2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）专题04立方根和开立方、n次方根（2大考点+6种题型）（原卷版）

专题04立方根和开立方、n次方根（2大考点+6种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一、开立方考点二、开次方题型一：立方根概念理解题型二：求一个数的立方根题型三：已知一个数的立方根，求这个数题型四：立方根的实际应用题型五：算术平方根和立方根的综合应用题型六：n次方根考点一、开立方1、定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，用“”表示，读作“三次根号”，中的叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；零的立方根是0；一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．考点二、次方根1、求一个数的次方根的运算叫做开次方．叫做被开方数，叫做根指数．如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根．当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根．★注意：实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示．其中被开方数是任意一个数，根指数是大于1的奇数；正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．其中被开方数，根指数是正偶数（当时，在中省略）；负数的偶次方根不存在；零的次方根等于零，表示为．题型一：立方根概念理解【例1】．（2024下·全国·七年级假期作业）给出下列四个说法：①一个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是．其中正确的是（

）A．①④ B．①②③C．②③ D．③【变式1】．（2023下·七年级课时练习）下列说法中，错误的是（

）A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0【变式2】．（2023上·河北沧州·七年级统考期中）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（

）A．1 B． C．1或 D．1、或0题型二：求一个数的立方根【例2】．（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）的立方根是（

）A． B． C． D．【变式1】．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）如果，那么．【变式2】．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）计算：的值等于．【变式3】．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值．【变式4】．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）解方程：【变式5】．（2023下·上海宝山·七年级统考期末）计算：．题型三：已知一个数的立方根，求这个数【例3】．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）实数a的立方根是，则a＝．【变式1】．（2023下·上海·七年级专题练习）4的平方根是；算术平方根是；是的立方根．【变式2】．（2023下·七年级单元测试）已知，则【变式3】．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）如果，那么．【变式4】．（2021下·上海松江·七年级校考期中）解方程：，则．题型四：立方根的实际应用【例4】．（2022下·上海·七年级专题练习）填写下表，并回答问题：a…0.0000010.001110001000000………（1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？（2）根据这个规律，若已知，求a的值．【变式1】．（2021下·上海浦东新·七年级校考期中）已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长．【变式2】．（2022下·上海·七年级专题练习）【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：第一步：∵，，，∴．∴能确定59319的立方根是个两位数．第二步：∵59319的个位数是9，∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题（1）求110592的立方根，写出步骤．（2）填空：__________．题型五：算术平方根和立方根的综合应用【例5】．（2021下·上海·七年级校考期中）求值：．【变式1】．（2023下·七年级单元测试）若的算术平方根是7，则的立方根是．【变式2】．（2022上·上海·七年级专题练习）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4(1)求a，b的值．(2)求6a+3b的平方根．【变式3】．（2022下·上海·七年级期中）阅读下列解题过程，并按要求填空：已知：＝1，＝﹣1，求的值．解：根据算术平方根的意义，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步根据立方根的意义，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步由①、②，得，解得…第三步把x、y的值分别代入分式中，得＝0

…第四步以上解题过程中有两处错误，一处是第步，忽略了；一处是第步，忽略了；正确的结论是（直接写出答案）．【变式4】．（2022上·上海·七年级专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．题型六：n次方根【例6】．（2022下·上海·七年级专题练习）表示的含义是（

）A．a的正的n次方根 B．a的n次方根C．当时，表示a的正的n次方根 D．当时，且n为奇数时，表示a的n次方根【变式1】．（2022下·上海·七年级专题练习）16的四次方根是（

）A．2 B．-2 C． D．【变式2】．（2022下·上海·七年级专题练习）的6次方根是（

）A．2 B．-2 C． D．【变式3】．（2022下·上海·七年级专题练习）计算：（

）A．8 B．-8 C．2 D．-2【变式4】．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）已知，则实数．【变式5】．（2023下·上海嘉定·七年级校考阶段练习）已知与是同一个正数x的两个不同的平方根．(1)求字母m的值；(2)求x的四次方根．【变式6】．（2022下·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）已知，求的n次方根（n为大于1的整数）一、单选题1．（2022下·上海·七年级专题练习）下列运算中，正确的是（

）A．＝a﹣b B．C．﹣＝a﹣b D．＝a+b2．（2022下·上海·七年级专题练习）下列各式正确的是（

）A．=a B．a0=1 C．=-4 D．=-53．（2022下·上海·七年级专题练习）如果，那么y=（

）A．3 B．-3 C． D．4．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）的立方根是（

）A． B．3 C． D．5．（2023上·浙江宁波·七年级宁波市第七中学校考期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（

）A．25分 B．50分 C．75分 D．100分6．（2023上·山东济南·七年级校考阶段练习）若，则的值为（

）A． B．0 C．或2 D．或二、填空题7．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考期中）若一个数的算术平方根和立方根都等于它本身，则这个数一定是．8．（2024下·全国·七年级假期作业）如果是的算术平方根，是的立方根，那么．9．（2023上·浙江绍兴·七年级校联考期中）已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是cm．10．（2023上·浙江绍兴·七年级新昌县七星中学校考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的立方根是．11．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）若，则．12．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）如果x是9的平方根，y是的立方根，则．13．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）已知，的立方根.14．（2023上·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4．则，．15．（2023上·山东淄博·七年级淄博市淄川实验中学校考阶段练习）的立方根是，的平方根是．16．（2024下·全国·七年级假期作业）已知的平方根是，且4，则的值为．17．（2023下·七年级课时练习）对于实数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{1，－2}＝－2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则a－2b的立方根为．18．计算：．三、解答题19．（2023下·七年级课时练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．20．（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）求x的值：(1)；(2)．21．（2024下·全国·七年级假期作业）已知与互为相反数，求的立方根．22．（2023下·七年级课时练习）已知是m＋3的算术平方根，B＝是n－2的立方根，求A，B的值．23．（2023下·七年级课时练习）如果是a－3b的算术平方根，是的立方根，求2a－3b的立方根．24．（2024下·全国·七年级假期作业）（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根；（2）已知a，b都是有理数，且，求的平方根．25．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）阅读与探究本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容．平方根立方根定义一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根．一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根．运算求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．性质正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．表示方法正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”．今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．(1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：．(2)探究性质：①的四次方根是；的四次方根是；（填“有”或“没有”）四次方根．②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：．26．（2024下·全国·七年级假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如