2020-2021学年安徽师大附中高一(上)期末数学试卷-解析版

2020-2021学年安徽师大附中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分）设P和Q是两个集合，定义集合P−Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|1<2x<4}，Q={y|y=2+sinx,x∈R}，那么A.{x|0<x≤1} B.{x|0≤x<2} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<1}已知x1=log132，A.x1<x3<x2 B.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为2，若α=π4，则点P的坐标为(    )A.(1,2) B.(2,1) C.若sinx<0，且sin(cosx)>0，则角x是(    )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角已知函数f(x)=log2(x+1),x≥11,x<1，则满足f(2x+1)<f(3x−1)的实数A.(23,+∞) B.(2,+∞) C.(函数f(x)=x−sin(π+x)x2A. B.

C. D.已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=A.2 B.22 C.4 D.已知函数f(x)=2x−1,x>0−x2−2x,x≤0A.0 B.1 C.2 D.3已知函数f(x)=sin2xsinx+2，则f(x)A.−2 B.−1 C.0 D.1已知函数f(x)=x+log3(9x+1)，则使得f(A.(0,22) B.(−∞,0)∪(1,+∞)

C.(0,1)二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）命题“∃x0∈R，log2x计算(lg2)2+lg2⋅如图，直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB=α弧度，则αtanα=______．设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，若关于x的不等式0≤f(x)≤−x+6的解集为[2,3]∪{6}，则b−a=______用MI表示函数y=sinx在闭区间I上的最大值.若正数a满足M[0,a]≥2M[a,2a]，则三、解答题（本大题共6小题，共50.0分）记函数f(x)=1−2x的定义域为集合A，函数g(x)=lg[(x−a+1)(x−a−1)]的定义域为集合B．

(Ⅰ)求集合A；

(Ⅱ)若A∩B=A，求实数a的取值范围．

已知sin(π3−x)=13，且0<x<π2，求已知函数f(x)=log(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)=400−kx,0<x≤407400x−40000x2,x>40.当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．

(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)

已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x>0时，恒有f(x)−f(1x)=lgx．

(1)求f(x)的表达式及定义域；

(2)若方程f(x)=lgt有解，求实数t的取值范围；

(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为⌀，求实数m的取值范围．

已知函数f(x)=22sin(x+π4)⋅cosx−1．

(1)当x∈[−π8,π8]时，f2(x)−mf(x)−m≤0恒成立，求实数m的取值范围；

(2)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数g(x)=f(x)−a在[0,nπ]上恰有答案和解析1.【答案】D

【解析】解：P={x|0<x<2}，Q={y|1≤y≤3}；

∴P−Q={x|0<x<1}．

故选：D．

根据P−Q的定义，可求出P，Q，然后即可求出P−Q．

考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及P−Q的定义．

2.【答案】C

【解析】解：∵x1=log132<log131=0，

0<x2=2−12<20=1，【解析】解：设P(x,y)，

由任意角的三角函数的定义得：sinα=sinπ4=y2=22，则y=1；

cosα=cosπ4=x2=22，则x=1．

∴点P的坐标为(1,1)．

故选：D．

【解析】解：∵−1≤cosx≤1，且sin(cosx)>0，

∴0<cosx≤1，

又sinx<0，

∴角x为第四象限角，

故选：D．

根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．

本题主要考查三角函数角象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．

5.【答案】B【解析】解：函数f(x)=log2(x+1),x≥11,x<1，可得f(x)在x≥1上单调递增，

可得f(x)的最小值为1，

由f(2x+1)<f(3x−1)可得3x−1>1，且3x−1>2x+1，

即有x>23且x>2，则x>2．

故选：B．

判断f(x)在x≥1上单调递增，可得f(x)的最小值为1，由题意可得3x−1>1，且3x−1>2x+1，解不等式可得所求范围．【解析】【分析】

本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．

先利用诱导公式将函数化简为f(x)=x+sinxx2+cosx，再判断函数的奇偶性，可排除选项A，对比余下选项，可考虑x∈(0,π2)和x=π时，f(x)与0的大小关系，得解．

【解答】

解：∵f(x)=x−sin(π+x)x2+sin(52π+x)=x+sinxx2+cosx，

∴f(−x)=−x+sin(−x)(−x)2+cos(−x)=−x−sinxx【解析】【分析】

本题考查指数与对数的运算法则，基本不等式求最值，属于简单题．

利用指数和对数的运算法则得到x+3y=1，再由基本不等式即可得出．

【解答】

解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg(2x⋅8y)=lg2，

∴2x+3y=2，∴x+3y=1．

∵x>0，y>0，

∴1【解析】解：画出函数f(x)=2x−1,x>0−x2−2x,x≤0的图象，如图所示；

由函数g(x)=f(x)−m=0，得出m=f(x)；

又m∈(0,1)，则y=m与y=f(x)由3个交点，

所以函数g(x)有3个零点．

故选：D．

画出函数f(x)的图象，结合图象令g(x)=f(x)−m=0，得m=f(x)；

看m∈(0,1)时，函数y=m与y=f(x)交点个数即可．

【解析】解：f(x)=sin2xsinx+2=sinx+2+4sinx+2−4，

令t=sinx+2，t∈[1,3]，则y=t+4t−4，

由对勾函数的性质可知y=t+4t−4在[1,2]上单调递减，在(2,3]上单调递增，

当t=1时，y=1，t=3时，y=13，

所以函数f(x)的最大值为1．

故选：【解析】解：因为f(x)=x+log3(9x+1)在R上单调递增，

由f(x2−x+1)−1<log310成可得，f(x2−x+1)<1+log310=f(1)，

所以x2−x+1<1【解析】解：命题“∃x0∈R，log2x0+2<0”的否定是“∀x∈R，log2x+2≥0”．

故答案为：∀x∈R，log2【解析】解：原式=2lg5+lg2⋅(1+lg5)+(lg2)2=2 lg5+lg2(1+lg5+lg2)

=2 lg5+2 lg2=2；

故答案为2．

将式子利用对数的运算性质变形，提取公因式，化简求值．

本题考查对数的运算性质．【解析】解：设扇形的半径为r，

则扇形的面积为12αr2，直角三角形POB中，PB=rtanα，

△POB的面积为12r×rtanα，由题意得12r×rtanα=2×12αr2，

∴tanα=2α，

∴αtanα=12．

【解析】解：函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，

所以不等式0≤f(x)≤−x+6可化为x2+ax+b≥0x2+ax+b≤−x+6，

即x2+ax+b≥0x2+(a+1)x+b−6≤0，

又该不等式组的解集为[2,3]∪{6}，

所以3、6是x2+ax+b=0的根，且2、6是方程x2+(a+1)x+b−6=0的根，

所以b=3×6=18，a=−(3+6)=−9，且b−6=2×6=12，即b=18，a+1=−(2+6)=−8，即a=−9；

所以b−a=18−(−9)=27．

故答案为：27．

【解析】解：当a∈[0,π2]时，2a∈[0,π]，M[0,a]=sina，M[a,2a]=1，

由M[0,a]≥2M[a,2a]，得sina≥2，此时不成立；

当a∈[π2,π]时，2a∈[π,2π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sina，

由M[0,a]≥2M[a,2a]，得1≥2sina，即sina≤22，所以3π4≤a≤π；

当a∈[π,3π2]时，2a∈[2π,3π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sin2a或1，

由M[0,a]≥2M[a,2a]，得1≥2sin2a，即sin2a≤22且2a≤2π+π2，解得π≤a≤9π8；

当a∈[3π2,+∞)时，2a∈[3π,+∞)，M[0,a]=1，M[a,2a]=1【解析】(Ⅰ)由函数f(x)=1−2x的定义域1−2x≥0，能求出集合A；

(Ⅱ)先求出集合B，再由A∩B=A，求实数a的取值范围．

本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意集合的性质和运算法则的灵活应用．

17.【答案】解：∵0<x<π2，∴−π6<π3−x<π3，

【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cos(π3−x)的值，再利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．

18.【答案】解：(1)由题设，3−ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，a>0且a≠1，

∵a>0，∴g(x)=3−ax在[0,2]上为减函数，

从而g(2)=3−2a>0，

∴a<32，

∴a的取值范围为(0,1)∪(1,32)．

(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)=1，

即loga(3−a)=1，∴a=3【解析】本小题主要考查对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．对于是否存在问题，一般假设存在，推出结论，属于基础题．

(1)根据题意：“当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义”，即要考虑到当x∈[0,2]时3−ax必须是正数，另外，题中隐含条件：a>0且a≠1也必须注意到；

(2)假设存在这样的实数，再根据f(x)是减函数，X=1取得最大值，求出a的值，进而得出当x=2时，f(x)没有意义，即可得出结论．

19.【答案】解：(1)由题意可算出k=6，则

当0<x≤40时，W=xR(x)−(16x+40)=−6x2+384x−40，

当x>40时，W=xR(x)−(16x+40)=−40000x−16x+7360，

∴W=−6x2+384x−40,0<x≤40,−40000x−16x+7360,x>40．

(2)①当0<x≤40时，W=−6x2+384x−40=−6(x−32)2+6104，

∴当x=32时，Wmax=W(32)=6104，

②当x>40时，W=−40000x−16x+7360=−(40000【解析】(1)由题意可算出k=6，分段分别求出利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式，再写为分段函数的形式即可．

(2)当0<x≤40时W=−6x2+384x−40，利用二次函数的性质求出W的最大值，当x>40时W=−40000x−16x+7360，利用基本不等式求出W的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为W的最大值．

本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．

20.【答案】解：(1)∵当x>0时，f(x)−f(1x)=lgx．

lg2xax+b−lg2xax+b=lgx，

即lg−lg=lgx，

即lg(2xax+b⋅a+bx2)=lgx，

2xax+b⋅a+bx2=x．

整理得(a−b)x2−(a−b)x=0恒成立，

∴a=b，

又f(1)=0，

即a+b=2，从而a=b=1．

∴f(x)=lg2xx+1，

∵2xx+1>0，

∴x<−1，或x>0，

∴f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(0,+∞)

(2)方程f(x)=lgt有解，

即lg2xx+1=lgt，

∴t=2xx+1，

∴x(2−t)=t，

∴x=t2−t，

∴t2−t<−1，或t2−t>0，

解得t>2，或0<t<2，

∴实数t的取值范围(0,2)∪(2,+∞)，【解析】(1)由已知中函数，以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值，进而得到f(x)的表达式；

(2)由(1)中函数f(x)的表达式，转化为一个方程，分离参数，根据f(x)的定义域即可求出．

(3)根据对数的运算性质，可将方程f(