2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）第06讲 勾股定理的逆定理（解析版）

第06讲勾股定理的逆定理1．互逆命题与互逆定理（1）互逆命题的定义如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.（2）互逆定理的定义一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.2．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理．【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角．（2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”．3．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数．勾股数的求法：如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…．1.互逆命题与互逆定理的关系（1）命题有真有假，而定理都是真命题；（2）每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；（3）互逆的两个命题不一定同真或同假，互逆的两个定理都是真命题.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形．3.常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．考点剖析【考点1】直角三角形的判定【例1】在中，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A、∵，能判定是直角三角形，故不符合题意；B、∵，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；C、由可设，则有，所以不能构成三角形，更不能判定是直角三角形，故符合题意；D、由可设，所以，解得，能判定是直角三角形，故不符合题意.故选C．【变式1】以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．3，4，6 B．12，18，22C．，， D．8，15，17【答案】D【解析】A、，故不是直角三角形，不符合题意；B、，故不是直角三角形，不符合题意；C、，故不是直角三角形，不符合题意；D、，故是直角三角形，符合题意．故选D．【考点2】勾股数【例2】若6、8、a为勾股数，则a的值为（

）A． B．10 C．12 D．【答案】B【解析】若6、8、a为勾股数，当8为最大数时，，解得，6、8、不符合勾股数定义；当a为最大数时，，解得，6、8、10符合勾股数定义．∴的值为10，故选B．【变式2】下列各组数中，是勾股数的是（

）A．6，9，12 B．，， C．52，122，132 D．7，24，25【答案】D【解析】，不能组成直角三角形，故选项A不符合题意；，，不是整数，不满足勾股数的定义，故选项B不符合题意；，不能组成直角三角形，故选项C不符合题意；，能组成直角三角形，故选项D符合题意．故选D．【考点3】网格内判定直角三角形【例3】如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．

(1)__________，__________，__________；(2)的形状为__________三角形；(3)求中边上的高．【解析】（1）由题可知，；；．（2）解：∵，，；∴；∴为直角三角形．（3）如下图，过点作的垂线，垂足为；∴；∵是直角三角形；∴；∴；∴，即中边上的高为.

【变式3】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，求下列问题：

(1)试说明是直角三角形；(2)求点到的距离．【解析】（1）解：由题图可知：，，．，是直角三角形.

（2）由（1）可知：，，，，点到的距离是．【考点4】利用勾股定理的逆定理求解【例4】如图，在中，，，D为上一点，且，．(1)求证：；(2)求的长．【解析】（1）证明：在中，，∴为直角三角形，即，∴；（2）解：设，则，在中，，即，解得：，∴．【变式4】如图，在中，，，，点D为内一点，且，．(1)求BC的长；(2)求图中阴影部分（四边形）的面积．【解析】（1）解：在中，，∴．（2）解：∵，，，∴，∴为直角三角形，且，∴．∵，∴．【考点5】勾股定理的逆定理的应用【例5】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．

(1)求修建的公路的长；(2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？【解析】（1）解：，，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的长是；（2）解：在中，（），故一辆货车从点到点处的路程是．【变式5】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．【解析】由题意得：，，在中，由勾股定理得：，，，是直角三角形，且，．答：四边形的面积为18．【考点6】勾股定理的逆定理的拓展问题【例6】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判断：当时，当为直角三角形时，则的取值为________；当为锐角三角形时，则的取值范围________；当为钝角三角形时，则的取值范围________．【解析】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边，当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形；当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形.（2）解：由勾股定理逆定理可得，当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形；（3）解：当为直角三角形时，；当为锐角三角形时，，；当为钝角三角形时，，则的取值范围为，两边之和大于第三边，．【变式6】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求的值．（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．【解析】（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；（2）当x为斜边，则52+122=x2，∴x2=169，当12是斜边，则52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值为169或119；（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是钝角三角形，则或，则或，∴或；若△ABC是直角三角形，则或，则或；若△ABC是锐角三角形，则或，则或，∴．过关检测一、单选题1．若三角形的三边长分别等于下列各组数，则能构成直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【解析】A、，不能构成直角三角形，不符合题意；B、，能构成直角三角形，符合题意；C、，不能构成直角三角形，不符合题意；D、，不能构成直角三角形，不符合题意；故选B．2．在中，的对边分别为a，b，c且，则下列说法正确的是（

）A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定谁是直角【答案】A【解析】在中，的对边分别为a，b，c且，则，是直角三角形，．故选A．3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（

）

A．的面积为10 B．C． D．点到直线的距离是2【答案】A【解析】，，，，，故B、C正确，不符合题意；，故A错误，符合题意；设点到直线的距离是，，，，点到直线的距离是2，故D正确，不符合题意.故选A．4．如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（

）A．② B．①② C．①④ D．①③④【答案】B【解析】如图所示，连接，∵在中，，，，∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形，且，故①正确；∴，故②正确；，故④错误；根据现有条件无法得到，故③错误.故选B．5．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．若点C也在格点上，且满足为以为斜边的直角三角形，则这样的点C有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】如图，满足条件的点C共有4个，故选D．二、填空题6．已知的三边长分别为，，，则边上的高为．【答案】【解析】∵的三边长分别为6、8、10，且，∴是直角三角形，且斜边长为10，设边上的高为．根据三角形的面积得：，∵，，，∴，故答案为：．7．在中，的对边分别为a、b﹑c，下列条件中：①；②；③；④．能判断是符合条件的直角三角形的有个．【答案】3【解析】①由题意知，，则是符合条件的直角三角形，符合题意；②由题意知，，则是直角三角形，但不是符合条件的直角三角形，故不符合题意；③由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意；④由题意知，则是符合条件的直角三角形，符合题意；即符合要求的只有3个，故答案为：3．8．如图，在中，D是边上一点，，，则的长为．【答案】4【解析】∵，∴，即，故，∴，故答案为：4．9．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿方向航行．

【答案】北偏东【解析】由题意得：海里，海里，，海里，∴，∴，∴，∴乙船沿北偏东方向航行.故答案为北偏东．10．如图，点是某景点所在位置，游客可以在观光车站或处乘车前往，且，因道路施工，点到点段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的处修建了一个临时车站，由处亦可直达处，若．则路线的长为．【答案】【解析】，，，，，，，是直角三角形；，设，则，由勾股定理得：，即，解得，．故答案为：．三、解答题11．如图，已知中，，，D是上一点，连接，且，．求的度数．【解析】，，为直角三角形，，，，，．12．如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且．(1)求证：；(2)若，求的长．【解析】（1）证明：连接，如下图：∵边上的垂直平分线为，∴，∵，∴，∴，∴；（2）设，则，∴在中，，即，解得：，则．13．如图，四边形是公园中的一块空地，，．

(1)连接，判断的形状并说明理由；(2)公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米需要费用200元，试问铺满这块空地共需费用多少元？【解析】（1）解：是直角三角形，理由如下：如图所示，连接，

在中，，根据勾股定理得：，在中，，，∵，∴，∴是直角三角形．（2）解：，，∴，∴元，即铺满这块空地共需费用28800元．14．已知△ABC的三边分别为，，.（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）利用第（1）题的结论，写出两组m，n的值，要求三角形边长均为整数.【解析】（1），，，∴=，∴==，∴△ABC是直角三角形，其中a、c为直角边，b为斜边.（2）当，时，三角形的边长为3，4，5；当，时，三角形的边长为6，8，10．15．如图，某农户承包的一片稻田位于一条河流的北侧，早年河水通过两条水渠，流向稻田蓄水池以满足稻田用水，且，现水渠因故需要改道，该农户决定把通向河岸的便道修成一条水渠（、、在同一条直线上），测得千米，千米，千米．