2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）第02讲 二次根式的乘除（解析版）

第02讲二次根式的乘除1.二次根式的乘法法则•=(a≥0，b≥0)即：二次根式相乘，根号不变，被开方数相乘.语言描述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘.2.二次根式的积的算术平方根：把二次根式乘法法则（a≥0，b≥0）反过来可得（a≥0，b≥0）语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.3.二次根式的除法法则是(a≥0，b＞0)二次根式相除，根号不变，被开方数相除.语言描述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.4.二次根式的商的算术平方根的性质:语言描述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们可以运用它来进行二次根式的化简和分母有理化.1积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）3商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．考点剖析考点1二次根式的乘法例1．计算(1)(2)【解析】（1）解：原式===（2）解：原式===【变式1】计算：(1)．(2)．(3)．（4）【解析】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）．考点2二次根式的除法例2．计算：（1）（2）（3）（4）【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【变式2】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．考点3化简二次根式例3计算：（1）；

（2）；

（3）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【变式3】化简：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．考点4二次根式的乘除混合运算【例4】计算：(1)(2)(3)(4)【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：【变式4】计算：(1)(2)(3)(4)．【解析】（1）；（2）（3）；（4）．考点5二次根式的乘除法公式成立的条件【例5】=成立的条件是()A．x≥0 B．x<1 C．0≤x<1 D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】试题解析：由得,所以故选C.【变式5】式子成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，解得：，故选A．考点6二次根式的乘除法的变换规律性问题【例6】探究过程：观察下列各式及其验证过程.（1）；（2）验证：（1）；（2）.(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________；=___________；(2)通过上述探究你能猜测出：=___________（n>0），并验证你的结论．【解析】（1）解：按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，，验证如下：，；故答案为：，（2）通过上述探究你能猜测出，验证如下：.故答案为：；【变式6】观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)第6个等式：______；(2)计算：；(3)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）；(4)若符合上述规律，请直接写出代数式的值．【解析】（1）解：由题干中所给等式可得第6个等式为：，故答案为：；（2）解：原式；（3）解：第n个等式为：，证明如下：；（4）解：，即，符合所得规律，，解得：或，，那么或，即的值为2或30．过关检测一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以A不符合题意；因为，所以B不符合题意；因为，所以C不符合题意；因为是最简二次根式，所以D符合题意．故选D．2．下列各式的计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算正确，符合题意；故选．3．一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得：，故选．4．已知，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．∵，∴，即．故选D．5．已知，，则用表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得：，故选D．6．观察数据并寻找规律：，，，，……，则第2021个数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】观察这列数：，，，，，……，根据规律可知，第n个数为，∴第2021个数是，故选A．二、填空题7．计算：．【答案】【解析】．8．若，，则．【答案】2【解析】∵，，∴．故答案为：2．9．写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是．【答案】(答案不唯一)【解析】，∴这个二次根式可以是，故答案为：(答案为不唯一)．10．能使等式成立的x的取值范围是．【答案】【解析】∵成立，∴，∴．故答案为：．三、计算题11．化简：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．12．计算：(1)(2)【解析】（1）解：原式（2）原式13．化简：(1)(2)

（）【解析】（1）原式=（2）∵∴，原式=14．已知和是相等的最简二次根式．求，的值；求的值．【解析】∵和是相等的最简二次根式，∴．解得，，∴的值是，的值是；（2）．15．观察以下等式：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：___