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第十三章函数列与函数项级数§1一致收敛性讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：（1）（2）（3）-(n+1)x+1,0,(4),n=1,2,…(¡)D=[0,,D=[0,1000](5)sin(¡)D=[-l,+l],(¡¡)D=(-)(6)=(-)(7)(¡)D=(-)(¡¡)[1/10,10]2.证明：设若对每一个自然数n有在D上一致收敛于f.3.设为定义在[a,b]上的函数列，且对每一个n,在点a右连续，但是发散的，证明在任何开区间（a,b+）(这里a+)内都不一致连续。4．设函数项级数在D上一致收敛于S(x),函数g(x)在D上有界。证明级数g(x)S(x).5.判别下列函数项级数在所示区间上的一致连续性：（1）（2）（3）（4）6．若在区间I上，对任何自然数n,证明当在I上一致收敛时，级数在I上一致收敛。7．设，（n=1,2,…）是[a,b]上的单调函数，证明：与都绝对收敛，则级数在[a,b]上绝对并一致收敛。8．在[0,1]上定义函数数列 ,= n=1,2….. 0，证明：级数在[0，1]上一致收敛，但它不存在优级数。9．讨论下列函数列或函数项级数爱所示区间D上的收敛性：（1）（2）（3）（4）（5）（7）10．试构造一个定义在（0，1）上的函数项级数，使得它在有理点上收敛，在无理点上发散。11．证明：级数在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，1]上却不一致收敛。12．设f为定义在区间（a,b）内的任一函数，记证明函数列在（a,b）内一致收敛于f.13.设为[a,b]上正的递减且收敛于0的函数列，每一个都是[a,b]上的单调函数，则级数在[a,b]上不仅收敛而且一致收敛。§2一致收敛函数列和函数项级数的性质讨论下列各函数列在所定义的区间上：（a）与的一致收敛性；（b）是否具有定理13.8，13.9，13.10的条件于结论。（1）（2）x-(3)nx2.证明：若函数列在[a,b]上满足13.10的条件，则在[a,b]上一致连续。3定理13.11和13.13。4．设S(x)=5.设S(x)=6.设S(x)=7.证明：函数f(x)=在（上连续，且有连续的导函数。8．证明：定义在[0，2上的函数项级数满足定理13.12条件，且9.讨论下列函数列在所定义区间的一致收敛性及其极限函数的连续性，可积性和可微性：（1）x(2)(¡)),(ii)10．证明函数在（1，+）内连续，且有连续的各阶导数。11．证明：若函数列在的某邻域U（x0,）内一致收敛于f,且=a,

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