1高三数学第一轮复习集合课案

第页高三第一轮复习——集合一、【要点精讲】1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。通常用大写字母A.B.C……表示；集合中的各个对象叫做集合的元素,通常用小写字母a、b、c……表示。（1）若a是集合A的元素,记作
；若b不是集合A的元素,记作
。（2）集合中的元素必须满足:确定性、互异性及无序性。确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立；互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体（对象）,因此,同一集中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法、图示法。列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；例如:A={a1,a2,……}.。描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号
内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例如:
。图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合。例如:注意：列举法及描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。图示法一般用作解题辅助方法,多用于集合的运算。（4）常用数集及其记法:非负整数集（或自然数集）,记作N；正整数集,记作N*或N+；整数集,记作Z；有理数集,记作Q；实数集,记作R；复数集,记作C。2.集合的包含关系:（1）子集:集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集（或B包含A）,记作A
B（或
）；真子集:若A
B且A≠B,则称A是B的真子集,记作A
B；（2）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A
B且B
A,则称A等于B,记作A=B；（3）简单性质:1）AA；2）A；3）若A
B,B
C,则A
C；4）若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集（有2n－1个真子集,有2n－2个非空真子集）。3.全集及补集:（1）全集:包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U；（2）补集：若S是一个集合,A
S,则,
=
称为S中子集A的补集；（3）简单性质:1）()=A；2）
S=
,
=S。4.交集及并集:（1）交集：一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A及B的交集。记作：
。（2）并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A及B的并集。记作:

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集及并集的关键是“且”及“或”,在处理有关交集及并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。5.集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）；（5）
（A∩B）=（
A）∪（
B）,
（A∪B）=（
A）∩（
B）。二、【典例解析】题型1:集合的概念例1.（2009广东卷理）已知全集
,集合
和
的关系的韦恩（Venn）图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多个解析：由
得
,则
,有2个。答案：B题型2:集合的性质例2.(2009山东卷理)集合
,
,若
,则
的值为 ()A.0B.1C.2D.4解析:∵
,
,
,∴
∴
。答案:D随堂练习:1.（广东地区2019年01月份试题）设全集U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x－6=0},则下图中阴影表示的集合为 （）A.{2}B.{3}C.{－3,2}D.{－2,3}解析:易得B={-3,2},故阴影为
={2}。答案:A2.已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠
，则实数a的取值范围为（）．解析:由题知A={y|y>a2+1或y<a},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝
时a的范围.如图由
,得
,∴
或
.即A∩B＝时a的范围为或.而A∩B≠时a的范围是其补集,从而所求范围为.例3.已知全集
,A={1,
}如果
,则这样的实数
是否存在？若存在,求出
,若不存在,说明理由
解析:∵
；∴
,即
＝0,解得:
当
时,
,为A中元素；当
时,
当
时,
∴这样的实数x存在,是
或
。另法:∵
,∴
,
∴
＝0且
,∴
或
。变式题：已知集合
,
,
,求
的值。解析:由
可知,（1）
,或（2）
解（1）得
,解（2）得
,又因为当
时,
及题意不符,所以,
。题型3:集合的运算例4.(2019年河南)已知函数
的定义域集合是A,函数
的定义域集合是B（1）求集合A.B（2）若A
B=B,求实数
的取值范围.解析:（1）A＝
,B＝
（2）由A
B＝B得A
B,因此
所以
,所以实数
的取值范围是
例5.（2009宁夏海南卷理）已知集合
,则
()A.B.C.D.解析:易有

。答案:A题型4:图解法解集合问题例6．（2009年广西北海）已知集合M=
,N=
,则
（）A.
B.
C.
D.
答案:C例7.设全集
,函数
的定义域为A,集合
,若
恰好有2个元素,求a的取值集合。解析:
,
时,
,当
时,
在此区间上恰有2个偶数。则
例8.向50名学生调查对A.B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成；另外,对A.B都不赞成的学生数比对A.B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A.B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解析:赞成A的人数为50×
=30,赞成B的人数为30+3=33,如图:记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件A.B都赞成的学生人数为x,则对A.B都不赞成的学生人数为
+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x,赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(
+1)=50,解得x=21。所以对A.B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人
。例9.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个？解析：如图先画出Venn图,不难看出不符合条件的数共有：（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)＋(200÷30)＝146所以,符合条件的数共有200－146＝54（个）题型5:集合综合题例10.（2019上海）设集合A={x||x－a|<2},B={x|
<1},若A
B,求实数a的取值范围。解析:由|x－a|<2,得a－2<x<a+2,所以A={x|a－2<x<a+2}。由
<1,得
<0,即－2<x<3,所以B={x|－2<x<3}。因为A
B,所以
,于是0≤a≤1。例11.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,
)|n∈N*},B={(x,y)|
x2－y2=1,x,y∈R}。试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明；如果不正确,请举例说明：（1）若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上；（2）A∩B至多有一个元素；（3）当a1≠0时,一定有A∩B≠
。解析:（1）正确；在等差数列{an}中,Sn=
,则
(a1+an),这表明点(an,
)的坐标适合方程y
(x+a1),于是点(an,
)均在直线y=
x+
a1上。（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组
的解,由方程组消去y得:2a1x+a12=－4（
）,当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B=
；当a1≠0时,方程（
）只有一个解x=
,此时,方程组也只有一解
,故上述方程组至多有一解。∴A∩B至多有一个元素。（3）不正确；取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0,
>0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0
如果A∩B≠
,那么据(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=
＜0,y0=
＜0,这样的(x0,y0)
A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B=
,所以a1≠0时,一定有A∩B≠
是不正确的。三、【思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题。1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如
、
、
、
、=、
A.∪,∩等等。2.强化对集合及集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义。注意利用几何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练。解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一个集合能化简（或求解）,一般应考虑先化简（或求解）。3．确定集合的“包含关系”及求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。①区别∈及
、
及
、a及{a}、
及{
}、{(1,2)}及{1,2}；②A
B时,A有两种情况:A＝
及A≠
。③区分集合中元素的形式,如:④空集是指不含任何元素的集合。注意
、
、
的区别和0及三者间的关系。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为
,在讨论的时候不要遗忘了
的情况。⑤符号“
”是表示元素及集合之间关系的,立体几何中的体现点及直线（面）的关系；符号“
”是表示集合及集合之间关系的,立体几何中的体现面及直线(面)的关系。巩固性习题:一、选择题:1.（2019年北京卷）已知全集
,集合

,那么集合
(
)等于 （）A.
B.
C.
D.
2.（2019年四川卷）设集合
,则

()Ａ. Ｂ. Ｃ.Ｄ.3.(2019年全国II理)设集合M={m
Z|-3＜m＜2},N={n
Z|-1≤n≤3},则M
N=（）A.
B.
C.
D.
4.（2019年山东卷1）满足M｛a1,a2,a3,a4｝,且M∩｛a1,a2,a3｝={a1,a2}的集合M的个数是()A.1B.2 C.3D.45.（2019年全国Ⅰ）设
,集合
,则
（）A.1 B.
C.2D.
6．（2019年江西）若集合M＝{0,l,2},N＝{(x,y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为()A.9 B.6C.4D.27．（2019年安徽）若
,则
（
B）的元素个数为A.0 B.1 C.2 D.38.（2019年江西卷）定义集合运算:设,,则集合的所有元素之和为（）A.0 B.2 C.3 D.69．（2019年全国II理）已知集合M＝｛x|x＜3｝,N＝｛x|log2x＞1｝,则M∩N＝（）A.
B.