2017届高考理科数学第二轮专题复习检测24

每日一题规范练eq\x(第二周星期一2017年3月27日)题目1](本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcos2eq\f(φ,2)＋cosxsinφ－sinx(0<φ<π)在x＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a＝1，b＝eq\r(2)，f(A)＝eq\f(\r(3),2)，求角C.练方法练规范练满分练能力解：(1)f(x)＝sinx(1＋cosφ)＋cosxsinφ－sinx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)．(2分)∵f(x)在x＝π处取得最小值，∴sin(π＋φ)＝－1，则sinφ＝1，又0<φ<π，∴φ＝eq\f(π,2).(5分)(2)由(1)知，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx.∵f(A)＝cosA＝eq\f(\r(3),2)，且A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,6)，(7分)又a＝1，b＝eq\r(2)，由正弦定理，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，则sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\r(2)sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(2),2)，b>a，因此B＝eq\f(π,4)或B＝eq\f(3π,4)，(10分)当B＝eq\f(π,4)时，C＝π－(A＋B)＝eq\f(7,12)π.当B＝eq\f(3,4)π时，C＝π－(A＋B)＝eq\f(π,12).综上可知，C＝eq\f(7π,12)或C＝eq\f(π,12).(12分)eq\x(第二周星期二2017年3月28日)题目2](本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)．(导学号55460181)(1)求p的值及数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足eq\f(an＋1,2)＝(3＋p)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.练方法练规范练满分练能力解：(1)∵Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)，∴a1＝S1＝4＋2p，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.(2分)由于{an}是等比数列，∴a1＝4＋2p＝2，则p＝－1，因此an＝2n(n∈N*)．(4分)(2)由eq\f(an＋1,2)＝(3＋p)anbn＝2anbn，得2n＝22nbn，∴bn＝eq\f(n,2n).(7分)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n).①eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n)＋eq\f(n,2n＋1)，②(9分)①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，∴Tn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝eq\f(1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))－eq\f(n,2n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))－eq\f(n,2n)，因此Tn＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n).(12分)eq\x(第二周星期三2017年3月29日)题目3](本小题满分12分)从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品，对其使用寿命进行实验检测，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是合格品．寿命(天)频数频率100，200)20a200，300)300.15300，400)b0.35400，500)300.15500，600)500.25合计2001(1)根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；(2)从灯泡样品中随机地取n(n∈N*)个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；(3)从这个批次的灯泡中随机地取3个进行使用，若将上述频率作为概率，用ξ表示3个灯泡中次品的个数，求ξ的分布列和数学期望．练方法练规范练满分练能力解：(1)由频率分布表，a＝0.10，b＝70.(2分)(2)根据分布表，知灯泡样品中一等品有50个，合格品有100个，次品有50个．∴一等品、合格品和次品的比例为50∶100∶50＝1∶2∶1，∴按分层抽样法，灯泡数n＝k＋2k＋k＝4k(k∈N*)，∴n的最小值为4.(4分)(3)ξ的所有取值为0，1，2，3.依题意，任取一个灯泡，该灯泡为次品的概率P＝0.25.(6分)从本批次灯泡中任取3个，次品数ξ～B(3，0.25)，∴P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\s\up12(1)＝eq\f(9,64)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,64).(9分)∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).(12分)eq\x(第二周星期四2017年3月30日)题目4](本小题满分12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，A1在底面ABC上的射影是棱BC的中点O，OE⊥AA1于E(1)证明OE⊥平面BB1C(2)若AA1＝eq\r(3)AB，求AC与平面AA1B1B所成角的正弦值．练方法练规范练满分练能力(1)证明：连接AO，∵△ABC为正三角形，O为BC中点，∴AO⊥BC.∵A1O⊥BC，A1O∩AO＝O，∴BC⊥平面A1OA，从而BC⊥EO.(2分)又OE⊥AA1，AA1∥B1B.∴OE⊥B1B，又B1B∩BC＝B，故OE⊥平面BB1C1(2)解：由(1)可知，A1O⊥BC，A1O⊥OA，OA⊥BC.故分别以OA、OB、OA1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．(6分)设AB＝2，则AA1＝2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)，OA1＝3，A(eq\r(3)，0，0)，则eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－eq\r(3)，1，0)，eq\o(AA1,\s\up12(→))＝(－eq\r(3)，0，3)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－eq\r(3)，－1，0)，(8分)设平面AA1B1B的法向量为n＝(x，y，z)，取x＝eq\r(3)，则n＝(eq\r(3)，3，1)．(10分)设AC与平面AA1B1B所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(AC,\s\up12(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(（\r(3)，3，1）·（－\r(3)，－1，0）,\r(13)×2)))＝eq\f(6,2\r(13))＝eq\f(3\r(13),13).∴AC与平面AA1B1B所成角的正弦值为eq\f(3\r(13),13).(12分)eq\x(第二周星期五2017年3月31日)题目5](本小题满分12分)设函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－bx.(导学号55460182)(1)当a＝b＝eq\f(1,2)时，求函数f(x)的单调区间；(2)令F(x)＝f(x)＋eq\f(1,2)ax2＋bx＋eq\f(a,x)(0<x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a＝0，b＝－1时，方程f(x)＝mx在区间1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．练方法练规范练满分练能力解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝b＝eq\f(1,2)时，f(x)＝lnx－eq\f(1,4)x2－eq\f(1,2)x，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝eq\f(－（x＋2）（x－1）,2x).令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，∴f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．(3分)(2)F(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，x∈(0，3]．由k＝F′(x0)＝eq\f(x0－a,xeq\o\al(2,0))≤eq\f(1,2)在(0，3]上恒成立，知a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0))eq\s\do7(max).当x0＝1时，－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0取最大值eq\f(1,2)，∴a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(6分)(3)当a＝0，b＝－1时，f(x)＝lnx＋x，由f(x)＝mx，得lnx＋x＝mx，又x>0，∴m＝1＋eq\f(lnx,x)，要使方程f(x)＝mx在区间1，e2]上有唯一实数解，只需m＝1＋eq\f(lnx,x)有唯一实数解，(8分)令g(x)＝1＋eq\f(lnx,x)(x>0)，∴g′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，由g′(x)>0得0<x<e；g′(x)<0，得x>e，∴g(x)在1，e]上是增函数，在区间e，e2]上是减函数，(10分)又g(1)＝1，g(e2)＝1＋eq\f(2,e2)，g(e)＝1＋eq\f(1,e)，故m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1＋\f(2,e2))).(12分)eq\x(第二周星期六2017年4月1日)题目6](本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为eq\f(4\r(10),5).(导学号55460183)(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)，点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ，使得k1＝λk2，并求出λ的值．练方法练规范练满分练能力解：(1)∵椭圆C的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，即eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，则a2＝4b2.①(2分)设直线y＝x与椭圆交于P，Q两点，不妨设点P为在第一象限的交点．又弦长|PQ|＝eq\f(4\r(10),5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，代入椭圆方程得eq\f(4,5a2)＋eq\f(4,5b2)＝1，则a2＋b2＝eq\f(5,4)a2b2.②联立①②，得a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(5分)(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，直线AB的斜率kAB＝eq\f(y1,x1)，又AB⊥AD，故直线AD的斜率k＝－eq\f(x1,y1)，设直线AD的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0.(7分)由可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4k2))x2＋8mkx＋4m2－4＝0.∴x1＋x2＝－eq\f(8mk,1＋4k2)，∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\f(2m,1＋4k2)，(9分)由题意知x1≠－x2，∴k1＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(1,4k)＝eq\f(y1,4x1)，∴直线BD的方程为y＋y1＝eq\f(y1,4x1)(x＋x1)．令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1，0)，可得k2＝－eq\f(y1,2x1)，∴k1＝－eq\f(1,2)k2，即λ＝－eq\f(1,2).因此存在常数λ＝－eq\f(1,2)使得结论成立．(12分)eq\x(第二周星期日2017年4月2日)题目7]请考生在1、2题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请写清题号．1．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosφ，,y＝sinφ))(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(导学号55460184)(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝3eq\r(3)，射线OM：θ＝eq\f(π,3)与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．练方法练规范练满分练能力解：(1)圆C：消去φ，得圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，(2分)又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(4分)(2)设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝1，θ1