

*量词分配规则:全称量词可以分配到合取和析取命题中,而存在量词只能分配到析取命题中。

*量词消去规则:当一个量词出现在推理的结论中时,它可以从前提中消去。

类型:量化推理可以分为两種類型:

*普遍量化推理:涉及使用全称量词,对一个域内所有对象进行量化。

*存在量化推理:涉及使用存在量词,对一个域内至少一个对象进行量化。

应用:量化推理在许多学科中都有应用,包括数学、计算机科学、哲学和自然语言处理。它用于形式化推理、证明定理、解决问题和对自然语言文本进行推理。

例子:

*普遍量化推理:对于所有自然数n,n的平方大于或等于n。

*存在量化推理:存在一个质数,它大于100。

量化推理是逻辑推理的一个强大而重要的工具,它使我们能够对复杂陈述进行推理,并对一个域内对象的性质和关系做出结论。第三部分原子公式在量化推理中的作用关键词关键要点【量化符的作用】

-量化符表示变量取值范围,可以是全称量化(∀)或存在量化(∃)。

-全称量化表示变量取遍整个定义域,满足某个条件的元素个数为0。

-存在量化表示变量取遍整个定义域,满足某个条件的元素个数至少为1。

【原子公式的类型】

原子公式在量化推理中的作用

引言

在量化推理中,原子公式占据着至关重要的地位,它们是量化命题的基础,在推理和证明过程中扮演着不可或缺的角色。本文将深入探讨原子公式在量化推理中的作用,从定义、类型、性质和应用等方面进行全面的阐述。

一、原子公式的定义及其类型

原子公式是最基本的量化命题,它由谓词符号、项和量词组成。谓词符号表示一个关系或性质,项表示该关系或性质作用的对象。

1.一元谓词原子公式

一元谓词原子公式由一个一元谓词符号和一个项构成,表示项是否满足该谓词所描述的性质或关系。例如:

*Tall(Bob):表示鲍勃很高。

2.多元谓词原子公式

多元谓词原子公式由一个多元谓词符号和多个项构成,表示多个项之间的关系或性质。例如:

*Friend(Alice,Bob):表示爱丽丝和鲍勃是朋友。

3.复合原子公式

复合原子公式是通过逻辑连接词(如非、或、且等)连接多个原子公式而成的。例如:

*Tall(Bob)∨Friend(Alice,Bob):表示鲍勃很高或爱丽丝和鲍勃是朋友。

二、原子公式的性质

原子公式具有以下重要性质:

*真值:原子公式可以取真或假的值,具体取决于项是否满足谓词所描述的性质或关系。

*独立性:原子公式之间是相互独立的,一个原子公式的真假不会影响其他原子公式的真假。

*确定性:对于给定的项,原子公式的真假是确定的,不会因为推理的上下文而改变。

三、原子公式在量化推理中的作用

原子公式在量化推理中有着广泛的应用,主要体现在以下方面:

1.量化命题的基础

量化命题是包含量词(如全称量词∀和存在量词∃)的命题。原子公式是量化命题的基本组成部分,量化命题的真假通常是由原子公式的真假决定的。例如:

*∀xTall(x):表示所有人都是高的。

2.推理规则的应用

在量化推理中,原子公式可以作为推理规则的应用前提或结论。例如:

*modusponens规则:如果P→Q且P为真,则Q为真。

*全称例示规则:如果∀xP(x),则P(a)为真(其中a为任意常数)。

3.证明的组成部分

在量化推理的证明过程中,原子公式是重要的组成部分。通过分解复杂命题为原子公式,可以简化推理过程并避免谬误。

4.模型论中的解释

在模型论中,原子公式用于解释一阶逻辑公式在一个特定模型中的真假值。通过对原子公式的赋值,可以确定整个公式的真假值。

5.计算机科学中的应用

在计算机科学中,原子公式被广泛用于逻辑编程和知识表示。原子公式可以表达事实和规则,通过推理引擎对原子公式进行推导,可以从给定的知识库中获得新的结论。

结语

原子公式在量化推理中扮演着关键角色。它们是量化命题的基础,为推理规则的应用、证明的组成和模型论中的解释提供了基础。在计算机科学等领域,原子公式也具有广泛的应用。深入理解原子公式及其作用对于量化推理和逻辑推理至关重要。第四部分普遍量词和存在量词的引入关键词关键要点普遍量词的引入

1.普遍量词符号“∀”表示“对于所有”。它用于表示一个命题对一个特定域中的所有元素都成立。

2.语法结构:∀xP(x),其中x是一个变量,P(x)是一个命题。

3.推理规则:从∀xP(x)可以推出P(a),其中a是域中的任意元素。

存在量词的引入

普遍量词和存在量词的引入

在量化推理中,普遍量词和存在量词是两个至关重要的符号,它们允许我们在符号逻辑中表达关于所有或至少一个对象的命题。

普遍量词

普遍量词,符号为∀(倒置的A),表示一个命题适用于所有满足特定条件的对象。它读作“对于所有”。例如:

*∀x(Px)

表示“对于所有x,x具有P属性”。

存在量词

存在量词,符号为∃(倒立的E),表示一个命题至少适用于一个满足特定条件的对象。它读作“存在”。例如:

*∃x(Px)

表示“存在x,x具有P属性”。

引入普遍量词和存在量词的动机

引入普遍量词和存在量词的动机是表达关于所有或至少一个对象的命题,这些命题在古典逻辑中无法表达。例如:

*“所有的人都具有死亡性”无法用古典逻辑来表达,因为这要求我们考虑所有的人。

*“至少有一只狗是黑的”无法用古典逻辑来表达,因为这要求我们考虑至少一只狗。

量词的范围

量词的作用范围由其作用域内的变量决定。量词的作用域由圆括号表示。例如,在表达式∀x(Px)中,x的作用域是圆括号内的命题Px。这意味着量词∀仅适用于x的作用域内的对象。

量词的优先级

量词在符号逻辑中的优先级非常高。它总是具有比命题连接符(如合取、析取、蕴含)更高的优先级。例如:

*∀x(Px→Qx)表示“对于所有x,如果x具有P属性,那么x具有Q属性”。

*∃x(Px∧Qx)表示“存在x,x同时具有P属性和Q属性”。

量词的规则

量化推理中使用量词遵循以下规则:

*普遍量词消去规则:如果∀x(Px),则我们可以得出Px(前提:x是任意对象)。

*存在量词消去规则:如果∃x(Px),我们可以得出Pa(前提:a是一个满足条件的对象)。

*普遍量词引入规则:如果Px对所有x都成立,我们可以得出∀x(Px)。

*存在量词引入规则:如果Pa对某个a成立,我们可以得出∃x(Px)。

量化推理中的应用

普遍量词和存在量词在量化推理中广泛应用,用于证明定理、解决问题和形式化论点。以下是一些示例:

*定理证明:通过使用普遍量词消去规则和存在量词消去规则,我们可以从假设推导出结论。

*问题解决:通过使用量词引入规则,我们可以将问题转换为等价的量化形式,从而更容易解决。

*论点形式化:通过使用量词,我们可以形式化论点,展示其结构和有效性。

结论

普遍量词和存在量词是量化推理中的基本符号,允许我们表达关于所有或至少一个对象的命题。通过使用量词,我们可以进行更复杂、更细致的推理。第五部分原子公式的标准形与量词域关键词关键要点【原子公式的标准形】

1.原子公式的标准形由谓词符号、项和变量组成,谓词符号表示关系或属性,项和变量表示对象。

2.原子公式中,项可以是常量、变量或函数项,而变量必须在量词域中声明。

3.原子公式必须满足项的类型和一致性规则,即项的类型必须与谓词符号要求的类型一致。

【量词域】

原子公式的标准形

原子公式的标准形是将原子公式表示为基本谓词符号与论域元素相连而成的形式。具体来说,每个原子公式都由三个部分组成:

*谓词符号:表示原子公式中涉及的关系或属性。

*论域元素:是谓词符号作用的对象。

*连接符号:将谓词符号和论域元素连接在一起。

原子公式的标准形可以分为两种:

*谓词逻辑中的标准形:表示为P(x1,x2,...,xn),其中P是谓词符号,x1、x2、...、xn是论域元素。

*一阶逻辑中的标准形:表示为P(t1,t2,...,tn),其中P是谓词符号,t1、t2、...、tn是项。

量词域

量词域是量词作用的对象集合。在量化推理中,量词域通常是某个特定论域的子集。例如,在谓词逻辑中,量词域通常是论域中的个体集合;在一阶逻辑中,量词域可以是论域中的个体集合、元组集合或其他集合。

量词域的确定对于量化推理至关重要。它决定了量词作用的范围,并影响量化推理的正确性。

#量词域的分类

量词域可以根据其大小和性质进行分类:

*有限域:元素有限的量词域。

*无限域:元素无限的量词域。

*可数域:元素可以一一对应于自然数的量词域。

*不可数域:元素不能一一对应于自然数的量词域。

#量词域的确定方法

量词域的确定方法有多种,常见的方法包括:

*显式指定:在量化公式中明确指定量词域。

*隐式限定:通过谓词符号的语义来隐式限定量词域。

*约定俗成:根据惯例或约定来确定量词域。

#量词域变换

在量化推理中,有时需要对量词域进行变换。常见的变换方法包括:

*扩展量词域:将量词域扩大为一个更大的集合。

*缩减量词域:将量词域缩小为一个更小的集合。

*替换量词域:用一个新的量词域替换原有的量词域。

#量词域变换的规则

量词域变换必须遵循一定的规则,以保证量化推理的正确性。这些规则包括:

*量词域扩展规则:扩展量词域不能改变量化公式的真值。

*量词域缩减规则:缩减量词域可能改变量化公式的真值,需要满足一定的条件。

*量词域替换规则:替换量词域后,量化公式的真值保持不变,条件是新旧量词域之间存在一一对应关系。第六部分原子公式在谓词逻辑推理中的应用关键词关键要点【原子公式在量化推理中的应用】

主题名称:原子公式的引入

1.原子公式是谓词逻辑中构造其他公式的基础,只包含谓词、项和逻辑连接词。

2.谓词表示属性或关系,项表示对象,逻辑连接词表示逻辑关系。

3.原子公式可以表示简单的命题,例如“x是人”或“y>3”。

主题名称:量词的应用

原子公式在谓词逻辑推理中的应用

引言

原子公式是谓词逻辑中的基本构造元素,它表示一个关于单个实体或一组实体的简单属性或关系。在量化推理中,原子公式是构建更复杂公式和进行推理的基础。本文将深入探讨原子公式在谓词逻辑推理中的应用。

原子公式的结构

一个原子公式由一个谓词符号和一个或多个项组成。谓词符号表示一个属性或关系,而项表示实体或对象的名称。原子公式的结构可以表示为P(t1,t2,...,tn),其中:

*P是谓词符号

*t1,t2,...,tn是项

一阶谓词公式

一阶谓词公式是使用原子公式、连接词(如析取、合取)和量词(如全称量词、存在量词)构建的更复杂公式。一阶谓词公式的类型包括:

*量化公式:使用量词对变量进行量化的公式,如∀x.P(x)或∃x.P(x)

*布尔公式:使用连接词将原子公式组合起来的公式,如P(x)∨Q(x)或P(x)∧Q(x)

推理规则

在谓词逻辑推理中,有以下重要的推理规则:

*普遍例化规则:从∀x.P(x)可以推出P(t)

*存在实例化规则:从∃x.P(x)可以推出P(t)

*析取三段论规则:从P(x)∨Q(x)和¬P(x)可以推出Q(x)

*合取三段论规则:从P(x)∧Q(x)可以推出P(x)和Q(x)

推理过程

使用原子公式和推理规则可以在谓词逻辑中进行推理。一般推理过程包括以下步骤:

1.将问题表示为谓词公式:将给定的问题或假设转换为一阶谓词公式。

2.应用推理规则:使用推理规则从已知公式推导出新公式。

3.重复步骤2:继续应用推理规则,直到推导出所需的结论或证明矛盾。

例证

考虑以下论证:

*所有学生都是人。

*小明是学生。

*因此,小明是人。

该论证可以表示为以下谓词公式:

*∀x.Student(x)→Human(x)

*Student(John)

要证明该结论,我们可以应用以下推理步骤:

1.使用普遍例化规则,从∀x.Student(x)→Human(x)推导出Student(John)→Human(John)。

2.使用三段论规则,从Student(John)和Student(John)→Human(John)推导出Human(John)。

因此,我们成功地证明了结论。

结论

原子公式是谓词逻辑推理中的基本要素,它们与推理规则一起构成了一套强大的工具,用于在形式化系统中进行推理和证明。通过了解原子公式的结构、类型和推理规则,我们可以有效地进行谓词逻辑推理,并解决各种逻辑问题。第七部分原子公式在归纳推理中的应用原子公式在归纳推理中的应用

在归纳推理中,原子公式指的是由谓词、常量和变量组成的命题,其真值不依赖于量词的约束。它在归纳推理中发挥着至关重要的作用。

1.归纳基础:观察和假设

归纳推理始于对一系列具体实例的观察,这些实例转化为原子公式。例如,观察到金子不生锈,可以转化为原子公式:

```

∀x(金(x)→¬生锈(x))

```

这些原子公式构成了归纳假设的基础,为进一步的推理提供了证据。

2.归纳规则:从特定到一般

归纳规则是一种推理规则,它允许从有限的原子公式推导出普遍定律。最常见的归纳规则是:

```

P(a1)∧P(a2)∧...∧P(an)→∀xP(x)

```

其中,a1、a2、...、an是特定的实例。该规则将特定实例的真值推广到所有可能的实例。

3.范例:科学归纳

科学归纳是归纳推理最著名的应用之一。它通过观察一系列事件,建立普遍性定律和理论。例如,牛顿的万有引力定律是通过观察众多物体之间的引力作用而归纳得出的。

4.因果关系:识别原因和结果

原子公式可以用来识别因果关系。通过观察一系列事件的原子公式,我们可以确定哪些事件是原因,哪些是结果。例如,观察到在吸烟后出现肺癌,可以转化为原子公式:

```

∀x(吸烟(x)→LungCancer(x))

```

这个原子公式表明,吸烟是肺癌的一个可能原因。

5.统计推断:从样本到总体

归纳推理也可以用来从样本中推断总体的特征。例如,从一组随机样本中计算的均值可以用来估计总体均值。此推断基于以下原则:

```

P(S)→P(T)

```

其中,S是样本,T是总体。此原则假设样本的性质与总体一致。

6.优点

*简单性:原子公式易于理解和操作。

*普遍性:原子公式可以应用于广泛的推理任务。

*可验证性:原子公式的真值可以通过观察或实验来验证。

7.缺点

*有限性:归纳推理不能保证推论的绝对正确性。

*偏见:观察可能存在偏差,导致错误的归纳。

*例外:归纳定律可能存在例外情况。

结论

原子公式在归纳推理中起着至关重要的作用。它们提供观察和假设的基础,促进归纳规则的应用,并允许识别因果关系和进行统计推断。虽然归纳推理有其优点,但它也存在局限性,包括有限性、偏见和例外。第八部分原子公式在演绎推理中的作用原子公式在演绎推理中的作用

引言

原子公式是量化推理中的基本构成要素,在演绎推理中发挥着至关重要的作用。它们为推理提供了基本的命题内容,并通过逻辑连接符的组合形成更复杂的逻辑表达式。

一、概念与定义

原子公式是一个未经量化或逻辑连接的命题表达式。它由一个谓词符号及其对应的项构成,表示一个关于世界的事实陈述。例如,"Socratesisaman"是一个原子公式,其中"Socrates"是项,"isaman"是谓词。

二、原子公式在演绎推理中的作用

原子公式在演绎推理中扮演着以下几个主要角色:

1.作为推理前提和结论

原子公式可以作为演绎推理的前提或结论。它们提供推理的基础事实,并通过逻辑规则推导出新的结论。例如,在以下推理中:

*前提:Socratesisaman.

*前提:Allmenaremortal.

*结论:Therefore,Socratesismortal.

原子公式"Socratesisaman"和"Allmenaremortal"分别作为前提,而"Socratesismortal"则作为结论。

2.作为逻辑连接符的作用域

原子公式是逻辑连接符的作用域。连接符将原子公式连接成复合逻辑表达式,形成更复杂的陈述。例如,连接符"and"将原子公式"Socratesisaman"和"Socratesiswise"连接成复合命题"SocratesisamanandSocratesiswise"。

3.作为推理规则的依据

原子公式作为基本命题元素,为推理规则提供了基础。例如,三段论推理规则要求前提和结论都包含相同项,并且这两个项在前提中与同一个谓词相连。此规则以原子公式的结构和关系为基础。

4.限制推理的有效性

原子公式的内容直接影响演绎推理的有效性。推理的前提和结论中的原子公式必须在语义上保持一致,才能得出有效的结论。例如,如果前提中原子公式包含错误或矛盾的信息,则推理将无效。

三、原子公式的分类

原子公式可以根据其谓词的类型进行分类:

1.一元谓词公式

包含一个一元谓词的公式。例如:"Socratesiswise"。

2.二元谓词公式

包含一个二元谓词的公式。例如:"JohnlovesMary"。

3.三元谓词公式

包含一个三元谓词的公式。例如:"JohngaveMaryabook"。

四、原子公式的推理原则

在演绎推理中,原子公式遵循以下原则:

1.同一性原则

一个原子公式与自身等价。例如:"SocratesisSocrates"。

2.非矛盾原则

一个原子公式及其否定不能同时为真。例如,"Socratesisaman"和"Socratesisnotaman"不能同时成立。

3.排中律

一个原子公式或其否定必须为真。换句话说,一个原子公式不能既为真又为假。例如,"Socratesisaman"或"Socratesisnotaman"必须为真。

五、结论

原子公式在演绎推理中具有至关重要的作用,为推理提供基本命题内容,并通过逻辑连接符的组合形成更复杂的逻辑表达式。它们作为推理前提和结论、限制推理的有效性,并遵循同一性、非矛盾和排中律等推理原则。通过理解和应用原子公式,我们可以更深入地理解和进行演绎推理。关键词关键要点原子公式的定义与组成

原子公式是命题逻辑中的基本构件,表示不可分解的命题。

主题名称:原子公式的定义

关键要点:

1.原子公式是命题逻辑中的基本构造块,表示不可再分割的基本命题或事实陈述。

2.原子公式不包含任何逻辑连词,如否定、合取、析取或蕴含。

3.原子公式通常用小写字母或数字表示,如p、q、1、2。

主题名称:原子公式的组成

关键要点:

1.原子公式由一个谓词和一组项组成。

2.谓词是描述项之间关系的函数。

3.项是谓词作用的对象,通常是常量、变量或谓词项。关键词关键要点主题名称:量化推理的概述

关键要点:

1.量化推理是研究利用逻辑和数学推理进行数量化推理的技术,涉及对含有数量变量的语句的分析和求解。

2.量化推理在人工智能、自然语言处理、知识表示和推理等领域具有广泛的应用,可以处理模糊性和不确定性问题。

3.量化推理的理论基础主要包括一阶谓词逻辑、多模态逻辑和非单调推理。

主题名称:量化推理的特点

关键要点:

1.符号化:量化推理使用符号化的语言来表示问题中的数量关系和约束条件,便于进行逻辑推理。

2.量化:量化推理允许对变量进行量化,即使用量词(如∀和∃)来表达变量取值的范围,从而能够处理一般化的知识和推理。

3.非确定性:量化推理的问题通常是非确定性的,即对于给定的问题可能存在多个不同的解。这使得量化推理在处理不完全信息和复杂问题时具有优势。关键词关键要点【原子公式在归纳推理中的应用:归纳推理】

主题名称:基于原子公式的归纳学习

关键要点:

1.原子公式可以作为归纳推理的基础,通过从观察数据中提取特征来生成假说。

2.通过迭代地生成和评估假说,可以识别出数据的潜在模式和规律性。

3.基于原子公式的归纳学习算法在机器学习和数据挖掘中广泛应用,用于知识发现和决策支持。

主题名称:概率归纳推理

关键要点:

1.在概率归纳推理中,原子公式被用来表示事件和条件之间的概率关系。

2.通过应用贝叶斯定理,可以基于观察数据更新事件的概率,从而进行推理和预测。

3.原子公式在概率归纳推理中的应用有助于解决不确定性和不完全信息下的推理问题。

主题名称:定理证明中的归纳推理

关键要点:

1.在定理证明中,归纳推理可以用来证明满足特定条件的通用语句。

2.通过使用原子公式来表示条件和结论,可以构建归纳推理规则。

3.原子公式在定理证明中的应用有助于简化推理过程并提高证明的可靠性。

主题名称:自然语言处理中的归纳推理

关键要点:

1.在自然语言处理中,原子公式可以用来表示文本中的概念和关系。

2.通过应用归纳推理技术,可以从文本数据中提取知识和洞察力。

3.原子公式在自

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