3.2.1-定积分的概念和性质

定积分的概念与性质一、引例二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质[引例3.6]已知一质点以（）的速度作变速直线运动，求质点从到这两秒时间内所经过的路程．

分析路程函数是速度函数的积分，于是质点在时间段里所经过的路程是一、引例图C[引例3.7]求曲边梯形的面积何谓曲边梯形？请看下列两图形。平面封闭图形均可理解成数个曲边梯形的集合。abxyo如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。求曲边梯形的面积A的思路如下：abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积：显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）(1)分割在区间[a,b]内任意插入n–1个分点：a=x0<x1<x2<···<xi-1<xi<···<xn-1<xn

=b，

把区间[a,b]分成n个小区间：[x0,x1]，[x1,x2]，·

·

·，[xi-1,xi

]，·

·

·，[xn-1,xn].这些小区间的长度分别记为

xi

=

xi

–

xi

-1(i=1,2,···,n).过每一分点作平行于y

轴的直线，它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形.可按下面四步计算曲边梯形面积.a=x0x1xi-1xn=

bOy=f(x)yBAxxiOyBAx(2)近似代替在每个小区间[xi-1,xi](i=1,2,·

·

·,n)上取一点xi(xi-1≤xi≤

xi),以

f(xi)为高，

xi为底作小矩形，用小矩形面积f

(xi)

xi

近似代替相应的小曲边梯形面积

Ai，即

Ai

f

(xi)

xi(i=1,2,·

·

·,n).x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x1xi-1xn=

bxi(4)取极限当分点个数

n

无限增加，即(3)求和把n

个小矩形面积加起来，它就是曲边梯形面积的近似值，即且小区间长度的最大值

(即

=max{xi})趋近于0时，上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，[引例3.8]求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．(1)分割在时间间隔[T1,T2]内任意插入n

-1

个分点：T1

=t0<t1<t2<·

·

·<ti-1<ti

<·

·

·<tn-1<tn

=T2，

把[T1,T2]分成n

个小区间：[t0,t1]，[t1,t2]，·

·

·，[ti-1,ti

]，·

·

·，[tn-1,tn].这些小区间的长度分别为：

ti

=

ti

–

ti

–1(i=1,2,·

·

·,n).相应的路程s被分为n段小路程：si

(i=1,2,·

·

·,n).(2)近似代替在每个小区间上任意取一点τi

(ti-1≤

τi

≤

ti

),用τi

点的速度v

(τi)近似代替物体在小区间上的速度，用乘积v

(τi)

ti

近似代替物体在小区间[ti-1,

ti

]

上所经过的路程

si

，即

si

v(τi)

ti

(i=1,2,·

·

·,n).(3)求和(4)取极限总结：上述两个实际问题，虽然意义不同，但解决问题的方法完全相同，都是采用分割，取近似值，求和，求极限四个步骤，并且结果具有完全相同的数学模式--------------和式的极限。这类和式的极限被广泛应用于物理、天文、工程、地质、化学等各个领域中。二、定积分的定义定义被积函数积分变量记为积分上限积分下限被积表达式符号读作函数

f(x)从a

到

b的定积分.关于定积分定义的几点说明：(1)

所谓和式极限(即函数f(x)可积)，是指无论对区间[a,b]

怎样分法，也不论对点xi

(i=1,2,·

·

·,n)怎样取法，极限都存在且有相同的极限值.它是由函数f(x)与区间[a,b]所确定的，(2)

因为定积分是和式极限，因此，它与积分变量的记号无关，即特殊地，当a=b时，或只有有限个第一类间断点的函数是可积的.(4)

可以证明，闭区间上连续函数定理1定理2定理3

一切初等函数在定义域内的闭区间都是可积.根据定积分的定义，引例3.7和引例3.8都可以表示为定积分：

(1)

曲边梯形面积A

是曲边函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即

(2)

变速直线运动的路程s是速度函数v(x)在时间间隔[T1,T2]

上的定积分，即AabBy=f(x)三、定积分的几何意义(1)当

f(x)>0时，定积分在几何上表示:曲边y=f(x)在区间

[a,b]

上方的曲边梯形面积，(2)如果

f(x)<0，曲边梯形在x轴下方，此时该定积分为负值，yxOAabBy=f(x)yxO(3)当

f(x)在[a,b]

上有正有负时，

x

轴上方的曲边梯形面积减去x

轴下方的曲边梯形面积yx定积分y=f(x)ABabA1A2A3例1利用定积分的几何意义计算下列定积分．四、定积分的性质性质2可推广到有限多个函数代数和的情况.性质1：性质2：性质3：特别地，有性质4：(定积分关于积分区间的可加性)这个性质可以用于求分段函数的定积分.解：-111O如图，利用定积分的几何意义，有性质5

如果在区间

[a,b]

上有

f(x)≥

g(x)，那么证明：如图所示为单位圆，当时，不难证得m(b-

a)≤M(b-

a)．≤性质6：(估值定理)设和分别是在上的最大值与最小值，则该性质的几何解释是：介于与区间[a,b]

长度为底，曲线

y=f(x)在[a,b]

上的曲边梯形面积分别以m

和M为高的两个矩形面积之间.y=f(x)yxabmMOBA解：因为被积函数在区间[1,4]上是单调递增的，所以，最小值最大值由性质6可知：即

性质7

(积分中值定理)如果函数

f(x)在区间[a,b]上连续，