2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题13 圆中的辅助线模型（原卷版）

专题13.圆中的辅助线模型在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题例1．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（

）A．108° B．109° C．110° D．112°例2．（2023•宜兴市期中）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．例3．（2023•浙江一模）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（）A．54° B．55° C．56° D．57°例4．（2023·重庆初三三模）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知tan∠CDB＝，BD＝10，则OH的长度为（）A． B．1 C． D．模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。例1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于cm．

例2．（2023·湖南九年级期中）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为________．例3．（2023·黑龙江九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．例4．（2023·成都市九年级期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）【模型解读】如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。例1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，，，是上的三点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点B，C，D在上，若，则的大小是．

例3．（2023秋·重庆·九年级校考阶段练习）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为8，则弦长为（

）A．8 B．4 C． D．例4．（2023·广西初三一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O直径为（）A．6 B．12 C．6 D．6模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）【模型解读】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。例1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图是的直径，C，D是上的两点，若，则．

例2．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（

）A． B． C． D．例3．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（

）A． B． C．1 D．2模型5、遇90°的圆周角连直径【模型解读】如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。例1．（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为．

例2．（2023·甘肃·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为．例3．（2023·重庆·统考中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）

模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）【模型解读】如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。AABCO已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。例1．（2023·浙江·一模）如图1，一个圆球放置在形架中，图2是它的平面示意图，和都是的切线，切点分别是，若的半径为，且，则______．例2．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，为的直径，C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点D，连接，若，则的长度为（）A． B． C．8 D．例3．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（

）

A． B． C． D．模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）【模型解读】证明直线AB是⊙O的切线.ABABCO遇到证明某一直线是圆的切线时：（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．例1．（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．

例2．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，，，的直径为6．求证：直线是的切线．

例3．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．(1)求证：与相切．(2)若，，求的长．

例4．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．(1)求证：为的切线．(2)若，，求的半径．

模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。例1．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．例2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为（

）

A． B． C． D．例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，课后专项训练1．（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，在中，C是的中点，D是上一点，若，则的度数为（

）

A．70° B．55° C．40° D．27.5°2．（2023秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，直线切于点，、是上的点，且弦，，则的度数为（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，中，弦于E，若，的半径等于6，则弧的长为（

）

A． B． C． D．4．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在中，AB=6,以点A为圆心与边BC相切于点D，与AC、AB分别相交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（）

A． B． C． D．5．（2023春·湖北黄石·九年级校联考开学考试）如图，和分别是的外切正三角形和内接正三角形，若的面积为，则的面积为（

）

A． B． C． D．6．（2023春·安徽亳州·九年级校考开学考试）如图，木工用角尺的短边紧靠于点A，长边与相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，，则的半径为（

）

A．8 B．5 C．10 D．7．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，的半径为是圆外一点，，交于点，则弦的长为（

）

A．4 B．6 C． D．88．（2023秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图：为的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，，则的大小是°．9．（2023秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么°．

10．（2023秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，是的外接圆，，若点O到的距离为2，则BC的长为．

11．（2023春·广东深圳·九年级校考自主招生）如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为．

12．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，的弦，点E为垂足，，，且则的半径为．

13．（2023·江苏·中考真题）如图，是的直径，点，在上．若，则度．

14．（2023·山东泰安·统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是．（精确到．参考数据：）

15．（2021·四川宜宾·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是．16．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）如图，在中，弦，D是一点，，则劣弧的长为．

17．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，线段与弧交于点，则图中弧的长度为．

18．（2023·广东东莞·校考一模）如图，从一块半径为1米的圆形铁皮圆O上剪出一个圆心角为90度的扇形，且点A、B、C都在圆上，则此时扇形的面积（保留）是平方米．19．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，的弦与相交于点E，已知，，且。(1)如图1，若过圆心O，求的半径；(2)如图2，若，请直接写出点的半径

20．（2023秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）如图，是的直径，是的弦，以为直径的与相交于点，，求的长．

21．（2022春·湖北武汉