1.4-函数的连续性_第1页
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1.4函数连续性一、函数的连续与间断；二、初等函数的连续性；三、闭区间上连续函数的性质．一、函数的连续与间断；01、点连续则称函数在点处连续．设函数在的附近有定义，并且满足证明：显然，在点处及其邻域内有定义，2、左右连续则称函数在点处左连续．(1)设函数在内有定义且满足则称函数在点处右连续．(2)设函数在内有定义且满足(3)函数在点处连续的充要条件是：函数在该点既是左连续，又是右连续．3、区间连续(1)若函数

在(a,b)内每一点都连续，则称函数

在(a,b)内连续。(2)若函数

在(a,b)内连续，且在处右连续，在处左连续，则称函数

在[a,b]内连续。4、函数间断点如果在点不能满足以上任何一个条件，则点是函数的间断点。4、函数间断点[分类]：则称为函数的第一类间断点；则称为函数的可去间断点．4、函数间断点[分类]：则称为函数的第一类间断点；特别地，如果(2)除第一类间断点外的间断点统称为第二类间断点．则称为函数的可去间断点．4、函数间断点[分类]：则称为函数的第一类间断点；特别地，如果如果则称为函数的可去间断点．则称为函数的跳跃间断点．解显然，在处及其附近有定义，所以在处不连续，是函数的可去间断点．解显然，在处及其附近有定义，可见，左右极限虽都存在但不相等，即不存在，所以在处不连续，且为跳跃间断点.二、初等函数的连续性定理1：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．换言之：求初等函数的连续区间就是求它的定义区间．例4求函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型．解：其连续区间即定义区间为：定理2

设复合函数在点的附近（可以去掉）有定义，若函数当时的极限存在,且，而函数在点处连续，则复合函数当时的极限存在，且例5求下列极限三、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.三、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.（开区间）（闭区间内有间断点）定理2(介值定理)设函数在闭区间上连续，在开区间内至少存在一点，使得ACMBN几何解释:几何解释:证:由零点定理,四、小结（本节要点）函数的连续性的概念和判断；间断点的分类；复合函数极限的求法；闭区间上连续函数的性质

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