2015届高考理科数学课时拓展检测试题76

1．已知平面α，β和直线a，b，a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α与β的关系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．垂直解：可在平面α内作一直线c，且c与a相交，若c平行于面β，则根据面面平行的判定定理知α∥β；若c与面β相交，则面α与β相交．故选C.2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解：∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与α相交．观察各选项，易知A，C，D都是错误的．故选B.3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3.分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1­DFD1,V2＝VEBE1A1­FCF1D1,V3＝VB1E1B­C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面AA．4eq\r(10) B．8eq\r(3) C．4eq\r(13) D．16解：由于两个截面平行，所以三部分都可看作直棱柱，所以底面积之比为1∶4∶1.易得AE＝2，A1E＝eq\r(13).∴＝4eq\r(13).故选C.4．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2解：对于选项A，显然是必要不充分；对于选项B，由l1∥m可得l1∥α，同理得l2∥α，又l1与l2是相交直线，故可得α∥β，充分性成立，而α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立；对于选项C，由于m，n不一定是相交直线，故是必要不充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为选项C.故选B.5．(eq\a\vs4\al(2012·厦门期末质检))如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面MACC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M­AC­B等于90°解：取A1C1中点O1，连接BO1，易知D1O∥BO1，故D1O∥平面A1BC1，A正确．取AB中点E，连接OE，A1E，易知A1E⊥AM，A1D1∥OE，而A1D1⊥AM，故AM⊥平面A1D1OE，AM⊥D1O，同理CM⊥D1O，AM∩MC＝M，所以D1O⊥平面MAC，B正确．易知△A1BC1为等边三角形，故C正确．连MO，BO，由AC⊥平面BDD1B1知∠MOB为二面角M­AC­B的平面角，显然不等于90°，故D错误．故选D6．如图，若Ω是长方体ABCD­A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1DA．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台解：∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄面BCC1B1，∴EH∥面BCC1B1.又∵面EFGH∩面BCC1B1＝FG，∴EH∥FG，且EH＝FG，由长方体的特征知四边形EFGH为矩形，此几何体为五棱柱，∴选项A，B，C都正确．故选D7．给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．其中正确命题的序号是_______(写出所有正确命题的序号)．解：①中平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能异面，①不正确；根据直线与平面垂直的性质定理知，②正确；③若直线l与平面α平行，则l必平行于α内某一方向上的无数条直线，故③不正确；④显然正确．故填②④.8．如图，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．解：相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β相交于AB，A′B′，∴AB∥A′B′.同理BC∥B′C′，CA∥C′A′.∴△ABC与△A′B′C′的三内角相等，∴△ABC△A′B′C′，eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(OA′,OA)＝eq\f(2,3).S△ABC＝eq\f(1,2)×2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△A′B′C′＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,9)＝eq\f(2,9)eq\r(3).故填eq\f(2,9)eq\r(3).9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点求证：(1)PO∥面D1BQ；(2)平面D1BQ∥平面PAO.证明：(1)连接DB，在△D1DB中，P，O分别是DD1，DB的中点，则PO∥D1B，又PO⊄面D1BQ，D1B⊂面D1BQ，∴PO∥面D1BQ.(2)易证四边形APQB是平行四边形，∴PA∥BQ.又PA⊄面D1BQ，BQ⊂面D1BQ，∴PA∥面D1BQ.又由(1)知PO∥面D1BQ，PO∩PA＝P，PO，PA⊄平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.10．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点(1)当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1(2)若AP＝3PB，求三棱锥B­CDP的体积．解：(1)连结DP，AC1，∵P为AB中点，D为C1B中点，∴DP∥AC1.又∵AC1⊂平面ACC1A1，DP⊄平面ACC1A1，∴DP∥平面ACC1(2)由AP＝3PB，得PB＝eq\f(1,4)AB＝eq\f(1,2).过点D作DE⊥BC于E，则DE綊eq\f(1,2)CC1，∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP，又∵CC1＝3，∴DE＝eq\f(3,2).∴VB­CDP＝VD­BCP＝eq\f(1,3)·S△BCP·DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\f(1,2)×sin60°×eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),8).11．(eq\a\vs4\al(2013·山东))如图所示，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D­GH­E的余弦值．解：(1)证明：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DC∥AB.∴EF∥DC.又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，∴EF∥GH.∴AB∥GH.(2)在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，∴∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ，∵PB⊥平面ABQ，∴AB⊥PB.又BP∩BQ＝B，∴AB⊥平面PBQ.由(1)知AB∥GH，∴GH⊥平面PBQ.又FH，HC⊂平面PBQ，∴GH⊥FH，GH⊥HC.∴∠FHC为二面角D­GH­E的平面角．设BA＝BQ＝BP＝2，连接FC，在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝eq\r(2)，同理可得PC＝eq\r(5)，FQ＝eq\r(5).又∵H为△PBQ的重心，∴HC＝eq\f(1,3)PC＝eq\f(\r(5),3)，FH＝eq\f(1,3)FQ＝eq\f(\r(5),3).在△FHC中，由余弦定理得cos∠FHC＝eq\f(\f(5,9)＋\f(5,9)－2,2×\f(5,9))＝－eq\f(4,5).如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE.(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．解：(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下：取AB的中点F连接DP，PF，EF，则FP∥AC，FP＝eq\f(1,2)AC.取AC的中点M，连接EM，EC.∵AE＝AC且∠EAC＝60°，∴△EAC是正三角形．∴EM⊥AC.∴四边形EMCD为矩形．∴ED＝MC＝eq\f(1,2)AC＝FP.又∵ED∥AC.∴ED∥FP且ED＝FP，即四边形EFPD是平行四边形．∴DP∥EF.而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，∴DP∥平面EAB.(2)过点B作AC的平行线l，过点C作l的垂线交l于点G，连接DG.∵ED∥AC，∴ED∥l.∴l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EACD⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC.又∵l⊂平面ABC，∴DC⊥l.∴l⊥平面D