专题立体几何(2012-2021)高考数学真题

专题11立体几何【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）A． B． C． D．2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．4733．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A． B． C． D．二、填空题5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.三、解答题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．8．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.10．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

A． B． C． D．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A． B． C． D．

3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A． B． C．1 D．4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为A． B． C． D．9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．10．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）A．B．C． D．12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．C． D．13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1））平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A． B． C． D．14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷））体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B． C． D．15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是A． B． C． D．16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析））(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛17．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm318．（2013年全国普通高等学校招生统一考试））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A． B． C． D．二、填空题19．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

20．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________.①②③④21．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．22．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.23．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．24．（2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．25．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.27．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）28．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷带解析））已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.三、双空题29．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．四、解答题30．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.32．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．34．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．36．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．38．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．40．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积.42．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．44．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．46．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若△面积为，求四棱锥的体积.

51．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3））如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．53．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．55．（2016年全国普通高等学校招